Площадь параболического сектора

[ingref]

Дана парабола:



Нужно без использования интегралов доказать, что площадь параболического сектора (зелёный) равна половине площади параболического прямоугольника (оранжевый).

Я понимаю, что можно найти площадь треугольника (не параболического, а обычного), а потом к нему прибавлять площади маленьких треугольников, которыми заполняется оставшийся параболический сегмент (площадь между треугольником и дугой параболы). И я могу это сделать для такого случая:



Проблема в том, что я не знаю, как доказать, что соотношение площадей остаётся одинаковым и для исходного варианта тоже. Можно ли вообще решить эту задачу, не прибегая к рассмотрению второго варианта?

[Pphantom]

Стоит вспомнить, что такое директриса и фокус параболы, а также утверждение, которое обычно называют "оптическим свойством параболы". Правда, в некотором смысле интегралы все равно появятся, но в решении их можно не упоминать.

[ingref]

Я правильно понимаю, что мне нужно доказать, что площадь треугольника ABC равна площади треугольника FAB? Или это вообще не то?

[Pphantom]

ingref в сообщении #1376708 писал(а):

Или это вообще не то?

Не то. К тому же как вы собираетесь из площади одного треугольника (ну хорошо, двух) извекать площади криволинейных фигур?

[dmd]

(нестандартно без интегрирования)

Для плоских кривых, которые можно задать параметрически двумя полиномами с рациональными коэффициентами, площадь сплайна определяется аналитически без интегрирования. Об этом говорится в нестандартном курсе алгебраического анализа.

[ingref]

Pphantom
А вот такой вариант?



Фиолетовые отрезки - касательные в точках $A$ и $E$.

$\triangle FAB$ = $\triangle ABD$ по двум сторонам и углу между ними. Аналогично $\triangle FBE$ = $\triangle BEC$.

Таким образом, площадь фигуры $FABE$ равна сумме площадей треугольников FBE и BEC.

Это уже теплее или тоже не то?

[Pphantom]

ingref в сообщении #1377199 писал(а):

Это уже теплее или тоже не то?

Тоже не то. Вы все время пытаетесь свести задачу к сравнению площадей каких-то простых фигур в конечном количестве. Управиться с криволинейными границами так просто не получится.

-- 19.02.2019, 22:21 --

Собственно, сделайте вот что. Представьте, что две точки, которые лежат на параболе, находятся очень близко друг к другу. Сможете ли вы в этом случае доказать равенство площадей получившихся зеленой и оранжевой фигурок?

[ingref]

В этом случае $EC$ почти равна $AD$, а соотношение между $GE$ и $EH$ стремится к 1, потому что $AE$ совпадает с касательной к точке А. Тогда треугольник равен половине $AECD$. Так получается? Если да, то мне не совсем понятно, почему верхняя и нижняя фигура не становятся равными, ведь, по идее, если их бесконечно уменьшать, то они превращаются в прямые линии, которые у параболы равны.

[wrest]

ingref
Вероятно, пора вспомнить свойство директрисы параболы.

[ingref]

wrest
Вот я его вспоминаю и у меня возникает противоречие. С одной стороны, если точка $E$ стремится к точке $A$, то длина $EC$ стремится к длине $AD$. Но если точку $E$ совместить с точкой $A$, то $FE$ станет равна $FA$. А по свойству директрисы $FA = AD$. Как тогда эти две бесконечно малые фигуры имеют соотношение 1 к 2?

Если же точка $E$ не совмещается с точкой $A$, то остаётся ещё фигура $AGEH$:

[wrest]

ingref в сообщении #1377338 писал(а):

Если же точка $E$ не совмещается с точкой $A$, то остаётся ещё фигура $AGEH$:

Остается, вот теперь надо подумать что с ней делать.

[ingref]

Можно точку $E$ пододвинуть ещё ближе к точке $A$ и снова получится такая же конструкция, только оставшаяся фигура $AGEH$ будет всё меньше и меньше. В этом случае её площадь становится несущественной?

[wrest]

ingref в сообщении #1377355 писал(а):

В этом случае её площадь становится несущественной?

Да, при стремлении $AE$ к нулю отношение площади этих кусочков к площадям $CEHD$ и $FEG$ тоже стремится к нулю.

[Igrickiy(senior)]

ingref в сообщении #1376687 писал(а):

Нужно без использования интегралов доказать, что площадь параболического сектора (зелёный) равна половине площади параболического прямоугольника (оранжевый).

На дуге параболы, являющейся границей между зелёной и красной областями, можно взять очень маленький элемент этой дуги. В зелёной области он будет малой дугой маленького сектора с вершиной в фокусе. В красной области он же будет четвертой стороной маленькой трапеции с вертикальными сторонами. Радиусы сектора и бОльшие стороны трапеции одинаковы по свойству фокуса и директрисы параболы.
Осталось сравнить площади этих маленьких фигур и результат экстраполировать на площади обеих сравниваемых областей.

[TOTAL]

Если считать известным, что площадь "под параболой" $y=x^2$ в два раза меньше площади "над параболой", то утверждение про "зелёную" и "оранжевую" следует просто так.