Общий базис коммутирующих операторов

[vpb]

StaticZero в сообщении #1356749 писал(а):

то в каждом собственном подпространстве одного оператора второй можно диагонализовать как душе угодно
верно?

Верно, при условии, как отмечено выше, что у первого все собственные подпространства конечномерны. "Как душе угодно", вероятно, Вы имели в виду следующее. Если в каждом собственном подпространстве для $B$ выбрать, каким-то образом, собственный базис для $A$, то объединение всех таких базисов, по всем собственным значениям для $B$, и будет общим собственным базисом для обоих операторов.

[StaticZero]

Разумеется, коль скоро линейная комбинация собственных векторов - собственный вектор. Собственно, этого мне и достаточно, большое спасибо.

[vpb]

Пожалуйста. Обращайтесь, если что.

[StaticZero]

Я вернулся. Проверьте меня, пожалуйста.

Пусть $0 \ne \left| \psi \right \rangle \in \ker (A - \lambda I)$ и $\left| s \right \rangle$ - полный базис $B$. Разложим $\left| \psi \right \rangle = \sum_s c_s \left| s \right \rangle$. Имеем

$$ 0 = (A - \lambda I) \left| \psi \right \rangle = \sum \limits_s c_s (A - \lambda I) \left| s \right \rangle = \sum \limits_s c_s \left| \psi_s \right \rangle, \eqno{(*)} $$

где $\left| \psi_s \right \rangle \equiv (A - \lambda I) \left| s \right \rangle$. Так как $B$ и $A - \lambda I$ коммутируют, то $B \left| \psi_s \right \rangle= \mu_s \left|\psi_s\right\rangle$, то есть $\left| \psi_s \right \rangle$ --- собственный вектор для $B$ с соответствующим собственным числом или нуль. Скалярно умножим $(*)$ на каждый базисный вектор $\left| m \right \rangle$. Заметим, что $\left \langle m \middle| \psi_s \right \rangle = r_s \delta_{ms}$, и если $\left| \psi_s \right \rangle$ собственный, то $r_s \ne 0$, а если нуль --- то нуль. Получаем тогда

$$ 0 = \sum \limits_s c_s \left\langle m \middle| \psi_s \right \rangle =c_m r_m, $$

откуда в сумме $(*)$ все $c_s = 0$ за исключением тех, что стоят около векторов $\left| \psi_s \right \rangle$, тождественно равных нулю. Все $c_s$ равны нулю быть не могут. Следовательно, найдётся хотя бы один такой $\left| s \right \rangle$, для которого $(A - \lambda I) \left| s \right \rangle = 0$. Таких $\left| s \right \rangle$ не может быть больше, чем $\dim \ker (A - \lambda I)$.

Легко видеть, что меньше --- тоже не может. Предположим всё же, что их меньше. Так как $\left| \psi \right \rangle$ раскладывается только по таким $\left| s \right \rangle$, то если в качестве $\left| \psi \right \rangle$ употребить каждый из базисных векторов в $\ker (A - \lambda I)$, то эти базисные векторы обязаны быть линейно зависимы, чего быть не может. Таким образом, в $\ker (A - \lambda I)$ существует базис из собственных векторов $B$, ч. т. д.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1371717 писал(а):

Проверьте меня, пожалуйста.

Напомните, что именно Вы доказываете (желательно точное утверждение).

[StaticZero]

g______d в сообщении #1371784 писал(а):

Напомните, что именно Вы доказываете (желательно точное утверждение).

Существование общего базиса у коммутирующих операторов в случае, когда $\dim \ker(A - \lambda I) > 1$.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1371796 писал(а):

Существование общего базиса у коммутирующих операторов в случае, когда $\dim \ker(A - \lambda I) > 1$.

В каких предположениях об $A$ и какие где стоят кванторы? Сформулируйте, пожалуйста, полное утверждение, не упуская детали (я наверное мог бы сделать это за Вас, но смысл?).

[StaticZero]

g______d в сообщении #1371803 писал(а):

В каких предположениях об $A$ и какие где стоят кванторы? Сформулируйте, пожалуйста, полное утверждение, не упуская детали (я наверное мог бы сделать это за Вас, но смысл?).

Предположения вроде такие.

$$ \begin{align*} \text{let} \ \operatorname{dom} A, B = \mathscr H, \exists \{ \varphi_k \}_{k=1}^\infty, \exists \{ \psi_k \}_{k=1}^\infty: \mathscr H = \mathscr L \{ \varphi_k \} = \mathscr L \{ \psi_k \}, A\varphi_k = \lambda_k \varphi_k, B \psi_k = \mu_k \psi_k, \\ \forall k: \dim \ker (A - \lambda_k I) < \infty, \dim \ker (B - \mu_k I) < \infty. \end{align*}$$

Утверждение

$$ [A, B] = 0 \Rightarrow \exists \{ \Psi_k\}_{k=1}^\infty: A \Psi_k = \lambda_k \Psi_k, B \Psi_k = \mu_k \Psi_k. $$

[g______d]

StaticZero в сообщении #1371809 писал(а):

Предположения вроде такие.

Что значит $A,B\in\mathcal H$? Это операторы, а не векторы.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1371818 писал(а):

Что значит $A,B\in\mathcal H$? Это операторы, а не векторы.

Упс. Разгильдяйство убрал.

[g______d]

Хорошо. Обязательно ли отсюда

$$ \mathscr H = \mathscr L \{ \varphi_k \} = \mathscr L \{ \psi_k \} $$

следует возможность сделать цитированное ниже?

StaticZero в сообщении #1371717 писал(а):

Разложим $\left| \psi \right \rangle = \sum_s c_s \left| s \right \rangle$.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1371853 писал(а):

Хорошо. Обязательно ли отсюда

$$ \mathscr H = \mathscr L \{ \varphi_k \} = \mathscr L \{ \psi_k \} $$

следует возможность сделать цитированное ниже?

StaticZero в сообщении #1371717 писал(а):

Разложим $\left| \psi \right \rangle = \sum_s c_s \left| s \right \rangle$.

Это символическая запись полноты базисов, так что да, разумеется.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1371870 писал(а):

Это символическая запись полноты базисов, так что да, разумеется.

Ваша запись означает, что замыкание линейной оболочки $\psi_k$ совпадает со всем пространством. Ну ещё допустим что любой конечный набор линейно независим (потому что это собственные вектора). Больше никаких условий вроде не накладывается. Как отсюда следует вышеописанное «разложим»?

-- Пт, 25 янв 2019 17:09:30 --

Я не хочу очень много подсказывать, но просто как факт: существует ограниченный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, определённый на всём пространстве разумеется, у которого несчётное количество различных собственный значений (в точном смысле, т. е. для каждого есть собственный вектор).

[StaticZero]

g______d в сообщении #1371881 писал(а):

Я не хочу очень много подсказывать, но просто как факт: существует ограниченный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, определённый на всём пространстве разумеется, у которого несчётное количество различных собственный значений (в точном смысле, т. е. для каждого есть собственный вектор).

Эм, а он эрмитов? (Да, сидим же в физическом разделе, все разговоры *по умолчанию* о наблюдаемых...)

Я уже понял, что с формулировкой утверждения полный провал.

-- 26.01.2019 в 03:36 --

Тем не менее, в учебнике Краснова приведена теорема о построении базиса эрмитова оператора. И так базис получается не более, чем счётным.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1371883 писал(а):

Эм, а он эрмитов?

Разумеется, нет.

Цитата:

(Да, сидим же в физическом разделе, все разговоры *по умолчанию* о наблюдаемых...)

Я придавал несколько другой смысл фразе "не упуская детали".

(Оффтоп)

Самое смешное, что про этот пример я вспомнил ровно из-за связи с физикой.

https://en.wikipedia.org/wiki/Coherent_ ... ent_states

Цитата:

These states, expressed as eigenvectors of the lowering operator and forming an overcomplete family, were introduced in the early papers of John R. Klauder, e.g. .[4] In the quantum theory of light (quantum electrodynamics) and other bosonic quantum field theories, coherent states were introduced by the work of Roy J. Glauber in 1963 and are also known as Glauber states.