Притяжение полого шара

[ihq.pl]

Задача скорее по механике. Но может и по математике.
Допустим, есть полый однородный шар. Вопрос: с какой силой он притягивает точечную массу $m$, которая находится на его внутренней поверхности. У меня сила оказалась равной нулю. Что-то я скорее всего сделал не так. Помогите разобраться плиз.

Мои попытки. Пусть $\rho$ - плотность шара, а $z_0,z_1$ - его внутренний и внешний радиусы. Пусть $Oxzy$ прямоугольная система координат с $O$ в центре шара, и пусть для простоты точечная находится на оси $z$. Тогда сила гравитации направлена вдоль оси $z$ и равна

$$F=\gamma \int_V \frac{z-z_0}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|} \frac{m \rho dxdydz}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|^2}$$

Это первый момент. Надеюсь, что эта формула правильная. В сферических координатах

$$F=\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^{2\pi}\frac{r\cos\theta-z_0}{\left(r^2-2z_0r\cos\theta+z_0^2\right)^{3/2}}r^2\sin\theta d\varphi d\theta dr,$$

или

$$F=2\pi\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi\frac{\cos\theta-k(r)}{\left(1-2k(r)\cos\theta+k^2(r)\right)^{3/2}}\sin\theta d\theta dr,$$

где $k(r)=z_0/r.$ Дальше делаю замену $t=\cos\theta$ и получаю

$$F=2\pi\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_{-1}^1\frac{t-k(r)}{\left(1-2k(r)t+k^2(r)\right)^{3/2}} dt dr.$$

Внутренний интеграл в последнем выражении ноль для любых значений $r$. Вот, это меня смущает. Потому что, если это так, то точечная масса внутри полого шара находится в невесомости. Где ошибка. Заранее спасибо!

[Pphantom]

ihq.pl в сообщении #1374992 писал(а):

Допустим, есть полый однородный шар. Вопрос: с какой силой он притягивает точечную массу $m$, которая находится на его внутренней поверхности. У меня сила оказалась равной нулю. Что-то я скорее всего сделал не так.

Ну, в принципе, да - стали решать эту задачу такими методами.

Есть полезная штука - теорема Ньютона. Из нее сразу же следует полученный вами результат (который правилен).

[Munin]

Ньютон, небось, тоже долго у себя ошибку искал :-)

[miflin]

Какая прелесть!

[Sender]

Pphantom в сообщении #1374993 писал(а):

Есть полезная штука - теорема Ньютона.

Надо же, никогда раньше не слышал. Замечу, что здесь можно воспользоваться и формулой Гаусса-Остроградского.

[Pphantom]

Sender в сообщении #1375020 писал(а):

Надо же, никогда раньше не слышал. Замечу, что здесь можно воспользоваться и формулой Гаусса-Остроградского.

Она в общем-то и есть частный случай ф.Г.-О. Однако получена существенно раньше и, в отличие от последней, входит в программу элементарного курса физики (нормального школьного, непрофильного ВУЗовского и т.п.).

[wrest]

(Sender, ну как же это?)

Sender в сообщении #1375020 писал(а):

Надо же, никогда раньше не слышал.

Не может этого быть! А то, что гравитационный потенциал снаружи сферы (хоть тонкой хоть толстой хоть шара - т.е. при любой сферически-симметричной плотности) такой же как у точки с массой тела, слышали?

[Munin]

Pphantom в сообщении #1375025 писал(а):

Она в общем-то и есть частный случай ф.Г.-О. Однако получена существенно раньше

и другим методом.

[Sender]

wrest в сообщении #1375028 писал(а):

А то, что гравитационный потенциал снаружи сферы (хоть тонкой хоть толстой хоть шара - т.е. при любой сферически-симметричной плотности) такой же как у точки с массой тела, слышали?

Слышал, и этот факт прекрасно выводится посредством вышеупомянутой ф.Г.-О.

[wrest]

Sender в сообщении #1375042 писал(а):

Слышал, и этот факт прекрасно выводится посредством вышеупомянутой ф.Г.-О.

Ну ессно, просто это тоже вывел еще Ньютон :)

[Евгений Машеров]

Поздравляю! Вы самостоятельно выразили результат Ньютона. Хотя у него были другие средства. Попытка воспроизвести его логику есть в "Математической смеси " Литлвуда.

[fred1996]

Интересно, а академик Обручев, которы написал роман Земля Санныкова, слышал что нибудь про это? У него есть еще один роман про жизнь на внутренней поверхности Земли.
Кстати, в электростатике есть еще геометрическое интуитрвное доказательство с помощью вырезания бесконечно малых конусов. Не знаю, насколько оно математически строго. По крайней мере Смайт ссылается на него, сплющивая сферу в эллипсоид вращения.

[Munin]

Это как раз доказательство Ньютона и есть.