Электроёмкость сферического сегмента

[StaticZero]

drug39 в сообщении #1370933 писал(а):

Задача об уединённом проводящем диске имеет единственное решение, как и для любого проводящего тела. Круг же не тело. Т.е. изначально взята нефизическая задача

Что, неужели предел $h \to 0$ не существует?

[Munin]

Кстати, у меня ещё один вопрос возник: каково публично озвученное мнение peregoudovd об этом тезисе о бесконечном семействе решений? Только честно, цитатой.

[drug39]

realeugene в сообщении #1370859 писал(а):

drug39 в сообщении #1370857 писал(а):

Поэтому можно говорить, эта самая радиальная или тангенциальная составляющая на самой границе равна нулю.

Нельзя так говорить. Ни про радиальную составляющую, ни, тем более, про радиальную компоненту отсутствующей в этой точке напряженности поля. Тем более, что с наружной стороны от края в плоскости диска эта радиальная составляющая нулю не равна.

Нет у круга никакой наружной стороны. Ладно. Вопрос тонкий. Попробую объяснить. Мы, когда рассуждаем о положительном точечном заряде, говорим, что из него исходят силовые линии, строго из его точки и исходят во все стороны равномерно. Совершенно аналогично силовые линии исходят изо всех точек положительного заряженного уединённого проводящего круга. Абсолютно изо всех, включая границу круга. Только вот в каких направлениях исходят? Вот это я и просил рассчитать. Но Вы сразу заявили, что на границе ничего считать нельзя. Силовые линии же из границы исходят. Можно, конечно, сказать, что они исходят во все стороны соответствующей полуплоскости. Но следовало выяснить, в каких направлениях силовые линии исходят более плотно, а в каких менее плотно, т.е. рассчитать их угловую плотность. Так вот оказывается, что в пределе для этого круга из его границы силовые линии исходят только в двух направлениях, вверх и вниз. А в остальных направлениях угловая плотность силовых линий пренебрежимо мала. Вот, что я имел в виду. Теперь можно предположить, что существуют другие функции $\sigma(r)$ c другой угловой плотностью силовых линий на границе круга. И эти функции действительно можно найти, решив соответствующее интегральное уравнение.

LMA в сообщении #1370945 писал(а):

1) Вообще нас интересует электрическая ёмкость. Ёмкость определена однозначно?
2) Можете привести пример двух различных решений для какой-нибудь задачи (круг, полоска, сферический сегмент)?

1) Разумеется, ёмкости для разных функций $\sigma(r)$ могут отличаться.
2) Выше в этой теме я дал ссылку на RJMP, где есть решение для полосы. Решение в виде семейства для круга и сегмента в печати не встречал. Но решение для круга можно получить на основе решения для полосы.

[realeugene]

drug39 в сообщении #1371247 писал(а):

А в остальных направлениях угловая плотность силовых линий пренебрежимо мала.

Что означает этот термин?
Если и остальные ваши расчёты такие же - то вы занимаетесь лженаукой под покровом напускаемого тумана.

Жду от вас параметризованный результат, выписанный в явном виде, вопросы про который вы игнорите. Вы утверждали, что вывод долгий, но результат записать, ведь, не долго?

[Munin]

Жду ответа.

[Xmas]

После всех перипетий, немного неевклидовых, я бы хотел объявить о найденном камне преткновения. И даже чуть заметить в адрес задачника Батыгина-Топтыгина, что перестановка задач 208 а) и б) позволила бы проскочить обе с ходу. Но вот было бы это полезнее - едва ли. Задача (а) про пустотелый сегмент заманивает симметрией - и та ведёт к диску и интегральному уравнению. Размещение же центра инверсии на краю сферического сегмента, хоть и уничтожает симметрию, даёт решение в элементарных функциях.

Саму задачу я ещё не решил формально, но решил её для диска, а для сегмента надо только добавить одно слагаемое, которое оставляет интеграл берущимся в элементарных функциях. Так что "нерешённость" условная.

Трюк в том, что центр инверсии надо обязательно брать на краю сегмента. Тогда вместо диска получаем полуплоскость. Её преимущество в том, что получаем в своё распоряжение "бесконечность", где любой потенциал равен нулю. Этот факт позволяет избавиться от одной постоянной интегрирования при манипуляциях с уравнением Лапласа.

В моём решении есть пара "неприятных скользких" мест. Решение совпадает с известным, но я боюсь, что просто "подгоняю под ответ". Эти два места я ещё раз отмечу перед конкретными формулами. Буду искренне благодарен за подсказки.

Попытка решения задачи методом пространственной инверсии для электроёмкости диска радиуса R. - с правильным ответом, но ненадёжными рассуждениями

Имеем диск радиуса $a$. Центр инверсии помещаем на краю диска. Радиус инверсии принимаем равным $a$. Диск превращается в полуплоскость, кромка которой находится на расстоянии $a/2$ от центра инверсии. Эскиз нарисован наспех в графическом редакторе мышью. Прошу извинить за халтуру.


Получаем задачу - найти потенциал, создаваемый зарядами плоскости в ответ на заряд $q_0$ в центре инверсии, который берут численно равным "минус $4\pi\varepsilon_a$"

Про то, что $4\pi/(4\pi)=1$ позвольте пропустить. Потенциал индуцированных зарядов на плоскости $U(x,y)=\dfrac{1 }{\sqrt{\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+y^2}}$

Касательная компонента поля Е (точнее, абсолютная величина касательной компоненты) $|E_T(x,y)|=\dfrac{1 }{{\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+y^2}}$

Дальше "скользкость №1". Я подменяю $\partial^2 U/\partial r^2$ на \partial |E_T|/ \partial r$. Модуль вектора, конечно, скаляр, но подмена нехорошая. Дальше, из уравнения Лапласа, я делаю скоропалительный вывод, что нормальная компонента производной Е обязана быть равна касательной. Из нормальной компоненты поля Е получаю поверхностную плотность заряда, $\sigma = \varepsilon_a E_n$, и остаётся только найти потенциал в точке инверсии.

Здесь "скользкость №2". Плотность интегрируется дважды - по обеим сторонам полуплоскости. Тем не менее, потенциал в центре инверсии

\raggedright\[U_0 = \frac{1}{4\pi} \cdot 4 \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} \frac{dxdy}{\left(x+a/2\right)^2+y^2}\]

Интеграл совершенно безобидный, он даёт $8/a$, что после умножения/деления/сокращения с $4\pi$ даёт $8\varepsilon_a R$ - ёмкость диска.

Это ещё не конец, но он скоро. С уважением.

[drug39]

Xmas в сообщении #1373519 писал(а):

Получаем задачу - найти потенциал, создаваемый зарядами плоскости в ответ на заряд $q_0$ в центре инверсии

Наверное всё-таки полуплоскости, которую вы принимаете равномерно заряженной. Других вариантов заряда полуплоскости вы не допускаете?

[drug39]

realeugene в сообщении #1371250 писал(а):

drug39 в сообщении #1371247 писал(а):

А в остальных направлениях угловая плотность силовых линий пренебрежимо мала.

Что означает этот термин?

Munin в сообщении #1371251 писал(а):

Жду ответа.

Munin, вас тоже затрудняет термин угловая плотность силовых линий на границе круга? Был простой вопрос на взятие предела, рассчитать функцию угловой плотности силовых линий на границе круга с поверхностной плотностью заряда $\sigma(r)=\frac q {2\pi R^2} \frac 1 {\sqrt{1-r^2/R^2}}$. Обозначим её $\chi(\vartheta)$,
где $\vartheta -$ зенитный угол. Функция $\chi(\vartheta)$ не имеет единиц измерения, поэтому её нужно нормировать.

[Munin]

Я жду ответа на свои вопросы.
https://dxdy.ru/post1370955.html#p1370955
https://dxdy.ru/post1370961.html#p1370961

[drug39]

Munin в сообщении #1373879 писал(а):

Я жду ответа на свои вопросы.
https://dxdy.ru/post1370955.html#p1370955
https://dxdy.ru/post1370961.html#p1370961

По 1-му вопросу. Так Вы хотите сразу увидеть и решение в явном виде, и доказательство. Это довольно большой объём. Может быть, попробую ответить частями. В принципе как получить решение для круга выше я уже написал. От того, что я выложу готовую формулу, толку никакого не будет. И мне неинтересно. Нужно, чтобы хотя бы несколько человек понимали, о чём речь. Поэтому обсуждение идёт так, как оно идёт. Если кратко, то я призываю топик-стартера не искать экзотических и волшебных методов, и не подгонять решение к правильному ответу, которого он не знает. А честно написать интегральное уравнение, связывающее функцию поверхностной плотности заряда, и решить его. Да, и решить.

(Оффтоп)

По 2-му вопросу. Понятия не имею.