В защиту Литлвуда

[Лукомор]

AD в сообщении #137401 писал(а):

То есть вам не очевидно, что это - бред? Процитированная фраза в смысле.

Очевидно, что бред.
В смысле Ваша фраза: "с разностью все впорядке, а отношение меняется"- действительно бред.
Я как раз это и продемонстрировал на Вашем же примере.

[AD]

ewert писал(а):

Или хотя бы сформулируйте.

+1.

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

Лукомор писал(а):

AD в сообщении #137401 писал(а):

То есть вам не очевидно, что это - бред? Процитированная фраза в смысле.

Очевидно, что бред.
В смысле Ваша фраза: "с разностью все впорядке, а отношение меняется"- действительно бред.
Я как раз это и продемонстрировал на Вашем же примере.

И то, и другое - бред, ибо ни один из нас не привел определений используемых понятий. Больше не буду играть по вашим правилам, и если не услышу внятных логических построений, то спорить больше не буду.

Добавлено спустя 28 минут 11 секунд:


З А Я В Л Е Н И Е

Формулировка парадокса Литтлвуда переводится на математический язык следующим образом:

Имеется последовательность $\{X_n\}\in(2^{\mathbb{N}})^{\mathbb{N}$, задаваемая рекурсивным правилом:

$X_0=\{1\}$,
$X_{n+1}=\bigl(X_n\cup\{10n-9,10n-8,\ldots,10n\}\bigr)\setminus\{n\}$, $n=1,2,\ldots.

Требуется найти множество $X\subset\mathbb{N}$,

$X=\text{Ы}\bigl(\{X_n\}\bigr)$,

где про теоретико-множественную операцию $\text{Ы}\colon (2^{\mathbb{N}})^{\mathbb{N}}\to2^\mathbb{N}$ известно лишь то, что
она удовлетворяет нашим представлениям о непрерывности времени.

Для удобства натуральные числа начинаются с нуля.
Математическое содержание выделено курсивом.
Все условия типа "за 1/n до полудня" упиханы в последние две строчки и курсивом не выделены ;
хотя их тоже можно в известной степени формализовать, но логически работать они все равно не будут.
В принципе, можно посмотреть с другой стороны и объявить, что $\text{Ы}\colon (2^{\mathbb{N}})^{\mathbb{N}}\to\mathbb{N}$, если нас интересует только количество шаров.
_________________

Дальнейшие споры возможны лишь на тему "что же это за операция такая - $\text{Ы}$?". Не так давно мы с участником по имени juna спорили о конкретном виде этой операции.
Напомню, что я придерживался мнения, что это должен быть теоретико-множественный предел (фактически, поточечный предел индикаторов подмножеств). В этом случае получалось $X=\varnothing$.
Лукомору, видимо, больше нравится варьировать последовательность $\{X_n\}$ и смотреть, как будет это влиять на естественный выбор операции $\text{Ы}$.

[Лукомор]

AD в сообщении #137422 писал(а):

Больше не буду играть по вашим правилам, и если не услышу внятных логических построений, то спорить больше не буду.

А мы разве спорим?
Мы просто говорим каждый о своем...
Я утверждаю, что укладывая шары в ящик по 10 шаров, можно их все уложить туда.
Вы утверждаете, что доставая из ящика по одному шару, можно достать их все.
И то и другое, в принципе, для бесконечных последовательностей, неочевидно, но с некоторой натяжкой можно допустить.
Результат зависит от того, что мы будем делать сначала, укладывать или доставать.
Вариант первый:
Пустой ящик. Укладываем все шары, потом достаем все шары.
Результат - ящик пуст.
Вариант второй:
Полный ящик. Вынимаем все шары, потом укладываем все шары.
Результат - все шары в ящике.
Остается только выяснить, как эти два процесса будут происходить одновременно, более того, взаимоувязанно.
Ну например, катятся шары по лотку, который разделяется на два, и стоит приспособление, которое отправляет 9 шаров в один ящик, а каждый десятый шар в другой ящик.
После полудня, когда процесс укладки шаров уже, допустим, завершился, я беру и нумерую все шары во втором ящике:
1, 2, 3, ... и.т.д. до бесконечности.
Таким образом окажется, что все шары попали только во второй ящик.
Впрочем, я могу поступить наоборот, и занумеровать шары только в первом ящике, и тогда окажется, что все шары находятся в первом ящике.
Истина, как всегда, где то посредине.
На самом деле, в обоих ящиках будет бесконечно много шаров.
Собственно, то же самое будет и в задаче Литлвуда.
На каждом шаге количество шаров в ящике будет больше, чем на предыдущем шаге ровно на 9 шаров, поскольку процессы укладки/извлечения шаров идут, (по условию задачи должны идти), строго синхронно, и не нарушив условия задачи этот процесс обратить нельзя.
Мы можем назвать номер того шага, начиная с которого количество шаров в ящике начнет расти.
Это шаг №1.
Но мы не можем назвать номер того шага, начиная с которого количество шаров в ящике начнет уменьшаться, с тем чтобы в пределе достичь нуля.
Да и нет такого шага.
Это противоречило бы процедуре, определенной условием задачи.
Вот моя точка зрения.

[AD]

Лукомор писал(а):

А мы разве спорим?
Мы просто говорим каждый о своем...

А вы не уточняете, о чем вы говорите, и, видимо, даже не умеете это делать.

Добавлено спустя 58 секунд:

Лукомор писал(а):

А Ваша???

Только что всё расписал.

Добавлено спустя 8 минут 3 секунды:

AD писал(а):

Вы утверждаете, что доставая из ящика по одному шару, можно достать их все.

Я этого не утверждал. Я лишь утверждал, что $\limsup\limits_{n\to\infty}X_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{k=n}^\infty X_k=\varnothing$, где $X_n$ указаны в "заявлении", вот и всё.

[Алексей К.]

Лукомор писал(а):

И то и другое, в принципе, для бесконечных последовательностей, неочевидно,

В вопросе об очевидности или неочевидности того или иного суждения следует, по-моему, исходить не только из бесконечности/конечности некой последовательности (прямоугольности/косоугольности некого треугольника), но из свойств индивидуума, --- того, кто смотрит и очевидит/не_очевидит.
В данной дискуссии среди таковых свойств я бы выделил уровень математического образования индивидуума.

[А.Связной]

Где-то ранее в этой теме затрагивался вопрос о последствиях случайного извлечения шаров на каждой операции и, как я понял, в этом случае ящик в полдень должен быть пуст ?

У меня такой вопрос, допустим шары кладут в ящик по одному и ничего не извлекают, в полдень ящик должен быть полон бесконечным количеством шаров. Это множество должно быть счетно-бесконечным.

Теперь три варианта "аналогичных" действий в течении минуты после полудня:
1. Шары ложили в ящик последовательно, так, что самый первый оказался в самом низу, а извлекать их нужно в обратном порядке - сверху вниз, можем ли мы начать извлекать шары, т.е. выбрать из этого множества первый элемент ? Если нет, почему множество шаров в ящике счетно ?
2. Шары уложены беспорядочно и мы извлекаем каждый раз случайный шар, допустим мы можем прочитать его номер, остануться ли в ящике шары в 1 минуту после полудня ? Можно ли таким образом установить счетность множества шаров в ящике, т.е. гарантированно извлечь их все ?
3. Тоже самое, но номера шаров не известны.

Не кажется ли Вам, что несчетность бесконечного множества - это характеристика некомпетентности наблюдателя, а не объективный факт действительности ?

[hurtsy]

Всех с Праздником!!!
Предлагаю, в связи с праздником, заменить шары на бутылки шампанского(соответствие взаимнооднозначное). Вытаскивание шара - открывание бутылки!!!


А.Связной писал(а)

Цитата:

Не кажется ли Вам, что несчетность бесконечного множества - это характеристика некомпетентности наблюдателя, а не объективный факт действительности ?

На так сформулированый вопрос не могу ответить ни да, ни нет. Лучше скажу, что мне кажется.Мне кажется, что пустое множество взятое как пересечение всех конечных множеств и пустое множество как дополнение счетного множества до бесконечного(по меньшей мере счетного) "две разные задачи". Я ссылаюсь на автора темы. Если без ссылки, я бы сказал, это две разные сущности.С уважением,

[А.Связной]

Цитата:

Мне кажется, что пустое множество взятое как пересечение всех конечных множеств и пустое множество как дополнение счетного множества до бесконечного(по меньшей мере счетного) "две разные задачи".

В таком случае, странно, что они обозначаются одним и тем же символом.

[epros]

А интересная тема была поднята, жаль что я пропустил в своё время. Сейчас уже всё подряд не прочитаю, поэтому извиняюсь, если где-то повторюсь.

Я больше склоняюсь к точке зрения конструктивизма, согласно которой теоретико-множественное понятие о бесконечности есть абсурд и белиберда. И с моей точки зрения данная задача - это как раз замечательная демонстрация бесмысленности понятия "бесконечность" (алеф-нуль, алеф-один и всех прочих алефов). Несмотря на то, что это понятие и не получается свести к формальному противоречию, на каком-то уровне металогики противоречие явно существует.

Вот одно определение итогового множества:

Someone писал(а):

Подытоживая, можно сказать, что, если каждый элемент, участвующий в процессе, добавляется и удаляется только конечное число раз, то результатом процесса является множество
$A=\{x:\exists n\in\mathbb N(\text{элемент }x\text{ был добавлен на шаге }n\text{ и не был удалён ни на каком из последующих шагов})\}\text{.}$

согласно которому это множество является пустым, поскольку таковых элементов не существует. И это определение правильное.

А вот другое определение итогового множества: Это множество, состоящее из количества шаров, превосходящего количество шаров, оставшихся на любом шаге. И это определение тоже правильное. Потому что количество шаров на каждом шаге увеличивается на 9 штук. Последовательность $M_n = 9*n$, выражающая количество шаров на каждом шаге, имеет своим "пределом" плюс бесконечность, и с этим тоже не поспоришь: "Количество шаров никогда не убывает" - это истинное утверждение.

Но эти определения противоречат друг другу: Не может количество шаров быть равным нулю и в то же время быть большим, чем на любом шаге. Я отсюда делаю вывод, что понятие "бесконечности" противоречиво.

Естественно, это вовсе не означает отрицания понятия предела и всей следующей из этого математики.

[Someone]

epros в сообщении #142309 писал(а):

А вот другое определение итогового множества: Это множество, состоящее из количества шаров, превосходящего количество шаров, оставшихся на любом шаге. И это определение тоже правильное.

Увы, это "определение" не определяет вообще никакого множества. Чтобы определить множество, нужно указать его элементы.

И неужели мало всяких классических примеров, показывающих, что всякого рода "меры" сплошь и рядом не являются "непрерывными" характеристиками?

[ewert]

epros писал(а):

А вот другое определение итогового множества: Это множество, состоящее из количества шаров, превосходящего количество шаров, оставшихся на любом шаге.

Множество состоит вовсе не из количеств, а из своих элементов.

Это -- очень типичная ошибка. Когда путают сам объект и его числовую характеристику.

Даже как-то странно. Только вчера спрашиваю у народа: "Что в данном случае является предметами?" (речь шла о комбинаторике). Отвечают: "Восемь!"...

[Лукомор]

epros писал(а):

Вот одно определение итогового множества:

Someone писал(а):

Подытоживая, можно сказать, что, если каждый элемент, участвующий в процессе, добавляется и удаляется только конечное число раз, то результатом процесса является множество
$A=\{x:\exists n\in\mathbb N(\text{элемент }x\text{ был добавлен на шаге }n\text{ и не был удалён ни на каком из последующих шагов})\}\text{.}$

согласно которому это множество является пустым, поскольку таковых элементов не существует. И это определение правильное.

Это определение некорректно.
В условии задачи нет прямого указания на то, что каждый элемент, добавленый на определенном шаге будет удален на каком то из последующих шагов.

[Someone]

Лукомор в сообщении #142407 писал(а):

В условии задачи нет прямого указания на то, что каждый элемент, добавленый на определенном шаге будет удален на каком то из последующих шагов.

Интересно. Ещё никто из спорщиков не пытался интерпретировать Литлвуда таким образом. Тогда там также нет прямого указания, что в ящик будет положено больше 30 шаров. Поскольку после прямого описания трёх шагов стоит "и т.д.". Видимо, на этом надо остановиться, несмотря на "и т.д.", и сказать, что в ящике осталось 27 шаров с номерами от 4 до 30.

[epros]

Someone, ewert, Вы правы, множество состоит не из количеств, а из элементов. И в данном случае элементами являются шары (между прочим - неважно какие именно). Но их количество мы имеем право посчитать.

Для наглядности давайте уточним условия так, что на каждом шаре в коробке прикреплена табличка с уникальным номером. Шаг делается таким образом: Каждая табличка по очереди, начиная с номера 1, перевешивается на шар, имевший табличку со следующим номером. Шар, освободившийся от таблички, вынимаем. Табличку, которую некуда перевесить, вешаем на новый шар. Также на новые шары вешаем 9 новых табличек со следующими номерами.

По условиям выполнения процедуры все шары в коробке всегда пронумерованы, начиная с 1. При этом таблички с номерами никогда не вынимаются из коробки. Но в остальном всё так же, как и в Вашей постановке задачи: любой заданный шар рано или поздно будет вынут из коробки, т.е. в полдень ни одного шара в коробке не будет. Но табличка с номером 1 не вынималась из коробки, а значит она всё ещё там. Причем она прикреплена на шаре! Вопрос: на каком, если в коробке нет шаров?

Лукомор, Вы тоже правы: в первоначальной постановке задачи не было сказано, какие именно из шаров достаются, и не возвращаются ли они обратно в коробку. Но давайте позволим уточнить условия задачи таким образом, что каждый раз вынимается шар, положенный раньше других, и при этом в коробку они не возвращаются.

Лирическое отступление
Вообще, "чистые математики" с точки зрения здравого смысла при решении подобных задач выглядят редкостными чудиками. Все прекрасно понимают, что какова бы ни была природа коробки и шаров, на практике всё закончится либо тем, что коробка переполнится, либо тем, что шаров больше не найдётся. Поэтому вывод "чистой" теоретико-множественной математики о том, что в итоге коробка окажется пустой, явно лишён какого бы то ни было практического смысла. А когда математика лишена какого бы то ни было практического смысла, то это хороший повод задуматься: А нужна ли такая математика вообще? Абсурдность выводов теоретико-множественной математики, принимающей аксиому бесконечности, состоит в том, что бесконечная процедура должна иметь некий конец.

[Лукомор]

Someone писал(а):

Тогда там также нет прямого указания, что в ящик будет положено больше 30 шаров. Поскольку после прямого описания трёх шагов стоит "и т.д.". Видимо, на этом надо остановиться, несмотря на "и т.д.", и сказать, что в ящике осталось 27 шаров с номерами от 4 до 30.

Вот как-раз на "и.т.д." я призывал обратить внимание еще на прошлом витке обсуждения.

Допустим, что у нас имеется три ящика $A, B, C$.
За одну минуту до полудня все шары находятся в ящике $A$.
На первом шаге нашего безнадежного мероприятия 10 шаров перекладываются из ящика $A$ в ящик $B$ и 1 шар перекладывается из ящика $B$ в ящик $C$.
Далее все повторяется по Литлвуду.
Очевидно, что в некоторый момент времени $t_ N$ шар c номером $N$ будет извлечен из ящика $B$.
Однако, следует заметить, что в некоторый момент времени $t_ M$ этот же шар был извлечен из ящика $A$, и уложен в ящик $B$.
Причем для любого шара:
1. Момент времени $t_ M$ предшествует моменту времени $t_ N$.
2. Интервал времени от $t_ M$ до $t_ N$ в 9 раз больше интервала времени от $t_ N$ до полудня.
3. В момент извлечения любого шара с номером $N$ из ящика $B$ в ящике $B$ обязательно остаются шары с номерами от $N+1$ до $10\cdot N$.
Выводы из этих трех положений напрашиваются следующие:
1. Ящик $A$ опустеет раньше, чем ящик $B$.
2. В момент, когда ящик $A$ опустеет, в ящиках $B$ и $C$ будет находиться бесконечное количество шаров, причем в ящике $B$ в количественном отношении шаров будет в 9 раз больше, чем в ящике $C$
3. Любые рассуждения о состоянии ящиков в любой момент после того, как опустеет ящик $A$ некорректны, так как в условии задачи не указан порядок перекладки шаров после этого момента.
Вот, собственно, все, что я пытался донести до широких масс читающей здесь публики...

Добавлено спустя 14 минут 54 секунды:

epros в сообщении #142409 писал(а):

Лукомор, Вы тоже правы: в первоначальной постановке задачи не было сказано, какие именно из шаров достаются, и не возвращаются ли они обратно в коробку. Но давайте позволим уточнить условия задачи таким образом, что каждый раз вынимается шар, положенный раньше других, и при этом в коробку они не возвращаются

Выше я, надеюсь, ответил и на Ваше замечание.