Лемма. Пусть

--- коммутирующие эрмитовы операторы в

такие, что

,

и базисы операторов полны. Тогда существует базис

такой, что

,

.
Доказательство. Пусть

--- одно из собственных чисел

и

и

- полный базис

. Разложим

. Имеем

где

. Так как

и

коммутируют, то

, то есть

--- собственный вектор для

с соответствующим собственным числом или нуль. Скалярно умножим

на каждый базисный вектор

. Заметим, что

, и если

собственный, то

, а если нуль --- то нуль. Получаем тогда

откуда в сумме

все

за исключением тех, что стоят около векторов

, тождественно равных нулю. Но эти коэффициенты стоят в разложении

по векторам

. Таким образом, все

равны нулю быть не могут. Следовательно, найдётся хотя бы один такой

, для которого

(то есть получаем первый общий собственный вектор). Есть ли ещё один? Предположим, что нет. В таком случае, все возможные векторы

окажутся разложенными по одному-единственному вектору. Но тогда последовательно переберём в качестве

базисные векторы из

. В таком случае они будут коллинеарны, что невозможно. Значит, будет и второй общий вектор. Та же логика приводит к тому, что

собственных векторов не могут быть разложены ни по двум, ни по трём, ..., ни по

векторам

. Таким образом, единственная возможность --- что существует

векторов

в

. Повторяя рассуждение для всех собственных подпространств

, получим требуемое.