2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 10:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На одной из ленинградских олимпиад предлагалась следующая задача:

Могут ли числа 27, 84, 110, 133, 144 удовлетворять уравнению
$$a^n+b^n+c^n+d^n=t^n$$
при некотором натуральном $n$?

Согласно статье о гипотозе Эйлера в Википедии:
Цитата:
> В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж[en] нашли первый контрпример для $n = 5$:[1][2]

> $${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$$

Мне крайне любопытно, что именно ожидали составители задач олимпиады от её участников?
Если участнику этот контрпример к гипотезе Эйлера известен, тогда задача - не на проверку одарённости, а на проверку знаний. Если же упомянутый контрпример неизвестен олимпиаднику, непонятно, как именно олимпиадник должен до этого примера додуматься. Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Пожалуйста, помогите разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 11:45 


05/09/16
12038
Ненуачо...
Проверяем последние цифры ака остаток от деления на $10$.
Вторая степень -- $9+6+0+9=4\ne 6$ - не могёт
Третья степень -- $3+4+0+7=4 \ne 4$ - опа! могёт!
Четвертая степень -- $1+6+0+1=8 \ne 6$ - не могёт
Пятая степень -- $7+4+0+3=4 = 4$ опа! могёт!
Шестая степень -- $9+6+0+9=4 \ne 6$ - не могёт
Седьмая степень --$3+4+0+7=4 = 4$ опа! могёт!

Видим, что четные степени точно не могут являться решениями.

Ну значит нечетные могли бы, вот и ответ. :oops:

Можно посмотреть на остатки например от деления на сотню (т.е. последние две цифры). Тогда бы мы увидели что подходят только $n=4k+5$ ($k$ считаем от нуля) - пятая, девятая, тринадцатая... Для совпадения последних трёх или четырёх цифр надо чтобы $n=20k+5$

Вопрос таким образом сводится к следующему, можно ли как-то не сильно напрягая калькулятор, ответить на эту задачу, что "если и может, то только $n=5$"
Вероятно, для этого надо показать, что сумма для шестой или седьмой степени заведомо меньше чем надо.

Можно нетрудно показать, что начиная с 19-й степени это так. $144/133 \approx 1,08$ а $\dfrac{\ln 4}{\ln 1,08}<19$, но тут нужен Фейнман или калькулятор. Поскольку из анализа последних трёх цифр мы знаем что следующая подходящая после 5-й степени -- 25-я, то видно что 25-я не подходит потому что сумма которая слева от знака равенства, меньше.

Таким образом имеем два пути:
1. Анализировать только последнюю цифру и показать что третья степень не подходит потому что сумма больше, а шестая степень и далее не подходят потому что сумма меньше.
2. Анализировать больше последних цифр, или остатки от деления на другие числа, и затем опять же показать, что пятая степень подходит, а до неё и после - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 11:55 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
тогда задача - не на проверку одарённости, а на проверку знаний.

Олимпиады как правило без подготовки хорошо не решаются. Это означает, чтобы раскрыть свою одарённость, надо иметь некоторую степень эрудированности.

Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Ну, числа уже даны, так что тут повторением даже и не пахнет. Просто надо отталкиваться от того, что дано в условии, и всё получится. Думаю, эта задача стояла первым или вторым номером, как не самая сложная. Просто много рутинных вычислений. И не в уме, а на бумаге.

wrest в сообщении #1372370 писал(а):
можно ли как-то не сильно напрягая калькулятор, ответить на эту задачу...

Меня сразу начинает мучить вопрос, какая из двух функций растёт быстрее: $$f(a)=a^x+b^x+c^x+d^x$$ $$g(x)=t^x$$
Очевидно, что сумма логарифмов больше логарифма суммы (во всяком случае для заданных значений переменных), только вот можно ли пользоваться производной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 11:59 


07/06/17
1124
Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Точно с помощью ЭВМ. Текст их заметки (которая чуть ли не меньше заголовка) начинается с "Прямой поиск на CDC 6600 дал результат:..." ("A direct search on the CDC 6600 yielded...").

(Оффтоп)

Школьникам всё же не предлагается найти эту пятерку. Она им дана. С помощью модульной арифметики можно быстро отсеять невозможные значения $n$, предположим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:11 


05/09/16
12038
B@R5uk в сообщении #1372373 писал(а):
Меня сразу начинает мучить вопрос, какая из двух функций растёт быстрее: $$f(x)=a^x+b^x+c^x+d^x$$ $$g(x)=t^x$$

При том что $t> \max \{ a;b;c;d \}$ -- вторая, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:26 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
B@R5uk в сообщении #1372373 писал(а):
Олимпиады как правило без подготовки хорошо не решаются. Это означает, чтобы раскрыть свою одарённость, надо иметь некоторую степень эрудированности.

(Оффтоп)

А что решается хорошо без подготовки? Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:29 


05/09/16
12038

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372377 писал(а):
Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

Большая степень эрудированности это тоже в некотором смысле одаренность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
wrest в сообщении #1372378 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372377 писал(а):
Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

Большая степень эрудированности это тоже в некотором смысле одаренность.

(Оффтоп)

Возможно, Вы правы, но это не ответ на вопрос. Спрашивалось, как раскрыть одарённость, не обязательно связанную с эрудированностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:36 


05/09/16
12038

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372379 писал(а):
Спрашивалось, как раскрыть одарённость, не обязательно связанную с эрудированностью.

Ваш вопрос понятен, но он предполагет, что олимпиады только и именно для этого и нужны, а мне это кажется неверным. Отвяжите вопрос от олимпиады, например создав новую тему -- тогда может и другие ответы будут. Эрудированность это владение многими инструментами, в том числе предыдущими результатами в конкретной области, а не только четырьмя арифметическими действиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 13:00 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
wrest в сообщении #1372376 писал(а):
При том что $t> \max \{ a;b;c;d \}$ -- вторая, конечно.

Кстати, да. С производной я что-то затупил. В любом случае, единственность решения из скорости роста очевидна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков,
Можно "физическими методами" оценить третью и седьмую степени. Поделим числа на 9 (удобно, что 144 делится на 9). Для третьей степени первые 4 числа возьмём с округлением вниз и устно можно увидеть, что сумма третьих степеней будет больше, чем $16^3$. Для 7-х степеней -- наоборот: округляем первые 4 числа вверх. Это тоже можно всё считать в уме не выходя за рамки умножения однозначных чисел на двузначные.

А вот пятую степень в уме вряд ли можно проверить -- эти вычисления придётся проделать вручную или на калькуляторе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 16:14 


05/09/16
12038
B@R5uk в сообщении #1372387 писал(а):
Кстати, да. С производной я что-то затупил. В любом случае, единственность решения из скорости роста очевидна.

Ну ващета производная зануляется при $x \approx 4,8$ (в одном только этом месте), с переходом из минуса в плюс слева-направо то есть там глобальный минимум (у функции $f(x>0)=144^x-(133^x+110^x+84^x+27^x)$ :)
Изображение
Такшта нужны еще пара шагов - оказалось не все так просто. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 16:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1700
москва
Единственность видна из такой записи уравнения: $(\frac {27}{144})^x+(\frac {84}{144})^x+(\frac {110}{144})^x+(\frac {133}{144})^x=1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 17:01 


05/09/16
12038
mihiv в сообщении #1372434 писал(а):
Единственность видна из такой записи уравнения: $(\frac {27}{144})^x+(\frac {84}{144})^x+(\frac {110}{144})^x+(\frac {133}{144})^x=1.$

А поясните, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Потому что каждое слагаемое в левой части убывает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group