Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера

[Ktina]

На одной из ленинградских олимпиад предлагалась следующая задача:

Могут ли числа 27, 84, 110, 133, 144 удовлетворять уравнению

$$a^n+b^n+c^n+d^n=t^n$$

при некотором натуральном $n$?

Согласно статье о гипотозе Эйлера в Википедии:

Цитата:

> В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж[en] нашли первый контрпример для $n = 5$:[1][2]

>

$${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$$

Мне крайне любопытно, что именно ожидали составители задач олимпиады от её участников?
Если участнику этот контрпример к гипотезе Эйлера известен, тогда задача - не на проверку одарённости, а на проверку знаний. Если же упомянутый контрпример неизвестен олимпиаднику, непонятно, как именно олимпиадник должен до этого примера додуматься. Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Пожалуйста, помогите разобраться.

[wrest]

Ненуачо...
Проверяем последние цифры ака остаток от деления на $10$.
Вторая степень -- $9+6+0+9=4\ne 6$ - не могёт
Третья степень -- $3+4+0+7=4 \ne 4$ - опа! могёт!
Четвертая степень -- $1+6+0+1=8 \ne 6$ - не могёт
Пятая степень -- $7+4+0+3=4 = 4$ опа! могёт!
Шестая степень -- $9+6+0+9=4 \ne 6$ - не могёт
Седьмая степень --$3+4+0+7=4 = 4$ опа! могёт!

Видим, что четные степени точно не могут являться решениями.

Ну значит нечетные могли бы, вот и ответ.

Можно посмотреть на остатки например от деления на сотню (т.е. последние две цифры). Тогда бы мы увидели что подходят только $n=4k+5$ ($k$ считаем от нуля) - пятая, девятая, тринадцатая... Для совпадения последних трёх или четырёх цифр надо чтобы $n=20k+5$

Вопрос таким образом сводится к следующему, можно ли как-то не сильно напрягая калькулятор, ответить на эту задачу, что "если и может, то только $n=5$"
Вероятно, для этого надо показать, что сумма для шестой или седьмой степени заведомо меньше чем надо.

Можно нетрудно показать, что начиная с 19-й степени это так. $144/133 \approx 1,08$ а $\dfrac{\ln 4}{\ln 1,08}<19$, но тут нужен Фейнман или калькулятор. Поскольку из анализа последних трёх цифр мы знаем что следующая подходящая после 5-й степени -- 25-я, то видно что 25-я не подходит потому что сумма которая слева от знака равенства, меньше.

Таким образом имеем два пути:
1. Анализировать только последнюю цифру и показать что третья степень не подходит потому что сумма больше, а шестая степень и далее не подходят потому что сумма меньше.
2. Анализировать больше последних цифр, или остатки от деления на другие числа, и затем опять же показать, что пятая степень подходит, а до неё и после - нет.

[B@R5uk]

Ktina в сообщении #1372363 писал(а):

тогда задача - не на проверку одарённости, а на проверку знаний.

Олимпиады как правило без подготовки хорошо не решаются. Это означает, чтобы раскрыть свою одарённость, надо иметь некоторую степень эрудированности.

Ktina в сообщении #1372363 писал(а):

Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Ну, числа уже даны, так что тут повторением даже и не пахнет. Просто надо отталкиваться от того, что дано в условии, и всё получится. Думаю, эта задача стояла первым или вторым номером, как не самая сложная. Просто много рутинных вычислений. И не в уме, а на бумаге.

wrest в сообщении #1372370 писал(а):

можно ли как-то не сильно напрягая калькулятор, ответить на эту задачу...

Меня сразу начинает мучить вопрос, какая из двух функций растёт быстрее:

$$f(a)=a^x+b^x+c^x+d^x$$

$$g(x)=t^x$$

Очевидно, что сумма логарифмов больше логарифма суммы (во всяком случае для заданных значений переменных), только вот можно ли пользоваться производной?

[Booker48]

Ktina в сообщении #1372363 писал(а):

Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Точно с помощью ЭВМ. Текст их заметки (которая чуть ли не меньше заголовка) начинается с "Прямой поиск на CDC 6600 дал результат:..." ("A direct search on the CDC 6600 yielded...").

(Оффтоп)

Школьникам всё же не предлагается найти эту пятерку. Она им дана. С помощью модульной арифметики можно быстро отсеять невозможные значения $n$, предположим.

[wrest]

B@R5uk в сообщении #1372373 писал(а):

Меня сразу начинает мучить вопрос, какая из двух функций растёт быстрее:

$$f(x)=a^x+b^x+c^x+d^x$$

$$g(x)=t^x$$

При том что $t> \max \{ a;b;c;d \}$ -- вторая, конечно.

[Ktina]

B@R5uk в сообщении #1372373 писал(а):

Олимпиады как правило без подготовки хорошо не решаются. Это означает, чтобы раскрыть свою одарённость, надо иметь некоторую степень эрудированности.

(Оффтоп)

А что решается хорошо без подготовки? Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

[wrest]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372377 писал(а):

Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

Большая степень эрудированности это тоже в некотором смысле одаренность.

[Ktina]

wrest в сообщении #1372378 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372377 писал(а):

Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

Большая степень эрудированности это тоже в некотором смысле одаренность.

(Оффтоп)

Возможно, Вы правы, но это не ответ на вопрос. Спрашивалось, как раскрыть одарённость, не обязательно связанную с эрудированностью.

[wrest]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372379 писал(а):

Спрашивалось, как раскрыть одарённость, не обязательно связанную с эрудированностью.

Ваш вопрос понятен, но он предполагет, что олимпиады только и именно для этого и нужны, а мне это кажется неверным. Отвяжите вопрос от олимпиады, например создав новую тему -- тогда может и другие ответы будут. Эрудированность это владение многими инструментами, в том числе предыдущими результатами в конкретной области, а не только четырьмя арифметическими действиями.

[B@R5uk]

wrest в сообщении #1372376 писал(а):

При том что $t> \max \{ a;b;c;d \}$ -- вторая, конечно.

Кстати, да. С производной я что-то затупил. В любом случае, единственность решения из скорости роста очевидна.

[grizzly]

Ktina в сообщении #1372363 писал(а):

Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков,

Можно "физическими методами" оценить третью и седьмую степени. Поделим числа на 9 (удобно, что 144 делится на 9). Для третьей степени первые 4 числа возьмём с округлением вниз и устно можно увидеть, что сумма третьих степеней будет больше, чем $16^3$. Для 7-х степеней -- наоборот: округляем первые 4 числа вверх. Это тоже можно всё считать в уме не выходя за рамки умножения однозначных чисел на двузначные.

А вот пятую степень в уме вряд ли можно проверить -- эти вычисления придётся проделать вручную или на калькуляторе.

[wrest]

B@R5uk в сообщении #1372387 писал(а):

Кстати, да. С производной я что-то затупил. В любом случае, единственность решения из скорости роста очевидна.

Ну ващета производная зануляется при $x \approx 4,8$ (в одном только этом месте), с переходом из минуса в плюс слева-направо то есть там глобальный минимум (у функции $f(x>0)=144^x-(133^x+110^x+84^x+27^x)$ :)

Такшта нужны еще пара шагов - оказалось не все так просто.

[mihiv]

Единственность видна из такой записи уравнения: $(\frac {27}{144})^x+(\frac {84}{144})^x+(\frac {110}{144})^x+(\frac {133}{144})^x=1.$

[wrest]

mihiv в сообщении #1372434 писал(а):

Единственность видна из такой записи уравнения: $(\frac {27}{144})^x+(\frac {84}{144})^x+(\frac {110}{144})^x+(\frac {133}{144})^x=1.$

А поясните, почему?

[Someone]

Потому что каждое слагаемое в левой части убывает.