Задача скорее по механике. Но может и по математике.
Допустим, есть полый однородный шар. Вопрос: с какой силой он притягивает точечную массу
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
, которая находится на его внутренней поверхности. У меня сила оказалась равной нулю. Что-то я скорее всего сделал не так. Помогите разобраться плиз.
Мои попытки. Пусть
![$\rho$ $\rho$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/e/6dec54c48a0438a5fcde6053bdb9d71282.png)
- плотность шара, а
![$z_0,z_1$ $z_0,z_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/f/c2ffa5c8859c34a1f5a3d8dd0e51b8b582.png)
- его внутренний и внешний радиусы. Пусть
![$Oxzy$ $Oxzy$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/f/b4f324af9052d8ab23ba23137178311082.png)
прямоугольная система координат с
![$O$ $O$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/f/9afe6a256a9817c76b579e6f5db9a57882.png)
в центре шара, и пусть для простоты точечная находится на оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
. Тогда сила гравитации направлена вдоль оси
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
и равна
![$$F=\gamma \int_V \frac{z-z_0}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|} \frac{m \rho dxdydz}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|^2}$$ $$F=\gamma \int_V \frac{z-z_0}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|} \frac{m \rho dxdydz}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|^2}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/9/579e71768dc8978a9410d34a60e69d5f82.png)
Это первый момент. Надеюсь, что эта формула правильная. В сферических координатах
![$$F=\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^{2\pi}\frac{r\cos\theta-z_0}{\left(r^2-2z_0r\cos\theta+z_0^2\right)^{3/2}}r^2\sin\theta d\varphi d\theta dr,$$ $$F=\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^{2\pi}\frac{r\cos\theta-z_0}{\left(r^2-2z_0r\cos\theta+z_0^2\right)^{3/2}}r^2\sin\theta d\varphi d\theta dr,$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2adbe8b53d61e0a75477cf321602fb6e82.png)
или
![$$F=2\pi\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi\frac{\cos\theta-k(r)}{\left(1-2k(r)\cos\theta+k^2(r)\right)^{3/2}}\sin\theta d\theta dr,$$ $$F=2\pi\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi\frac{\cos\theta-k(r)}{\left(1-2k(r)\cos\theta+k^2(r)\right)^{3/2}}\sin\theta d\theta dr,$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/a/4fae99a5523d7d5326d268039313f6ac82.png)
где
![$k(r)=z_0/r.$ $k(r)=z_0/r.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/2/5528096cd7f5f16d0380ed81d4bb6a5482.png)
Дальше делаю замену
![$t=\cos\theta$ $t=\cos\theta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/3/b23b03e1380e1eb0ec6b055cb32bac8082.png)
и получаю
![$$F=2\pi\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_{-1}^1\frac{t-k(r)}{\left(1-2k(r)t+k^2(r)\right)^{3/2}} dt dr.$$ $$F=2\pi\gamma m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_{-1}^1\frac{t-k(r)}{\left(1-2k(r)t+k^2(r)\right)^{3/2}} dt dr.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/c/dfc25e936e3df2d1c76ed4c94995c1a282.png)
Внутренний интеграл в последнем выражении ноль для любых значений
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
. Вот, это меня смущает. Потому что, если это так, то точечная масса внутри полого шара находится в невесомости. Где ошибка. Заранее спасибо!