Преобразование декартовых координат

[bURov]

Нужно разобраться с соотношениями поворота декартовых координат.
$y$ вверх, $x$ вправо, поворот против часовой стрелки (положительный).
В литературе встречаются такие:

$x = x'*cos\alpha + y'*sin\alpha$
$y =-x'*sin\alpha + y'*cos\alpha$
[Бронштейн И. Справочник по математике, с.234]

и такие

$x = x'*cos\alpha - y'*sin\alpha$
$y = x'*sin\alpha + y'*cos\alpha$
[http://www.a-geometry.narod.ru/problems/problems_07.htm]

Откуда такая разница?

Также, смотрим на матрицы поворота (Википедия) в 3D-координатах.

Вращение вокруг оси X
----------- ----------- -----------
1 0 0
0 cos(альфа) -sin(альфа)
0 sin(альфа) cos(альфа)

Вращение вокруг оси Y
----------- ----------- -----------
cos(альфа) 0 sin(альфа)
0 1 0
-sin(альфа) 0 cos(альфа)

Вращение вокруг оси Z
----------- ----------- -----------
cos(альфа) -sin(альфа) 0
sin(альфа) cos(альфа) 0
0 0 1

Почему-то опять нет однородности для X,Z и Y?

(прим. Матрицу неасилил исправить)

[ewert]

bURov писал(а):

Откуда такая разница?

В одном случае выписан переход от старых координат к новым, в другом -- наоборот (они отличаются друг от друга заменой $(\alpha)$ на $(-\alpha)$). Случаю, когда в левой части стоят новые координаты, отвечает вариант с плюс синусом вверху.

bURov писал(а):

Почему-то опять нет однородности для X,Z и Y?

Матрицы переводятся друг в друга циклическими перестановками координат:
(X,Y,Z) -> (Y,Z,X) -> (Z,X,Y)
(циклические перестановки характеризуются тем, что их можно реализовать только поворотами, без отражений)

[нг]

bURov
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте.

[bURov]

Кое-что прояснилось.
Мне это нужно для решения задачи. Такой.
Есть декартова система координат $xyz$, скажем, $x$ от меня (я в начале координат), $z$ вправо, $y$ вверх.

Ко мне (началу координат) движется точка со стороны положительных направлений осей $xyz$.

Ввожу вторую систему координат $x'y'z'$. $x'$ направлена - по линии движения точки, но от меня. $z'$ перпендикуклярно $x'$ и вправо от меня. $y'$ вниз. Точка находится в начале этой этой СК в момент времени $t_0$.

Линия движения точки (и ось $x'$) составляет с её проекцей на плоскость $xy$ угол $\alpha$.

Угол между этой проекцией и осью $x$ - угол $\theta$.

Скорость точки равномерна и известна (хотя факт движения не суть важен - вопрос только по преобразованию координат)

Хочу найти координаты точки в системе $xyz$.
Т.е. делаю преобразование $x'y'z'$ -> $xyz$.

Три поворота $x'y'z'$ (как в Бронштейн)

1. Вокруг $z'$ ($z'$ на меня, $y'$ вверх, $x'$ вправо) на $\alpha$ против часовой стрелки
$x = x'*cos\alpha + y'*sin\alpha$
$y =-x'*sin\alpha + y'*cos\alpha$

2. Вокруг $z'$ ($y'$ на меня, $x'$ вверх, $z'$ вправо) на 2*Пи - $\theta$ против часовой стрелки
$z = z'*cos(2*Пи - \theta) + x'*sin(2*Пи - \theta)$
$x =-z'*sin(2*Пи - \theta) + x'*cos(2*Пи - \theta)$

или

$x = z'*sin\theta + x'*cos\theta$
$z = z'*cos\theta + x'*sin\theta$

3. Вокруг $x'$ ($x'$ на меня, $z'$ вверх, $y'$ вправо) на Пи против часовой стрелки
$y = y'*cos(Пи) + z'*sin(Пи) = -y'$
$z =-y'*sin(Пи) + z'*cos(Пи) = -z'$

В результате получаю

$x = (x'*cos\alpha + y'*cos\alpha)*cos\theta + z'*cos\theta$
$y = x'*sin\alpha + y'*cos\alpha$
$z = (z'*cos\alpha + z'*cos\alpha)*sin\theta - z'*cos\theta$

Проверяю результат в Excel, приравниваю оба угла например 15-ти градусам.
Вижу, что координаты $y$ и $z$ вычисляются в не одинаковые величины. Хотя из условий должны быть именно одинаковы. Помогите.