Чита, Нита и Дракон

[slavav]

Задача опубликована 7 февраля 2019 года на Slack / OpenDataScience, канал gnomiki, пользователем Anton.

Цитата:

Злобный Дракон поймал двух принцесс, Читу и Ниту, и посадил их в разные башни
своего замка. Затем Злобный Дракон подбросил правильную монетку бесконечное число раз.
Все результаты чётных бросков он сообщил Чите, а все результаты нечётных — Ните.
Далее Дракон предлагает каждой из принцесс назвать номер
любого подбрасывания, результат которого ей не известен.
То есть Чита должна назвать нечётный номер, а Нита — чётный.

Если результаты бросков, названных Читой и Нитой, одинаковые, то Злобный Дракон
дарит каждой принцессе тортик, розового плюшевого зайца и отпускает на свободу.
Если же результаты бросков отличаются, то Злобный Дракон съедает Читу и Ниту
с клюквенным вареньем. Дракон обожает принцесс и клюквенное варенье!

Принцессы знают о повадках Злобного Дракона и могли заранее до похищения договориться
о стратегиях. Как им следует себя вести и чему равна вероятность спасения?

.

[eugensk]

(Ответ)

Вероятность спасения 3/4.

[wrest]

Что-то сдается мне, что раз монетка правильная (равновероятная), то стратегии нет, вероятность быть съеденными драконом $0,5$
Предполагаю, задача эквивалентна следующей. Допустим, Дракон подбрасывает не одну монетку а две разных, но равновероятных. И сообщает Чите все результаты одной монеты а Ните - результаты второй монеты, затем просит Читу назвать номер броска монеты Ниты и наоборот, и если результаты совпадут то отпускает, а если не совпадут то не отпускает.
В задаче напрягает только, что Дракон подбросил монетку "бесконечное число раз". Что-то тут не так.
Другая возможность схитрить вероятно есть если Чита или Нита (по предварительному сговору) называет не номер а форумлу (например Нита говорит: если номер который назвала Чита делится на 3, то мой номер такой-то, а если не делится - то такой-то), но из условия задачи неясно можно ли так делать.

[statistonline]

Если я правильно понял условие, то принцессы дают ответ по очереди и при этом вторая знает, что ответила первая. Тогда им надо договориться о "спасительной комбинации" у одной из принцесс. Пусть первой отвечать берется Чита. Она и Нита заранее договорились, что Чита выбирает у себя комбинацию подряд идущих "Решка"-"Орел". Поскольку таких комбинаций может быть бесконечно много, то они договариваются выбрать, например, третью. Между этими "Решка"-"Орел" Чита и попросит назвать результат броска из ряда Ниты. А раз Нита в курсе, что было названо таким образом Чите, ей остается только выбрать Решку или Орла из ряда Читы, точнее - следующий или предыдущий результат броска. Тогда, я так понимаю, вероятность спасения будет 1.

-- 13.02.2019, 15:11 --

wrest в сообщении #1375761 писал(а):

из условия задачи неясно можно ли так делать.

slavav в сообщении #1375755 писал(а):

Принцессы знают о повадках Злобного Дракона и могли заранее до похищения договориться
о стратегиях.

[wrest]

statistonline в сообщении #1375761 писал(а):

Если я правильно понял условие, то принцессы дают ответ по очереди и при этом вторая знает, что ответила первая.

Тады они спасаются 100%

[eugensk]

statistonline

А я не догадался до комбинации 01. Все так, вероятность 1.

[slavav]

statistonline в сообщении #1375761 писал(а):

Если я правильно понял условие, то принцессы дают ответ по очереди и при этом вторая знает, что ответила первая.

Принцессы дают ответы одновременно и независимо. Это делает задачу такой привлекательной.

[wrest]

slavav в сообщении #1375767 писал(а):

Принцессы дают ответы одновременно и независимо. Это делает задачу такой привлекательной.

Ответ может быть только в форме числа, типа "пять", "восемь", "тысяча три"?

[statistonline]

slavav в сообщении #1375767 писал(а):

Принцессы дают ответы одновременно и независимо. Это делает задачу такой привлекательной.

Тогда непонятно, что именно делает её привлекательной. Чите (Ните) нужна хоть какая-то дополнительная информация, чтобы вероятность была не 0,5.

[mihaild]

Я умею обеспечивать вероятность $\frac{10}{16} = 0.625$ на двух бросках у каждой, $\frac{44}{64} = 0.6875$ на трех и $0.7$ на бесконечном числе. Больше пока не получилось.

[wrest]

mihaild
При условии, что Чита и Нита независимо записывают число на бумажке и передают Дракону?

[slavav]

statistonline в сообщении #1375770 писал(а):

Тогда непонятно, что именно делает её привлекательной. Чите (Ните) нужна хоть какая-то дополнительная информация, чтобы вероятность была не 0,5.

Нет, не нужна. Это был шок для меня.
Попробуйте решить задачу для случая, когда последовательность которую выбрасывает дракон длины четыре. Два броска сообщаются Ните, два - Чите. В этом случае стратегии можно перебрать вручную и есть стратегия, которая позволяет выигрывать с вероятностью 5/8.

-- 13.02.2019, 14:44 --

mihaild в сообщении #1375771 писал(а):

Я умею обеспечивать вероятность $\frac{10}{16} = 0.625$ на двух бросках у каждой, $\frac{44}{64} = 0.6875$ на трех и $0.7$ на бесконечном числе. Больше пока не получилось.

Вы ещё забыли $\frac{178}{256} = 0.6953125$ на четырёх бросках.

[mihaild]

wrest в сообщении #1375773 писал(а):

При условии, что Чита и Нита независимо записывают число на бумажке и передают Дракону?

Да.
Попробуйте решить такую задачу: Чита бросает монетку один раз, Нита тоже. Потом каждая из них пытается угадать, что у другой. Выигрывают либо если обе угадали, либо если обе не угадали. Можно ли тут получить вероятность выигрыша больше $\frac{1}{2}$?

[wrest]

mihaild в сообщении #1375779 писал(а):

Попробуйте решить такую задачу: Чита бросает монетку один раз, Нита тоже. Потом каждая из них пытается угадать, что у другой. Выигрывают либо если обе угадали, либо если обе не угадали. Можно ли тут получить вероятность выигрыша больше $\frac{1}{2}$?

Э... Я не знаю как вы это делаете, но если Чита называет "у Ниты тоже что и у меня", а Нита отвечает "У Читы тоже что у меня", то они или ошибаются вместе (ОР,РО) или угадывают вместе (ОО,РР). То есть вероятность выигрыша 100%.

[mihaild]

wrest, правильно. Т.е. стратегия в такой игре - назвать свой результат.
Теперь следующий шаг - возвращаемся к исходной задаче, но нам гарантируют, что результаты бросков Читы разные, и результаты бросков Ниты разные. Что делать в таком случае?