Корень vs. степень: область определения

[mihailm]

Munin в сообщении #501800 писал(а):

mihailm
Спасибо. В дореволюционных изданиях совсем другие главы и параграфы.

(Оффтоп)

И даже название)

[Munin]

arseniiv
Я понял, откуда разночтения. $x^{1/3}$ можно определить как функцию, обратную $y^3,$ тогда получается и отрицательная ветка параболы. Но степеней, с которыми можно провернуть этот фокус, очень немного.

В школьном учебнике Мордковича даны иные опеределения, чем в Колмогорове, в частности,

Корнем нечётной степени $n$ из отрицательного числа $a$ называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень $n,$ даёт в результате число $a.$

[arseniiv]

Насчёт корня сомнений-то и нет. (Надо было, наверно, в первом сообщении написать.) А вот степень с чего так…

Корень и в вышеупомянутом имеет смысл для отрицательных значений.

[Munin]

Нет, у Колмогорова (в указанном издании):

Арифметическим корнем $n$-й степени из числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a.$

Дальше степень с рациональным показателем определяется через арифметический корень.

[arseniiv]

Там где-то позже дополняется на отрицательные. Не понял, как это они так без форматирования текста даже. Прям в тексте через страницу. Издание, которое у меня, уже лень смотреть, закрыл файл; но явно не очень новое. В общем, я ничего не говорил.

[Munin]

А, действительно. Неудобочитаемо :-)

[bot]

arseniiv в сообщении #501736 писал(а):

Знаю две точки зрения на область определения функции

Я считаю, что нефиг нам иметь два обозначения для одной и той же функции, есть и другие соображения в поддержку различия.
Вот не далее, как сегодня на лекции разъяснял, что $\sqrt[n]{\ }$ - это обратная функция для возведения в степень с максимально возможной для данного правила областью определения, а степенная запись определяется только для аргумента строго положительного и не равного 1. Это, так сказать, конвенция такая. Другое дело, что сколько конвенций не заключай, Паниковские всегда найдутся.

[Munin]

bot
По вашей конвенции, записи с радикалом и со степенью неэквивалентны, когда могли бы быть. Неудобная конвенция. Получается, переход от одного к другому столь же "небезопасен", сколь умножение обеих частей равенства на знаменатель. Запоминать лишние правила, бояться их нарушить... ради чего?

Имхо, самое естественное - "максимально возможная область определения" для любых записей для любых случаев.

[ewert]

Munin в сообщении #501984 писал(а):

Запоминать лишние правила, бояться их нарушить... ради чего?

На то есть веские эстетические (но лишь сугубо эстетические) основания, они где-то тут уже высказывались. Запись $x^{1/3}$ формально эквивалентна записи $x^{2/6}$, которая может интерпретироваться как $\sqrt[6]{x^2}$ (и тогда для отрицательных иксов результат неверен) или как $(\sqrt[6]x)^2$ (и тогда это просто некорректно). Этой коллизии можно избежать, сделав соответствующие оговорки насчёт определения степени, но это долго и неэстетично. На практике, тем не менее, никто этими вопросами не заморачивается и считают записи $x^{1/3}$ и $\sqrt[3]x$ просто синонимами.

[bot]

ewert в сообщении #501989 писал(а):

На практике, тем не менее, никто этими вопросами не заморачивается

Если бы не нарушали другую конвенцию, в которой прямо указывается, что при задании функции необходимо указывать область, в которой гуляет аргумент, то и заморачиваться бы не пришлось. А задачи на нахождение области определения функции были бы просто некорректными.
А заморачиваться порой приходится, к примеру, лектору, приступающему к определению показательной функции.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #502006 писал(а):

А заморачиваться порой приходится, к примеру, лектору, приступающему к определению показательной функции.

Вот что это за лектор такой, которому приходится приступать к её определению?... По моим представлениям, это даже для математиков невозможно. Категорически не хватит никакого времени -- точные определения всех элементарных функций перебрать. Придётся так или иначе произносить заклинания типа "ну, об этом вы ещё со школы имеете некоторое представление, и мамой клянусь -- всё это можно оправдать аккуратно!".

[project15]

Всегда полагал, что понятие степени числа - нечто более общее, чем понятие корня из числа (здесь и далее речь о действительных числах). В моей картине мира корни - частный случай степени (когда показатель дробный и равен $1/n$). Стандартный порядок изложения данного вопроса следующий. Сначала определяют понятие корня из числа, далее с помощью корня вводят определение степени с дробным показателем. Все свойства дробных степеней доказывают через свойства корней. В связи с этим вопрос: можно ли каким-то образом определить степень числа сразу, без корней, доказать свойства степеней (произведение, частное, степень в степени, произведение в степени, частное в степени), а потом невзначай "заметить", что корень - это просто степень с показателем $1/n$, а раз свойства для степеней мы доказали, то свойства корней доказывать не надо, т.к. они напрямую вытекают из доказанных ранее свойств степеней.

[StaticZero]

project15, приведите попытки решения

Например, рассмотрите такое "определение"

$$ x^\alpha \equiv e^{\alpha \ln x} $$

Удовлетворит ли оно вас?

[project15]

Не понимаю, как вы используете степень числа e, учитывая что у нас пока нету не то что вещественных, а даже дробных степеней.

[StaticZero]

project15, ну хорошо, замените $e^x$ на другое обозначение: $\exp(x)$. Можно тогда задать $\ln x$ как-нибудь хорошо, а $\exp(x)$ рассмотреть как обратную. Потом показать, что у неё есть хорошие свойства, из которых такие же свойства будут следовать для всего зоопарка степеней положительных чисел.

Если же это для совсем-совсем школьников, то я тогда заткнусь лучше, потому как научить логарифмической науке до вещественных чисел я не представляю как.