2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 32  След.
 
 Re: Равенство-двойник в ВТФ. (Пропуск в отброшенной идее)
Сообщение19.07.2008, 14:39 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
В.Сорокин писал(а):
Продолжение следует.

Интерпретация и вывод:


«Контрольный выстрел»: n=2

В этом случае
$(-a^n)_{(1)} = a_{(1)}=1$, $(-b^n)_{(1)} = b_{(1)}=1$, $(-c^n)_ {(1)} = c_{(1)}=1$,
и противоречия нет.
Теперь можно заняться оформлением текста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.07.2008, 18:38 


05/08/07
206
Упрощенный вариант доказательства

Допустим, что уравнение
(1°) $x^n+y^n-z^n = 0$ имеет целое решение $(x, y, z) $ в простой базе $n$.

Обозначим последние цифры чисел $x, y, z$ через $a, b, c, а$ числа $x, y, z, $ в которых цифры $a, b, c$ заменены нулями, через $A , B, C, $ т.е.
(2°) $A=x-a, B=y-b, C=z-c$.

Доказательство ВТФ

Перепишем равенство (1°) в виде:
(3°) $(A+a)^n+(B+b)^n-(C+c)^n = 0$, или
(4°) $(A^n +A') +(B^n +B')-(C^n +C') = 0$, или
(5°) $(A^n+B^n-C^n ) + (A'+B'-C') = 0$,
где:
(6°) $A^n+B^n-С^n>0$ ($<0$), если $a+b-c=0$ (если $a+b-c=1$),
(7°) числа $A', B', C'$ оканчиваются соответственно на цифры $a, b, c$ и
(8°) число $A'+B'-C'<0$ ($>0$), если $a+b-c=0$ (если $a+b-c=1$).
Следовательно, либо $A'<0$, либо $B'<0$, либо $C'>0$.
Но тогда
либо в числе $A^n +A'$ последняя цифра будет равна $…0-a=n-a$
либо в числе $B^n +B'$ последняя цифра будет равна $…0-b=n-b$
либо в числе $C^n +C'$ последняя цифра будет равна $…0-c=n-c$.
И, следовательно, в одном из чисел $A^n, B^n, С^n$ нарушается малая теорема Ферма.
Итак, допустив наличие решения уравнения 1°, мы получили противоречие по последним цифрам:
$(a^n)_{(1)} = -a_{(1)}$, либо $(b^n)_{(1)} = -b_{(1)}$, либо $(c^n)_ {(1)} = -c_{(1)}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.07.2008, 21:32 


29/09/06
4552
В.Сорокин писал(а):
(4°) $(A^n +A') +(B^n +B')-(С^n +C') = 0$, или
(6°) $A^n+B^n-С^n>0$ ($<0$), если $a+b-c=0$ (если $a+b-c=1$),

Первая ошибка --- наколачивание символа $C$ в русском алфавите. Исправить предлагаю в самом сообщении.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 00:49 


05/08/07
206
Алексей К. писал(а):
Первая ошибка --- наколачивание символа $C$ в русском алфавите. Исправить предлагаю в самом сообщении.


Спасибо. Исправил.

+++++++++++++++++++++

Еще один довод:

Пусть числа $x^n, y^n, z^n$ оканчиваются на цифры $a, b, c$.

Тогда:
Из $x^n+y^n-z^n=(2x^n+2y^n-2z^n)/2=[(x^n+y^n)-(z^n-y^n)-(z^n-x^n)]/2$ и (!!!) равенства $x^n+y^n-z^n=0$ следует, что при умножении выражения $x^n+y^n-z^n$ на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число $2$ последние цифры $a, b, c$ в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными последним цифрам $-a, -b, -c$ в тождественно равных им числах $ (x^n+y^n), (z^n-y^n), (z^n-x^n) $.
Не странно ли?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 08:49 


29/09/06
4552
В.Сорокин писал(а):
....последние цифры $a, b, c$ в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными последним цифрам $-a, -b, -c$...

Если $a, b, c$ --- цифры, то $-a, -b, -c$ --- НЕ цифры. Я, встречая подобные ляпы, углубляться дальше уже не могу. Но здесь многие умеют понять то, что хотел сказать автор, по тому, что он на самом деле сказал. Подождём...

Добавлено спустя 12 минут 21 секунду:

Дошло... Видимо, последней цифрой числа $-123=-1\cdot100-2\cdot10-3$ считается "цифра" $-3$...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Цитата:
в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными ... в тождественно равных им числах $ (x^n+y^n), (z^n-y^n), (z^n-x^n) $.

значит,
$x^n=(x^n+y^n)$
хорошо.....

Ааа... еще переставили... и где-то знак перепутался..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 09:02 


29/09/06
4552
В.Сорокин писал(а):
...при умножении выражения $x^n+y^n-z^n$ на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число $2$ последние цифры $a, b, c$ в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными последним цифрам $-a, -b, -c$ в тождественно равных им числах $ (x^n+y^n), (z^n-y^n), (z^n-x^n) $.

А ещё мне кажется, что последние цифры чисел $x^n, y^n, z^n$ и чисел $ x^n+y^n(=z^n), \:z^n-y^n(=x^n), \:z^n-x^n(=y^n) $ не зависят от того, что кто-то между делом захотел умножить какое-то выражение на какое-то число, будь то 2, 3 или $-\pi$.
Они какими-то были до этого, и никакими они после этого, от этого или при этом не стали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2008, 09:11 


05/08/07
206
Алексей К. писал(а):
Дошло... Видимо, последней цифрой числа $-123=-1\cdot100-2\cdot10-3$ считается "цифра" $-3$...

Мой вопрос был шуточным, но не бесполезным: в канонической записи числа - положительного или отрицательного - все числа положительные.
Вообще, для продолжения разговора нужно ввести понятие дополнительной цифры:
цифра a' считается дополнительной к цифре a, если a'=n-a, где n - основание счисления.
Однако пора вернуться к доказательству ВТФ. Сейчас формулировка противоречия звучит так:
число u (=a+b-c) не является каконическим.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2008, 09:57 


29/09/06
4552
А... я чё-то на шутки не настроился и не понял... Но следующую шутку ---
В.Сорокин писал(а):
число u (=a+b-c) не является каконическим.
--- встречаю уже в готовности...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2008, 09:58 


05/08/07
206
Попытка же приваести форму числа u к канонической и приводит к указанному в доказательстве противоречию по последним цифрам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2008, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Я примерно подсчитала:
Триста одиннадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ В.Сорокиным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2008, 10:19 


05/08/07
206
shwedka писал(а):
Я примерно подсчитала:
Триста одиннадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ В.Сорокиным.

Цыплят по осени считают...
======================

Доказательство ВТФ в бинарной системе счисления для простого $n>2$.

Обозначения:
$a_{(i)} $$i$-я цифра от конца в числе $a$.
$a_{(p, q)} $ – число, составленное из цифр числа $a$ от ранга $p$ до ранга $q$.

***

(01°) Допустим, решение уравнения $A^n+B^n-C^n = 0$ в целых положительных числах существует.
(02°) Тогда, как легко показать, что $A+B>C>A>B>U>0$, где $U=A+B-C$.

Приведем число $U$ (в двоичной системе) к виду
(03°) $u =Ud=(2^r)(2^p-1) $ с помощью умножения равенства 01° на соответствующее число $d^n$ (где $d>2^r$, которое, как известно, существует),
в результате чего равенство 01° преобразуется в равенство
(1°) $a^n+b^n-c^n = 0$, где, как хорошо известно из теории равенства Ферма,
(2°) $a+b>c>a>b>u>0, c>a>c(n-1)/n$;
(3°) $u=a+b-c=u_{(q, r+1)}(2^r) $;
(4°) $ c-a=b-u=g>0$;
(5°) $b/u<2$;
(6°) $(c-a)/a<1/n$.

***

Разобьем все разряды числа $u$ на три интервала:
1) $ [p, q+1] $,
2) $ [q, r+1] $,
3) $ [r, 1] $, где
$p$ – наибольший разряд числа $c$,
$q$ – наибольший разряд значимой части числа $u$,
$r$ – наибольший разряд нулевого окончания числа $u$.

Т.е. число
(7°) $u = u_{(p, q+1)}(2^q)+u_{(q, r+1)}(2^r)+u_{(r, 1)} = /00…00//11…11//00…00/$,

а равенство $a+b-c=u$ имеет приблизительно такой вид:

$a= /1…11//11…10//x…/$,
+
$b= /0…01//00…01//y…/$,
-
$c= /1…10//00…01//z…/$.
==============
$u=/0…00//11…11//00…00/.$

Проведем цифровой анализ этого равенства (собственно доказательство).

(8°) Число $b_{(p, q+1)} $ может быть равнo только $1$ (что следует из 4° и 6°).
(9°) Если цифра $a_{(q+1)}=1$, то из равенства чисел $c_{(p, q+2)}=a_{(p, q+2)} $ следует, что $a>c$, что противоречит 2°.
(10°) А если $a_{(q+1)}=0$, то $c_{(p, q+1)}-a_{(p, q+1)}=1$ разряда $q+1$. А разница $b-u$, как видно из числового примера, значительно меньше $2^q$. И в этом случае мы имеем противоречие с 5°.

А поскольку третьего не дано, то равенство 1° не имеет решения. ВТФ доказана.

***

P.S. Впрочем, доказательство остается верным и в простой базе n>2. Таким образом, после небольшого исправления предыдущее доказательство является верным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2008, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Триста двенадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ
В.Сорокиным.

а.Откуда взялось 5???
б. что означает ПРИБЛИЗИТЕЛьНО в
Цитата:
а равенство $a+b-c=u$ имеет приблизительно такой вид:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2008, 19:33 


05/08/07
206
shwedka писал(а):
в. Триста двенадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ
В.Сорокиным.

а.Откуда взялось 5???
б. что означает ПРИБЛИЗИТЕЛьНО в
Цитата:
а равенство $a+b-c=u$ имеет приблизительно такой вид:

а. Это простое и очевидное неравенство верно для любых действительных c>a>b>0.

б. Одно из бесконечных невозможных вариантов.

в. Вы ошиблись в 20 раз: я нашел около 6000 различных идей для доказательства. Так что одна ошибка из 20-ти не так уж и плохо. Для того, кто ошибается...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2008, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Цитата:
а. Это простое и очевидное неравенство верно для любых действительных c>a>b>0.

угу...интересно...
проверьте-ка для 10,8,3...

простое и очевидное нередко оказывается неверным.
Цитата:
Триста двенадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ
я считала только опубликованные.

Цитата:
б. Одно из бесконечных невозможных вариантов.
и про каждый нужно доказать невозможность. интересное занятие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 466 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 32  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group