Чита, Нита и Дракон

[mihaild]

wrest в сообщении #1376490 писал(а):

Это ясно, но можно ли все хоть как-то же повысить вероятность не сговариваясь?

Это сначала нужно формализовать. Иначе можно сказать что очевидно, что из оптимальных стратегий надо брать реализуемую минимальной программой на С++.

[wrest]

mihaild
Чего формализовать? Условия задачи точно те же за исключением слов «Принцессы знают о повадках Злобного Дракона и могли заранее до похищения договориться
о стратегиях. » - это удаляем.

[mihaild]

wrest условия формализовать.
Исходная задача формализуется понятно как: найти пару функций $\{0, 1\}^\mathbb{N} \to \mathbb N$ так, чтобы понятно какая вероятность была максимальной. Что формально предлагается делать в новой задаче - непонятно.

(кстати, а как оценивать стратегии, при которых спасение принцесс вообще не является событием? )

[wrest]

mihaild в сообщении #1376504 писал(а):

Что формально предлагается делать в новой задаче - непонятно.

Ну вот представьте что нас с вами посадили в комнаты, дали последовательности и просят назвать номера бросков друг друга, и если результаты совпадут, то мы спасены. А договориться мы не успели. Есть ли у нас стратегии которые дают вероятность спасения больше $1/2$? Исходя из того, конечно, что стратегию мы выбираем не совсем случайно, а как-то разумно?

[mihaild]

wrest в сообщении #1376506 писал(а):

Есть ли у нас стратегии которые дают вероятность спасения больше $1/2$? Исходя из того, конечно, что стратегию мы выбираем не совсем случайно, а как-то разумно?

Лучше не стало. Что такое стратегия тут? По каким событиям берется вероятность?

[Sender]

Кстати, можно рассмотреть и применение смешанных стратегий, во всяком случае, при конечном числе бросков.

[wrest]

mihaild в сообщении #1376507 писал(а):

Что такое стратегия тут? По каким событиям берется вероятность?

Стратегия как и там -- "если моя последовательность такая, называю номер такой-то". События -- совпало\не совпало (победа\поражение).

[mihaild]

Тогда эта задача ничем не отличается от предыдущей. Например стратегии "назвать позицию первого орла" всё так же дает вероятность победы $\frac{2}{3}$.

[wrest]

mihaild в сообщении #1376519 писал(а):

Тогда эта задача ничем не отличается от предыдущей. Например стратегии "назвать позицию первого орла" всё так же дает вероятность победы $\frac{2}{3}$.

Я как-то плохо объясняю, и вообще у меня видимо продолжается нескладушка в голове в сути задачи, и я не понимаю ваши ответы (короче говоря - туплю ) Ясно, что из стратегий "назвать позицию первого орла" и "назвать позицию первой решки" нельзя выбрать лучшую, так что принцессы будут выбирать (если больше не из чего) из этих двух стратегий равновероятно. В этом случае какова вероятность победы?
То есть, если нас с вами рассадили в разные комнаты не дав поговорить, как я догадаюсь что орел вам нравится больше решки?

[mihaild]

wrest в сообщении #1376527 писал(а):

В этом случае какова вероятность победы?

А где источник случайности?
Проблема ровно в том, что непонятно, что формально означает "нельзя договориться".

wrest в сообщении #1376527 писал(а):

То есть, если нас с вами рассадили в разные комнаты не дав поговорить, как я догадаюсь что орел вам нравится больше решки?

Это уже к психологии и социологии, а не к математике.

[wrest]

mihaild в сообщении #1376529 писал(а):

Проблема ровно в том, что непонятно, что формально означает "нельзя договориться".

Например, в вашем примере выше post1375779.html#p1375779 выигрышная стратегия не зависит от того, договаривались ли игроки заранее. Они обе просчитали, что если они обе будут говорить "как у неё", то победа обеспечена, ну значит так и надо действовать.

[mihaild]

wrest в сообщении #1376530 писал(а):

Они обе просчитали, что если они обе будут говорить "как у неё", то победа обеспечена, ну значит так и надо действовать.

А почему "как у нее", а не "наоборот"? Если обе говорят наоборот - это тоже приводит к выигрышу.

[waxtep]

(по-прежнему ужасно лень программировать, но нотик и эксель пришлось расчехлить - для расчета кол-ва спасительных сценариев при заданных стратегиях Ниты и Читы) нашел одну из стратегий для четырех монет, уже полу-вручную, следующим методом:
- вбить от балды какую-то стратегию за Ниту, и какую-то другую за Читу; чтобы более-менее одинаково было единичек, двоек, троек и четверок для $14$ возможных исходов (за исключением $0000$ и $1111$);
- фиксируя стратегию Читы, оптимизировать выбор для каждого исхода Ниты; если сумма спасительных сценариев остается такой же - поменять выбор Ниты;
- потом наоборот, фиксировать Ниту и по-выборно оптимизировать Читу;
- и так далее до победы;
- очень быстро (меньше пяти итераций за каждую сторону) сошлось к $148$ спасительным сценариям во "внутреннем контуре" $14\times14$, т.е. к $148+4\times7+2=178$ спасительным сценариям из $256$. Для произвольных стратегий, с которых я начал, количество спасительных сценариев равнялось $94$, т.е. вероятность спасения $124/256$ - чуть меньше половины.
Найденная стратегия не показывает каких-то очевидных симметрий:
Нита: $(4,1,1,2,4,2,4,3,3,1,1,2,3,2)$
Чита: $(4,1,4,2,2,1,2,3,4,1,4,3,3,1)$
Интересно попробовать найти зеркальную стратегию, если она для $n=4$ вообще существует; для $n=3$ это $(2,1,2,3,3,1)$ и она характерна тем, что если и Нита, и Чита используют ровно ее, то это чудовищно неэффективно: они спасаются только при одинаковых сериях исходов у них; а вот если одна использует $(2,1,2,3,3,1)$, а вторая ее отражение - $(1,3,3,2,1,2)$ - это наоборот максимизирует шансы на спасение.

[slavav]

Вот симметричная стратегия для $n = 4$:

0 2 0 1 1 2 0 3 0 2 0 1 1 2

[waxtep]

slavav, а я такую нашел: $(3,4,3,1,1,4,1,2,3,4,3,2,2,4)$ (прибавлением $3\mod4$ к найденной выше стратегии Читы); если и Н, и Ч используют ее - максимально эффективное кол-во в $178$ спасительных сценариев; а если одна из них ее отзеркалит - чудовищно неэффективная цифра в $78$ сценариев. Т.е. видимо для четного числа монет существует симметричная максимально эффективная стратегия, а для нечетного, - зеркальная (?)

-- 17.02.2019, 01:34 --

slavav в сообщении #1376543 писал(а):

Вот симметричная стратегия для $n = 4$: Код:
0 2 0 1 1 2 0 3 0 2 0 1 1 2

Хммм, но ведь она несимметричная (если я не наврал где-то в безумном экселе): если, например, Чита выбирает эту стратегию, то Нита должна выбрать что-то вроде $(0,2,2,1,1,1,1,3,3,2,2,3,3,3)$ (в Вашей нумерации с нуля); на некоторых позициях возможна вариативность, в частности, в последней может стоять все что угодно, кроме $0$

-- 17.02.2019, 01:52 --

Иными словами, если и Нита и Чита выбирают одинаковую стратегию $(0,2,0, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 1, 1, 2)$ (я так понимаю термин "симметричная стратегия"), у меня получается только $154$ спасительных сценария, а не $178$