2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение01.02.2019, 19:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Cash в сообщении #1373401 писал(а):
Неееее.
Вот добро дали, тогда можно и попробовать! :-)

2. Эллиптическими их никогда не зовут. В принципе они бывают и параболическими, но это вообще скучно чтоб так звать.

Это загадка не об одном понятии, но в принципе ответом может быть охватывающая всё фраза из двух слов. Это загадка так же больше в духе «Реального конкурса», а не ребуса, ребусная на ум не пришла пока. Можете сразу загадывать следующую, и через пару страниц или дней я напишу в спойлере ответ на эту с пояснением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение01.02.2019, 19:56 


05/09/16
12076
arseniiv
А это эллиптическое по сути но не обиходному названию из математики вообще? Ну типа «эллиптическое зеркало» скорее из физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение01.02.2019, 19:59 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Зуб даю на отсечение, из математики. Как небольшая подсказка, кстати, вы точно знаете эти штуки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение04.02.2019, 13:53 


05/09/16
12076
Ну у меня пара догадок.

1. Это дифференциальные уравнения. Эллиптические, Параболические.
2. Это проективные преобразования. Тут что такое "эллиптические" которые так не называют и скушные параболические, не знаю :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение04.02.2019, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
arseniiv
Синус и косинус?

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение08.02.2019, 02:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
wrest в сообщении #1374053 писал(а):
1. Это дифференциальные уравнения.
Да, я предполагал, что такое придёт в голову, но это не они: вроде бы все три типа весьма важны и в приложениях, и для теории интересны, ну и названия у них у всех явные.

wrest в сообщении #1374053 писал(а):
2. Это проективные преобразования. Тут что такое "эллиптические" которые так не называют и скушные параболические, не знаю :mrgreen:
М, не подумал, а между тем это может подходить. Давно о них не читал и всё пока что забыл, потому не скажу, можно ли это считать альтернативным ответом. Но названия явные тоже.

Legioner93 в сообщении #1374157 писал(а):
Синус и косинус?
Ага. А теперь поясню про параболические: это $1$ («косинус») и $x$ («синус»), их можно получить беря экспоненту от нильпотентного аргумента ровно так же как можно получать «эллиптические», беря экспоненту от аргумента с отрицательным квадратом, и гиперболические, беря экспоненту от аргумента с положительным квадратом.

Несколько дней подряд забывал написать в эту тему, еле вспомнил, простите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение08.02.2019, 05:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4609
arseniiv в сообщении #1373427 писал(а):
Эллиптическими их никогда не зовут

А вот эти Эллиптические функции Якоби

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение08.02.2019, 06:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Мне показалось, функции $\mathrm{cd},\mathrm{sd}$ одинаково обобщают и тригонометрические, и гиперболические (смотря каков параметр $m$). Но с точностью не всматривался. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение08.02.2019, 11:24 


05/09/16
12076
arseniiv в сообщении #1374821 писал(а):
А теперь поясню про параболические: это $1$ («косинус») и $x$ («синус»), их можно получить беря экспоненту от нильпотентного аргумента ровно так же как можно получать «эллиптические», беря экспоненту от аргумента с отрицательным квадратом, и гиперболические, беря экспоненту от аргумента с положительным квадратом.

Э... а можно формулы?

Собсно, что мы знаем о синусах и косинусах. Что одни - нечетные производные других и следовательно четные производные это сами функции - дифференциальные свойства.

Синус или косинус суммы (разности) аргументов это сумма (или разность) произведений синусов-косинусов аргументов, а сумма (или разность) квадратов синуса и косинуса равна единице - функциональные свойства.

Вот все пары функций которые имеют эти свойства (или дифференциальные или функциональные или и те и другие), мы можем назвать синусом и косинусом, я верно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение09.02.2019, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
arseniiv в сообщении #1374821 писал(а):
Ага. А теперь поясню про параболические: это $1$ («косинус») и $x$ («синус»), их можно получить беря экспоненту от нильпотентного аргумента ровно так же как можно получать «эллиптические», беря экспоненту от аргумента с отрицательным квадратом, и гиперболические, беря экспоненту от аргумента с положительным квадратом.


Ваше определение параболических я не особо понял. Это что-то из нестандартного анализа, где $\sin{\varepsilon} = \varepsilon$, потому что $\varepsilon^2 = 0$?

Я до эллиптических/гиперболических/параболических синусов и косинусов дошёл так:

$$y'' =(-1) \cdot y \Rightarrow y = A\cos x + B\sin x$$
$$y'' =(+1) \cdot y \Rightarrow y = A\ch x + B\sh x$$
$$y'' =0 \cdot y \Rightarrow y = A + Bx$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение15.02.2019, 03:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Legioner93
Можно и так дойти, всё в конечном счёте едино. :-) Мы ещё можем взять квадратичную форму сигнатуры $(1,0,1)$ на плоскости и посмотреть на соответствующую группу $\mathrm{SO}$, она будет однопараметрической как и группы $\mathrm{SO}(1+1,0,0,\mathbb R)$ и $\mathrm{SO}(1,1,0,\mathbb R)$, и правильно выбранный гомоморфизм из $(\mathbb R,+)$ в неё даст «параболические тригонометрические функции» ровно так же, как аналогичный гомоморфизм в две другие даст эллип просто тригонометрические и гиперболические.

Я почти не разбираюсь в алгебрах ли, но связь всего этого с экспонентой по идее получается через них, так что эти все способы действительно одно и то же в разных проекциях.

Legioner93 в сообщении #1374971 писал(а):
Это что-то из нестандартного анализа, где $\sin{\varepsilon} = \varepsilon$, потому что $\varepsilon^2 = 0$?
Да, всё как вы написали, но нестандартный анализ в строгом смысле тут ни при чём (там бесконечно малые элементы не дают в квадрате ноль). Если добавить к вещественным числам только одну такую «мнимую единицу» $\varepsilon$, получатся «дуальные числа», наименьшая подходящая вещественная алгебра, но конечно всегда можно взять и алгебру побольше типа, например, внешней алгебры любого более чем одномерного ($\mathbb R$-)векторного пространства (а внешняя алгебра одномерного будет изоморфна алгебре дуальных чисел).

* Это как минимум, а вообще любая нормированная ассоциативная $\mathbb R$-алгебра сгодится; нормированность нужна, чтобы о сходимости рядов говорить.

-- Пт фев 15, 2019 05:53:53 --

wrest в сообщении #1374852 писал(а):
Э... а можно формулы?
Определим экспоненту $\exp x$ произвольного элемента какого-то достаточно подходящего кольца (вон я выше брал нормированные ассоциативные $\mathbb R$-алгебры, но вообще забыл, нужна ли ассоциативность и вещественность) обычным рядом $\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$ [UPD: точнее, не для произвольного определим, конечно, а только для тех, для которых ряд не сходится], тогда если $x^2 = 0$, получим $\exp x = 1 + x$ аналогично тому как если $x^2 < 0$, мы получим $\exp x = \cos\lVert x\rVert x+\operatorname{sgn}x\sin\lVert x\rVert$ и если $x^2 > 0$, мы получим $\exp x = \ch\lVert x\rVert x+\operatorname{sgn}x\sh\lVert x\rVert$, где $\operatorname{sgn}x = x/\lVert x\rVert$ для $x\ne0$ и $\operatorname{sgn}0 = 0$. Значит, для условных $\mathrm{cp, sp}$ будет $\operatorname{cp}\lVert x\rVert x = 1$ и $\operatorname{sgn}x\operatorname{sp}\lVert x\rVert x = x$, откуда немного помахав руками можно получить $\operatorname{cp}x = 1$, $\operatorname{sp}x = x$ (кажется, лучше идти всё-таки через гомоморфизм: оно и с традиционным определением через угол поворота ближе, и будет аккуратнее).

wrest в сообщении #1374852 писал(а):
Вот все пары функций которые имеют эти свойства (или дифференциальные или функциональные или и те и другие), мы можем назвать синусом и косинусом, я верно понимаю?
За всё математическое сообщество говорить не стану. :-) Я лично связываю их с $\mathrm{SO}$ всевозможных плоскостей (всевозможных в смысле сигнатуры квадратичной формы, ведь больше разницы никакой не будет; и ещё тождественно нулевую надо будет исключить).

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение15.02.2019, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #1376089 писал(а):
Мы ещё можем взять квадратичную форму сигнатуры $(1,0,1)$ на плоскости

Ой, а можно привести матрицу такой квадратичной формы? А то у меня почему-то $3\ne 2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение15.02.2019, 12:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Последнее число показывает число нулей на диагонали, когда матрица формы диагональна, так что в таком случае она будет $\operatorname{diag}(1, 0)$. Как для известных уже нам евклидова случая $\operatorname{diag}(1, 1)$ и псевдоевклидова случая $\operatorname{diag}(1, -1)$. Линии уровня такой формы — пары параллельных прямых, параллельных мнимой оси плоскости; немножко жалко, что не параболы, а вырожденные конические сечения, но тут ничего не сделаешь. Аналогично поведению окружностей и ветвей правильных гипербол, преобразование из $\mathrm{SO}(1,0,1,\mathbb R)$ будет смещать точки одной из прямых пары вверх, а другой вниз (и, конечно, не просто смещать, а даже параллельно переносить, раз оно должно быть линейным и при этом сохранять не линейное, а аффинное подпространство, ведь раз само это подпространство одномерно, в нём можно только параллельно переносить и отражать, но отражения мы запретили).

-- Пт фев 15, 2019 14:40:41 --

То есть я конечно могу понять ваше смущение, обычно рассматривают невырожденные формы и сигнатура есть пара чисел, а не тройка, но тут никуда не деться, а если обозначать только пару чисел, нельзя читателю три раза напомнить, какой размерности рассматриваемое пространство. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение15.02.2019, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #1376165 писал(а):
Последнее число показывает число нулей на диагонали, когда матрица формы диагональна

Где вы видели такое обозначение? Ссылку, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадки о математических понятиях
Сообщение16.02.2019, 00:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Возможно, нигде, но для алгебр Клиффорда где-то видел перечисление трёх чисел, вот и перенёс. Во всяком случае оно не может быть понято как какое-то существующее обозначение чего-то другого.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group