Тензорное исчисление

[USHkA]

Доброго времени суток!

Пытаюсь найти компоненты тензора.

Пусть задано числовое поле проницаемости. Таким образом, для каждой ячейки с координатами (x, y) определено значение проницаемости.

Требуется для каждого параллелепипеда определить тензор проницаемости (главные элементы), исходя из закона Дарси.

$u = \frac{-\kappa}{\mu}\nabla p$

Подскажите, пожалуйста, каким образом можно найти компоненты на диагонали тензора. Исходя из равенства потока для каждой ячейки и величины перепада давлений? Ведь если поток один и тот же, то при одинаковом перепаде давлений величина проницаемости должна меняться (увеливаться / уменьшаться)

[пианист]

Если проницаемость предполагается тензором, что именно Вы подразумеваете заданым, говоря "задано числовое поле проницаемости"?
Также: что есть "определить для (каждого) параллелепипеда"?

[Munin]

Если поле проницаемости числовое, то видимо, тензор проницаемости диагональный с одинаковыми элементами на диагонали $\left(\begin{smallmatrix}\kappa&0&0\\0&\kappa&0\\0&0&\kappa\end{smallmatrix}\right).$

[Igrickiy(senior)]

Munin в сообщении #1373130 писал(а):

Если поле проницаемости числовое, то видимо, тензор проницаемости диагональный с одинаковыми элементами на диагонали $\left(\begin{smallmatrix}\kappa&0&0\\0&\kappa&0\\0&0&\kappa\end{smallmatrix}\right).$

А почему?

[realeugene]

Igrickiy(senior) в сообщении #1373133 писал(а):

А почему?

Потому что рассматриваемая проницаемость изотропна.

[Igrickiy(senior)]

realeugene в сообщении #1373153 писал(а):

Потому что рассматриваемая проницаемость изотропна.

Поясню свой вопрос.
У ТС ячейка двумерная.
Потом появляется параллелепипед - что-то трехмерное.
Как конструируется тензор?
Почему важны только диагональные элементы?
Кто сказал, что проницаемость изотропна?
И последнее.
Я не понял высказывание:

Munin в сообщении #1373130 писал(а):

Если поле проницаемости числовое, то видимо, тензор проницаемости диагональный с одинаковыми элементами на диагонали

Не уловил связи антецедента и консеквента.
К этому и был вопрос: "А почему?"
Если кто-нибудь понимает, объясните, пожалуйста.

[Munin]

Igrickiy(senior) в сообщении #1373203 писал(а):

У ТС ячейка двумерная.

А, ну $\left(\begin{smallmatrix}\kappa&0\\0&\kappa\end{smallmatrix}\right),$ не суть важно.

-- 31.01.2019 22:26:56 --

Практика общения на форумах показывает, что когда появляется кто-то с невнятным вопросом, то ему чаще всего нужен наиболее простой ответ. Если же нет, то он сам потом объяснит это. А заранее предполагать сложности - непродуктивно и приводит к долгим разговорам не по делу, после которых выясняется, что они совершенно не нужны.

[realeugene]

USHkA в сообщении #1372258 писал(а):

Пусть задано числовое поле проницаемости.

Тензор общего вида - это не число. Если поле числовое, то проницаемость в каждой точке описывается скаляром, т. е. она изотропна.
Это моё мнение, которое может не совпадать с мнением преподавателя, задавшего эту задачу.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1373209 писал(а):

Если поле числовое, то проницаемость в каждой точке описывается скаляром, т. е. она изотропна.

Возможно, автор хочет получить коэффициенты для области в целом. Что-то вроде

$$\langle u_x\rangle=-\frac{k_{xx}}{\mu}\frac{\Delta P_x}{L_x},\quad\langle u_y\rangle=-\frac{k_{yy}}{\mu}\frac{\Delta P_y}{L_y}.$$

Где $\Delta P$ - перепад давления между краями области.
Тогда для общего случая, похоже, нужно писать уравнения для каждой точки $u_x(x,y)=-\dfrac{k(x,y)}{\mu}\dfrac{\partial p}{\partial x}(x,y)$, то же по второй координате, дополнить уравнением неразрывности и граничными условиями, и решать численно.

[Igrickiy(senior)]

Munin в сообщении #1373205 писал(а):

А заранее предполагать сложности - непродуктивно и приводит к долгим разговорам не по делу, после которых выясняется, что они совершенно не нужны.

USHkA в сообщении #1372258 писал(а):

Требуется для каждого параллелепипеда определить тензор проницаемости (главные элементы), исходя из закона Дарси.

Существует большое количество феноменологических законов для определённых необратимых процессов. Они утверждают пропорциональность потоков одних величин и градиентов некоторых других величин. Закон Фурье для теплопроводности, связывающий тепловой поток и градиент температуры. Закон Фика,связывающий диффузионный поток вещества и градиент концентрации. Закон Ома, связывающий ток и градиент потенциала. Закон Дарси из этой же области. Он связывает поток жидкости в пористых породах с градиентом давления.
Если рассмотреть пример закона Ома, то его обобщением является замена скалярной величины - проводимости на тензор проводимости. Тогда будет не простая пропорциональность электрического тока напряжённости электрического поля (градиенту потенциала), а свертка новой тензорной характеристики вещества - тензора проводимости с градиентом потенциала.
Методы вычисления тензора проводимости можно найти в соответствующих учебниках по электродинамике. Это сложная наука.
Скорее всего, аналогичные учебники есть и по диффузии и фильтрации в пористых средах - нефть в почве, жидкости в тканях, дереве, порошках и пр.
Не может не быть.
Но для введения тензора должны быть серьёзные основания для рассмотрения анизотропии среды.
Если анизотропии нет, то не нужно никакого тензора. Можно и нужно ограничиться обычным скалярным коэффициентом фильтрации.
Есть также море литературы по взаимодействию одних потоков с другими.
Эффекты Реуса, Пельтье, Зеебека, Квинке, Холла, Томсона, Нернста, Эттинсгаузена, Риги-Ледука ....
Это частные случаи основных законов в определённых условиях.
Фильтрация не исключение.
Весь вопрос в том, в какой степени актуальна анизотропия.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1373265 писал(а):

Возможно, автор хочет получить коэффициенты для области в целом.

Зафиксировав поверхности, между которыми осуществляется перенос? Это не будет тензор. Тензор можно вращать, меняя оси, и умножать на вектор, получая коэффициенты переноса в любом направлении.
Или ТС ищет что-то среднее исходя из случайности распределения неоднородностей?

[Geen]

Мне кажется, не стоит флудить - ТС написал "неделю назад" пост, через пару часов "проконтролировал" и с тех пор не появлялся...

[DimaM]

realeugene в сообщении #1373334 писал(а):

Зафиксировав поверхности, между которыми осуществляется перенос? Это не будет тензор.

Конечно. Это будет матрица $2\times 2$.

[Igrickiy(senior)]

realeugene в сообщении #1373334 писал(а):

Это не будет тензор.

Извините, а что "это"?

[realeugene]

Igrickiy(senior) в сообщении #1373351 писал(а):

Извините, а что "это"?

Набор полученных в результате некоторого расчёта коэффициентов переноса между гранями определённого параллелепипеда.