Legioner93Можно и так дойти, всё в конечном счёте едино.

Мы ещё можем взять квадратичную форму сигнатуры

на плоскости и посмотреть на соответствующую группу

, она будет однопараметрической как и группы

и

, и правильно выбранный гомоморфизм из

в неё даст «параболические тригонометрические функции» ровно так же, как аналогичный гомоморфизм в две другие даст
эллип просто тригонометрические и гиперболические.
Я почти не разбираюсь в алгебрах ли, но связь всего этого с экспонентой по идее получается через них, так что эти все способы действительно одно и то же в разных проекциях.
Это что-то из нестандартного анализа, где

, потому что

?
Да, всё как вы написали, но нестандартный анализ в строгом смысле тут ни при чём (там бесконечно малые элементы не дают в квадрате ноль). Если добавить к вещественным числам только одну такую «мнимую единицу»

, получатся «дуальные числа», наименьшая подходящая вещественная алгебра, но конечно всегда можно взять и алгебру побольше типа, например, внешней алгебры любого более чем одномерного (

-)векторного пространства (а внешняя алгебра одномерного будет изоморфна алгебре дуальных чисел).
* Это как минимум, а вообще любая нормированная ассоциативная
-алгебра сгодится; нормированность нужна, чтобы о сходимости рядов говорить.-- Пт фев 15, 2019 05:53:53 --Э... а можно формулы?
Определим экспоненту

произвольного элемента какого-то достаточно подходящего кольца (вон я выше брал нормированные ассоциативные

-алгебры, но вообще забыл, нужна ли ассоциативность и вещественность) обычным рядом

[UPD: точнее, не для произвольного определим, конечно, а только для тех, для которых ряд не сходится], тогда если

, получим

аналогично тому как если

, мы получим

и если

, мы получим

, где

для

и

. Значит, для условных

будет

и

, откуда немного помахав руками можно получить

,

(кажется, лучше идти всё-таки через гомоморфизм: оно и с традиционным определением через угол поворота ближе, и будет аккуратнее).
Вот все пары функций которые имеют эти свойства (или дифференциальные или функциональные или и те и другие), мы можем назвать синусом и косинусом, я верно понимаю?
За всё математическое сообщество говорить не стану.

Я лично связываю их с

всевозможных плоскостей (всевозможных в смысле сигнатуры квадратичной формы, ведь больше разницы никакой не будет; и ещё тождественно нулевую надо будет исключить).