2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 10:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На одной из ленинградских олимпиад предлагалась следующая задача:

Могут ли числа 27, 84, 110, 133, 144 удовлетворять уравнению
$$a^n+b^n+c^n+d^n=t^n$$
при некотором натуральном $n$?

Согласно статье о гипотозе Эйлера в Википедии:
Цитата:
> В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж[en] нашли первый контрпример для $n = 5$:[1][2]

> $${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$$

Мне крайне любопытно, что именно ожидали составители задач олимпиады от её участников?
Если участнику этот контрпример к гипотезе Эйлера известен, тогда задача - не на проверку одарённости, а на проверку знаний. Если же упомянутый контрпример неизвестен олимпиаднику, непонятно, как именно олимпиадник должен до этого примера додуматься. Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Пожалуйста, помогите разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 11:45 


05/09/16
12068
Ненуачо...
Проверяем последние цифры ака остаток от деления на $10$.
Вторая степень -- $9+6+0+9=4\ne 6$ - не могёт
Третья степень -- $3+4+0+7=4 \ne 4$ - опа! могёт!
Четвертая степень -- $1+6+0+1=8 \ne 6$ - не могёт
Пятая степень -- $7+4+0+3=4 = 4$ опа! могёт!
Шестая степень -- $9+6+0+9=4 \ne 6$ - не могёт
Седьмая степень --$3+4+0+7=4 = 4$ опа! могёт!

Видим, что четные степени точно не могут являться решениями.

Ну значит нечетные могли бы, вот и ответ. :oops:

Можно посмотреть на остатки например от деления на сотню (т.е. последние две цифры). Тогда бы мы увидели что подходят только $n=4k+5$ ($k$ считаем от нуля) - пятая, девятая, тринадцатая... Для совпадения последних трёх или четырёх цифр надо чтобы $n=20k+5$

Вопрос таким образом сводится к следующему, можно ли как-то не сильно напрягая калькулятор, ответить на эту задачу, что "если и может, то только $n=5$"
Вероятно, для этого надо показать, что сумма для шестой или седьмой степени заведомо меньше чем надо.

Можно нетрудно показать, что начиная с 19-й степени это так. $144/133 \approx 1,08$ а $\dfrac{\ln 4}{\ln 1,08}<19$, но тут нужен Фейнман или калькулятор. Поскольку из анализа последних трёх цифр мы знаем что следующая подходящая после 5-й степени -- 25-я, то видно что 25-я не подходит потому что сумма которая слева от знака равенства, меньше.

Таким образом имеем два пути:
1. Анализировать только последнюю цифру и показать что третья степень не подходит потому что сумма больше, а шестая степень и далее не подходят потому что сумма меньше.
2. Анализировать больше последних цифр, или остатки от деления на другие числа, и затем опять же показать, что пятая степень подходит, а до неё и после - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 11:55 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
тогда задача - не на проверку одарённости, а на проверку знаний.

Олимпиады как правило без подготовки хорошо не решаются. Это означает, чтобы раскрыть свою одарённость, надо иметь некоторую степень эрудированности.

Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Ну, числа уже даны, так что тут повторением даже и не пахнет. Просто надо отталкиваться от того, что дано в условии, и всё получится. Думаю, эта задача стояла первым или вторым номером, как не самая сложная. Просто много рутинных вычислений. И не в уме, а на бумаге.

wrest в сообщении #1372370 писал(а):
можно ли как-то не сильно напрягая калькулятор, ответить на эту задачу...

Меня сразу начинает мучить вопрос, какая из двух функций растёт быстрее: $$f(a)=a^x+b^x+c^x+d^x$$ $$g(x)=t^x$$
Очевидно, что сумма логарифмов больше логарифма суммы (во всяком случае для заданных значений переменных), только вот можно ли пользоваться производной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 11:59 


07/06/17
1131
Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков, которые, возможно, подыскали контрпример с помощью ЭВМ?

Точно с помощью ЭВМ. Текст их заметки (которая чуть ли не меньше заголовка) начинается с "Прямой поиск на CDC 6600 дал результат:..." ("A direct search on the CDC 6600 yielded...").

(Оффтоп)

Школьникам всё же не предлагается найти эту пятерку. Она им дана. С помощью модульной арифметики можно быстро отсеять невозможные значения $n$, предположим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:11 


05/09/16
12068
B@R5uk в сообщении #1372373 писал(а):
Меня сразу начинает мучить вопрос, какая из двух функций растёт быстрее: $$f(x)=a^x+b^x+c^x+d^x$$ $$g(x)=t^x$$

При том что $t> \max \{ a;b;c;d \}$ -- вторая, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:26 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
B@R5uk в сообщении #1372373 писал(а):
Олимпиады как правило без подготовки хорошо не решаются. Это означает, чтобы раскрыть свою одарённость, надо иметь некоторую степень эрудированности.

(Оффтоп)

А что решается хорошо без подготовки? Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:29 


05/09/16
12068

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372377 писал(а):
Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

Большая степень эрудированности это тоже в некотором смысле одаренность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
wrest в сообщении #1372378 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372377 писал(а):
Как раскрыть одарённость, имея нулевую (или эпсилонную) степень эрудированности?

Большая степень эрудированности это тоже в некотором смысле одаренность.

(Оффтоп)

Возможно, Вы правы, но это не ответ на вопрос. Спрашивалось, как раскрыть одарённость, не обязательно связанную с эрудированностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 12:36 


05/09/16
12068

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1372379 писал(а):
Спрашивалось, как раскрыть одарённость, не обязательно связанную с эрудированностью.

Ваш вопрос понятен, но он предполагет, что олимпиады только и именно для этого и нужны, а мне это кажется неверным. Отвяжите вопрос от олимпиады, например создав новую тему -- тогда может и другие ответы будут. Эрудированность это владение многими инструментами, в том числе предыдущими результатами в конкретной области, а не только четырьмя арифметическими действиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 13:00 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
wrest в сообщении #1372376 писал(а):
При том что $t> \max \{ a;b;c;d \}$ -- вторая, конечно.

Кстати, да. С производной я что-то затупил. В любом случае, единственность решения из скорости роста очевидна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Ktina в сообщении #1372363 писал(а):
Повторить (в уме!!!) достижение двух профессиональных математиков,
Можно "физическими методами" оценить третью и седьмую степени. Поделим числа на 9 (удобно, что 144 делится на 9). Для третьей степени первые 4 числа возьмём с округлением вниз и устно можно увидеть, что сумма третьих степеней будет больше, чем $16^3$. Для 7-х степеней -- наоборот: округляем первые 4 числа вверх. Это тоже можно всё считать в уме не выходя за рамки умножения однозначных чисел на двузначные.

А вот пятую степень в уме вряд ли можно проверить -- эти вычисления придётся проделать вручную или на калькуляторе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 16:14 


05/09/16
12068
B@R5uk в сообщении #1372387 писал(а):
Кстати, да. С производной я что-то затупил. В любом случае, единственность решения из скорости роста очевидна.

Ну ващета производная зануляется при $x \approx 4,8$ (в одном только этом месте), с переходом из минуса в плюс слева-направо то есть там глобальный минимум (у функции $f(x>0)=144^x-(133^x+110^x+84^x+27^x)$ :)
Изображение
Такшта нужны еще пара шагов - оказалось не все так просто. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 16:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Единственность видна из такой записи уравнения: $(\frac {27}{144})^x+(\frac {84}{144})^x+(\frac {110}{144})^x+(\frac {133}{144})^x=1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 17:01 


05/09/16
12068
mihiv в сообщении #1372434 писал(а):
Единственность видна из такой записи уравнения: $(\frac {27}{144})^x+(\frac {84}{144})^x+(\frac {110}{144})^x+(\frac {133}{144})^x=1.$

А поясните, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ленинградская олимпиада и гипотеза Эйлера
Сообщение28.01.2019, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Потому что каждое слагаемое в левой части убывает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: confabulez


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group