2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Общий базис коммутирующих операторов
Сообщение26.01.2019, 04:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
g______d в сообщении #1371884 писал(а):
Я придавал несколько другой смысл фразе "не упуская детали".

Простите меня.

Если требование эрмитовости добавить, то хотя бы формулировку спасти можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий базис коммутирующих операторов
Сообщение26.01.2019, 04:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
StaticZero в сообщении #1371885 писал(а):
Если требование эрмитовости добавить, то хотя бы формулировку спасти можно?


Можно. Попробуйте заново, с формулировкой и доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий базис коммутирующих операторов
Сообщение26.01.2019, 04:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Лемма. Пусть $A, B$ --- коммутирующие эрмитовы операторы в $\mathscr H$ такие, что $\dim \ker(A - \lambda_k I) < \infty$, $\dim \ker(B - \mu_k I) < \infty$ и базисы операторов полны. Тогда существует базис $\{ \Psi_k \}_{k=1}^\infty$ такой, что $A \Psi_k = \lambda_k \Psi_k$, $B \Psi_k = \mu_k \Psi_k$.

Доказательство. Пусть $\lambda$ --- одно из собственных чисел $A$ и $0 \ne \left| \psi \right \rangle \in \ker (A - \lambda I)$ и $\left| s \right \rangle$ - полный базис $B$. Разложим $\left| \psi \right \rangle = \sum_s c_s \left| s \right \rangle$. Имеем
$$ 0 = (A - \lambda I) \left| \psi \right \rangle = \sum \limits_s c_s (A - \lambda I) \left| s \right \rangle = \sum \limits_s c_s \left| \psi_s \right \rangle, \eqno{(*)} $$
где $\left| \psi_s \right \rangle \equiv (A - \lambda I) \left| s \right \rangle$. Так как $B$ и $A - \lambda I$ коммутируют, то $B \left| \psi_s \right \rangle= \mu_s \left|\psi_s\right\rangle$, то есть $\left| \psi_s \right \rangle$ --- собственный вектор для $B$ с соответствующим собственным числом или нуль. Скалярно умножим $(*)$ на каждый базисный вектор $\left| m \right \rangle$. Заметим, что $\left \langle m \middle| \psi_s \right \rangle = r_s \delta_{ms}$, и если $\left| \psi_s \right \rangle$ собственный, то $r_s \ne 0$, а если нуль --- то нуль. Получаем тогда
$$ 0 = \sum \limits_s c_s \left\langle m \middle| \psi_s \right \rangle =c_m r_m, $$
откуда в сумме $(*)$ все $c_s = 0$ за исключением тех, что стоят около векторов $\left| \psi_s \right \rangle$, тождественно равных нулю. Но эти коэффициенты стоят в разложении $\left| \psi \right \rangle$ по векторам $\left| s \right \rangle$. Таким образом, все $c_s$ равны нулю быть не могут. Следовательно, найдётся хотя бы один такой $\left| s \right \rangle$, для которого $(A - \lambda I) \left| s \right \rangle = 0$ (то есть получаем первый общий собственный вектор). Есть ли ещё один? Предположим, что нет. В таком случае, все возможные векторы $\left| \psi \right \rangle$ окажутся разложенными по одному-единственному вектору. Но тогда последовательно переберём в качестве $\left| \psi \right \rangle$ базисные векторы из $\ker (A - \lambda I)$. В таком случае они будут коллинеарны, что невозможно. Значит, будет и второй общий вектор. Та же логика приводит к тому, что $K_\lambda$ собственных векторов не могут быть разложены ни по двум, ни по трём, ..., ни по $K_\lambda-1$ векторам $\left| s \right \rangle$. Таким образом, единственная возможность --- что существует $K_\lambda$ векторов $\left| s \right \rangle$ в $\ker (A - \lambda I)$. Повторяя рассуждение для всех собственных подпространств $A$, получим требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общий базис коммутирующих операторов
Сообщение26.01.2019, 05:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
StaticZero в сообщении #1371887 писал(а):
коммутирующие эрмитовы операторы в $\mathscr H$


Я думаю, что стоит уточнить, ограниченные или нет. Если неограниченные, то есть общепринятое определение коммутируемости, и Вы должны отдавать себе отчёт в том, что его используете (это определение не то же самое, что $AB=BA$ в точном смысле).

StaticZero в сообщении #1371887 писал(а):
и базисы операторов полны


Я понимаю, что имеется в виду: для каждого оператора существует ОНБ (полная ортонормированная система), состоящая из собственных векторов. Ортонормированность важна, потому что даже в гильбертовом пространстве, в отличие от конечномерного случая, нет однозначного понятия необязательноортонормированного базиса (есть несколько неэквивалентных определений).

----------

Так в целом рассуждение верное, но несколько избыточное. В предположении, что оба оператора имеют собственный базис (в смысле, указанном выше), утверждение верно без предположения о конечномерности собственных подпространств. Проще всего доказать следующую лемму: если $B$ самосопряжён и имеет собственный базис, то сужение $B$ на любое инвариантное подпространство тоже имеет собственный базис. После этого доказать, что $\ker(A-\lambda I)$ является инвариантным подпространством для $B$, и рассмотреть задачу отдельно в каждом из этих подпространств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group