Общий базис коммутирующих операторов

[StaticZero]

g______d в сообщении #1371884 писал(а):

Я придавал несколько другой смысл фразе "не упуская детали".

Простите меня.

Если требование эрмитовости добавить, то хотя бы формулировку спасти можно?

[g______d]

StaticZero в сообщении #1371885 писал(а):

Если требование эрмитовости добавить, то хотя бы формулировку спасти можно?

Можно. Попробуйте заново, с формулировкой и доказательством.

[StaticZero]

Лемма. Пусть $A, B$ --- коммутирующие эрмитовы операторы в $\mathscr H$ такие, что $\dim \ker(A - \lambda_k I) < \infty$, $\dim \ker(B - \mu_k I) < \infty$ и базисы операторов полны. Тогда существует базис $\{ \Psi_k \}_{k=1}^\infty$ такой, что $A \Psi_k = \lambda_k \Psi_k$, $B \Psi_k = \mu_k \Psi_k$.

Доказательство. Пусть $\lambda$ --- одно из собственных чисел $A$ и $0 \ne \left| \psi \right \rangle \in \ker (A - \lambda I)$ и $\left| s \right \rangle$ - полный базис $B$. Разложим $\left| \psi \right \rangle = \sum_s c_s \left| s \right \rangle$. Имеем

$$ 0 = (A - \lambda I) \left| \psi \right \rangle = \sum \limits_s c_s (A - \lambda I) \left| s \right \rangle = \sum \limits_s c_s \left| \psi_s \right \rangle, \eqno{(*)} $$

где $\left| \psi_s \right \rangle \equiv (A - \lambda I) \left| s \right \rangle$. Так как $B$ и $A - \lambda I$ коммутируют, то $B \left| \psi_s \right \rangle= \mu_s \left|\psi_s\right\rangle$, то есть $\left| \psi_s \right \rangle$ --- собственный вектор для $B$ с соответствующим собственным числом или нуль. Скалярно умножим $(*)$ на каждый базисный вектор $\left| m \right \rangle$. Заметим, что $\left \langle m \middle| \psi_s \right \rangle = r_s \delta_{ms}$, и если $\left| \psi_s \right \rangle$ собственный, то $r_s \ne 0$, а если нуль --- то нуль. Получаем тогда

$$ 0 = \sum \limits_s c_s \left\langle m \middle| \psi_s \right \rangle =c_m r_m, $$

откуда в сумме $(*)$ все $c_s = 0$ за исключением тех, что стоят около векторов $\left| \psi_s \right \rangle$, тождественно равных нулю. Но эти коэффициенты стоят в разложении $\left| \psi \right \rangle$ по векторам $\left| s \right \rangle$. Таким образом, все $c_s$ равны нулю быть не могут. Следовательно, найдётся хотя бы один такой $\left| s \right \rangle$, для которого $(A - \lambda I) \left| s \right \rangle = 0$ (то есть получаем первый общий собственный вектор). Есть ли ещё один? Предположим, что нет. В таком случае, все возможные векторы $\left| \psi \right \rangle$ окажутся разложенными по одному-единственному вектору. Но тогда последовательно переберём в качестве $\left| \psi \right \rangle$ базисные векторы из $\ker (A - \lambda I)$. В таком случае они будут коллинеарны, что невозможно. Значит, будет и второй общий вектор. Та же логика приводит к тому, что $K_\lambda$ собственных векторов не могут быть разложены ни по двум, ни по трём, ..., ни по $K_\lambda-1$ векторам $\left| s \right \rangle$. Таким образом, единственная возможность --- что существует $K_\lambda$ векторов $\left| s \right \rangle$ в $\ker (A - \lambda I)$. Повторяя рассуждение для всех собственных подпространств $A$, получим требуемое.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1371887 писал(а):

коммутирующие эрмитовы операторы в $\mathscr H$

Я думаю, что стоит уточнить, ограниченные или нет. Если неограниченные, то есть общепринятое определение коммутируемости, и Вы должны отдавать себе отчёт в том, что его используете (это определение не то же самое, что $AB=BA$ в точном смысле).

StaticZero в сообщении #1371887 писал(а):

и базисы операторов полны

Я понимаю, что имеется в виду: для каждого оператора существует ОНБ (полная ортонормированная система), состоящая из собственных векторов. Ортонормированность важна, потому что даже в гильбертовом пространстве, в отличие от конечномерного случая, нет однозначного понятия необязательноортонормированного базиса (есть несколько неэквивалентных определений).

----------

Так в целом рассуждение верное, но несколько избыточное. В предположении, что оба оператора имеют собственный базис (в смысле, указанном выше), утверждение верно без предположения о конечномерности собственных подпространств. Проще всего доказать следующую лемму: если $B$ самосопряжён и имеет собственный базис, то сужение $B$ на любое инвариантное подпространство тоже имеет собственный базис. После этого доказать, что $\ker(A-\lambda I)$ является инвариантным подпространством для $B$, и рассмотреть задачу отдельно в каждом из этих подпространств.