2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 17:18 


18/05/15
679
Задача скорее по механике. Но может и по математике.
Допустим, есть полый однородный шар. Вопрос: с какой силой он притягивает точечную массу $m$, которая находится на его внутренней поверхности. У меня сила оказалась равной нулю. Что-то я скорее всего сделал не так. Помогите разобраться плиз.

Мои попытки. Пусть $\rho$ - плотность шара, а $z_0,z_1$ - его внутренний и внешний радиусы. Пусть $Oxzy$ прямоугольная система координат с $O$ в центре шара, и пусть для простоты точечная находится на оси $z$. Тогда сила гравитации направлена вдоль оси $z$ и равна
$$F=\gamma \int_V \frac{z-z_0}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|} \frac{m \rho dxdydz}{\|\bm{r}-\bm{r}_0\|^2}$$
Это первый момент. Надеюсь, что эта формула правильная. В сферических координатах
$$F=\gamma  m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^{2\pi}\frac{r\cos\theta-z_0}{\left(r^2-2z_0r\cos\theta+z_0^2\right)^{3/2}}r^2\sin\theta d\varphi  d\theta dr,$$
или
$$F=2\pi\gamma  m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_0^\pi\frac{\cos\theta-k(r)}{\left(1-2k(r)\cos\theta+k^2(r)\right)^{3/2}}\sin\theta d\theta dr,$$
где $k(r)=z_0/r.$ Дальше делаю замену $t=\cos\theta$ и получаю
$$F=2\pi\gamma  m\rho \int\limits_{z_0}^{z_1} \int\limits_{-1}^1\frac{t-k(r)}{\left(1-2k(r)t+k^2(r)\right)^{3/2}} dt dr.$$

Внутренний интеграл в последнем выражении ноль для любых значений $r$. Вот, это меня смущает. Потому что, если это так, то точечная масса внутри полого шара находится в невесомости. Где ошибка. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 17:21 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
ihq.pl в сообщении #1374992 писал(а):
Допустим, есть полый однородный шар. Вопрос: с какой силой он притягивает точечную массу $m$, которая находится на его внутренней поверхности. У меня сила оказалась равной нулю. Что-то я скорее всего сделал не так.
Ну, в принципе, да - стали решать эту задачу такими методами. :D

Есть полезная штука - теорема Ньютона. Из нее сразу же следует полученный вами результат (который правилен).

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ньютон, небось, тоже долго у себя ошибку искал :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 17:45 
Аватара пользователя


27/02/12
3707
Какая прелесть! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 19:22 


14/01/11
2916
Pphantom в сообщении #1374993 писал(а):
Есть полезная штука - теорема Ньютона.

Надо же, никогда раньше не слышал. :-) Замечу, что здесь можно воспользоваться и формулой Гаусса-Остроградского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 19:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Sender в сообщении #1375020 писал(а):
Надо же, никогда раньше не слышал. :-) Замечу, что здесь можно воспользоваться и формулой Гаусса-Остроградского.
Она в общем-то и есть частный случай ф.Г.-О. Однако получена существенно раньше и, в отличие от последней, входит в программу элементарного курса физики (нормального школьного, непрофильного ВУЗовского и т.п.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 19:43 


05/09/16
11469

(Sender, ну как же это?)

Sender в сообщении #1375020 писал(а):
Надо же, никогда раньше не слышал.

:shock: Не может этого быть! А то, что гравитационный потенциал снаружи сферы (хоть тонкой хоть толстой хоть шара - т.е. при любой сферически-симметричной плотности) такой же как у точки с массой тела, слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Pphantom в сообщении #1375025 писал(а):
Она в общем-то и есть частный случай ф.Г.-О. Однако получена существенно раньше

и другим методом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 20:55 


14/01/11
2916
wrest в сообщении #1375028 писал(а):
А то, что гравитационный потенциал снаружи сферы (хоть тонкой хоть толстой хоть шара - т.е. при любой сферически-симметричной плотности) такой же как у точки с массой тела, слышали?

Слышал, и этот факт прекрасно выводится посредством вышеупомянутой ф.Г.-О. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение09.02.2019, 21:27 


05/09/16
11469
Sender в сообщении #1375042 писал(а):
Слышал, и этот факт прекрасно выводится посредством вышеупомянутой ф.Г.-О.
Ну ессно, просто это тоже вывел еще Ньютон :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение10.02.2019, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Поздравляю! Вы самостоятельно выразили результат Ньютона. Хотя у него были другие средства. Попытка воспроизвести его логику есть в "Математической смеси " Литлвуда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение12.02.2019, 02:01 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Интересно, а академик Обручев, которы написал роман Земля Санныкова, слышал что нибудь про это? У него есть еще один роман про жизнь на внутренней поверхности Земли.
Кстати, в электростатике есть еще геометрическое интуитрвное доказательство с помощью вырезания бесконечно малых конусов. Не знаю, насколько оно математически строго. По крайней мере Смайт ссылается на него, сплющивая сферу в эллипсоид вращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Притяжение полого шара
Сообщение12.02.2019, 03:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это как раз доказательство Ньютона и есть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group