Электроёмкость сферического сегмента

[Xmas]

realeugene, тремя сообщениями выше должна быть картинка, какая получается координатная сетка (мной построенная, если что). Судя по ней, картина поля в инвертированном пространстве такая, словно диск заземлён, а весь его заряд остался в центре инверсии (с обратным знаком).

[StaticZero]

(Оффтоп)

Xmas в сообщении #1369299 писал(а):

Ув. Munin, drug39,StaticZero и другие, кто участвует в обсуждении.

Я тут на птичьих правах, пожалуй.

[Igrickiy(senior)]

Xmas в сообщении #1369062 писал(а):

Прошу помочь разобраться с задачкой. Я потратил неделю, но так и не увидел требуемого пути решения.

По-моему, такая задача решена в книге Смайт В. Электростатика и электродинамика.

[drug39]

amon в сообщении #1369420 писал(а):

Задача о заряженной проводящей полосе ... прекрасно решается 1001 способом.

В частности задачу об уединённой проводящей полосе Вы в той теме сводите к уравнению
$ $$V.P.\int^{a/2}_{-a/2}\frac {\sigma(\xi)} {x-\xi}d\xi=0$$ $,
где $\sigma -$ поверхностная плотность заряда полосы, $a -$ ширина полосы. Эту задачу следует ставить несколько иначе. Постановка тоже сводится к уравнению
$ $$V.P.\int^{a/2}_{-a/2}\frac {\sigma(\xi)} {x-\xi}d\xi=f(x)$$ $. Но функция $f(x)=0$ не на всём интервале $x\in [-a/2,a/2]$, а только на интервале $x\in(-a/2,a/2)$. На концах интервала $x\in[-a/2,a/2]$ функция $f(x)$ может быть как равной нулю, так и иметь ненулевые значения, но разных знаков. Эти значения могут быть по модулю бесконечно велики. Я в той теме не обратил на это внимание, поскольку тема была об отрезке. Чтобы не быть голословным, приведу пример работы, где такое уравнение решено // RJMP. - 2018. - V. 25. - № 3. - pp. 319–325. Это не одно решение, а семейство решений. Приведённое Вами решение является только частным решением. С сегментом будет та же история.

[Xmas]

StaticZero в сообщении #1369457 писал(а):

Я тут на птичьих правах, пожалуй

Тем не менее, за эту пару дней я ощутимо лучше стал понимать происходящее при инверсии. В первую очередь, благодаря обсуждению на форуме. Даже для подготовки рисунков-графиков требовалось ещё раз всё проверить, разметить обозначения и т.п. Почти достигнута главная цель - научиться понимать и решать подобные задачи в дальнейшем самостоятельно. Это гораздо ценнее, чем списать готовое решение.

Правда, у меня в итоге получилась гибридная методика на основе нескольких книг, и в ней ощущаются прыжки в доказательстве. Буду искренне благодарен, если сможем их ликвидировать.

[AnatolyBa]

Xmas
Так вы решили задачу? Вроде упоминали, что у вас получилось.
Если что, решение есть у Гринберга. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений.
(У Смайта не нашел, что странно. А вообще-то задачу решил Кельвин).
Если нужна подсказка, то так. Задача действительно решается инверсией, но с нюансом. Потенциал тела предполагается нулевым, а бесконечности не нулевым. Тогда при инверсии возникает фиктивный заряд. Подробности есть у упоминавшегося Йосселя.
Но что делать дальше? Надо воспользоваться резултатом задачи о заряде и клине. В задачнике она идет раньше, кажется 205

[Xmas]

AnatolyBa, решение близко, но его ещё нет, сделанного по "накатанным рельсам". Сделаю.

По поводу фиктивного заряда - моя личная удовлетворённость в том, что его я заподозрил самостоятельно, устроив инверсию равномерно заряженной сферы. Она превратилась в плоскость, а эквипотенциали и силовые линии потянулись к центру инверсии (повтор рисунка - в прищепке).

Приём с подменой потенциалов вызывает вопрос - разве картина поля не должна оставаться прежней, если к потенциалам прибавить постоянное слагаемое?
Это не критика, а просто небольшое напоминание для себя, что нужно быть осторожным.

На первой картинке центр инверии лежит на поверхности сферы, на второй - в стороне. В обоих случаях получается картина, как от поля двух точечных зарядов. Один - в центре инверсии (чёрная точка с символом $I$), другой - в центре сферы. Исходные линии более тёмного цвета, инвертированные - светлее. Сейчас вижу, что выбор неудачный. Исправлюсь.

[AnatolyBa]

Xmas в сообщении #1369560 писал(а):

Приём с подменой потенциалов вызывает вопрос - разве картина поля не должна оставаться прежней, если к потенциалам прибавить постоянное слагаемое?
Это не критика, а просто небольшое напоминание для себя, что нужно быть осторожным.

Верно. Это тонкий нюанс. Кратко обсуждается у Джексона

[Xmas]

AnatolyBa, для себя я придумал временное пояснение. Возможно, оно совпадает с мнением Джексона.

Потенциал на бесконечности можно считать не нулём, а бесконечно малой величиной. Тогда после инверсии получим точку-образ с бесконечно большим потенциалом, что равнозначно точечному заряду в этой точке. Напрямую "делить на ноль" я ещё не готов.

Помимо прочего, "бесконечно большая величина" - единственная, которую нельзя превратить в конечную путём прибавления слагаемого.

Разумеется, это моё "пояснение" шито белыми нитками, и ничуть не аккуратно, но у него есть шанс стать приличным.

[realeugene]

Xmas в сообщении #1369573 писал(а):

Потенциал на бесконечности можно считать не нулём, а бесконечно малой величиной.

Там не неопределённость $0/0$ вылазит, которую нужно разрешать предельным переходом?

[Xmas]

Появилось ещё одно объяснение "фиктивному заряду". Кажется, оно лучше моего предыдущего, так как не использует эзотерических истин (ирония)

Идея такая. Заряженное тело, или система тел, создаёт в пространстве электрическое поле. Это понятно. Далее, окружив всю систему оболочкой - мы можем утверждать, что через эту поверхность проходит некоторый фиксированный поток вектора $\vec{D}$, зависящий только от суммарного заряда внутри оболочки.

Но тогда и через бесконечно большую поверхность тоже должен проходить тот же поток вектора. Сколько вышло - столько вошло.

Бесконечно большая поверхность при инверсии отображается в бесконечно малую сферу, окружающую центр инверсии. Нам требуется обеспечить через неё входящий поток вектора $\vec{D}$, созданный нашей системой зарядов. Для этого проще всего поместить в центре инверсии точечный заряд. Поток получится по теореме Гаусса.

[AnatolyBa]

Если вам не нравится ненулевой потенциал на бесконечности - не надо. Мне казалось это чуть легче методически, но может быть я не прав.
Можно, как обычно, положить потенциал на бесконечности равным нулю. Тогда после инверсии вы получите картину с непостоянным потенциалом на поверхности. Чтобы свести его к постоянному - необходимо добавить заряд в центре инверсии. В конечном счете - та же задача.

[Xmas]

AnatolyBa, теперь уже всё нравится, но не просто "ненулевой", а "бесконечно большой" потенциал. Если там имеется хоть какой-то конечный заряд, то другого потенциала, кроме бесконечного, быть не может. Чисто по формуле потенциала. Возражений нет абсолютно.

А вот по поводу компенсации "непостоянного потенциала на поверхности" с помощью подбора заряда в центре инверсии - это очень элегантный ход. Сейчас непременно попробую. Мне тоже этот путь казался лучшим, но я тогда не догадывался, что можно использовать заряд в центре инверсии. Получил неравномерное распределение потенциала (рисунок в прищепке) - и расстроился: неравномерный потенциал означал, что имеется касательная компонента напряжённости поля, следовательно, силовые линии не будут нормальны к поверхности, а в силу конформности "ненормальность" сохранилась бы и на исходной поверхности.

У того же Йосселя для расчёта мы придаём телу "заряд" (который уходит затем в центр инверсии), а потенциал вычисляем. Было жалко - как так, если мы заранее знаем, что на исходной поверхности потенциал всюду единица, почему не используем этот факт? Зато в приёме с компенсацией заряда он используется.

Прошу извинить за многословие. Это из-за радости, что туман рассеивается и приходит понимание.

На рисунке (если кто-то заглянет сюда, не вдаваясь в подробности) - изображение шарового сегмента, жёлтая линия, заряженного до единичного потенциала; диск, полученный инверсией, чёрная линия; и отображение потенциала сегмента на этот диск, малиновый график. Центр инверсии отмечен символом $I$, центр кривизны сферического сегмента - символом $O$. Радиус инверсии равен радиусу кривизны сегмента. Построение полностью автоматическое, без ручного вмешательства.

[AnatolyBa]

Меня заинтересовало, как эту задачу решил Кельвин (лорд, он же Томсон).
Выяснилось следующее. Батыгин и Топтыгин четко следуют Гринбергу, оформив его путь в виде последовательности задач - начиная от 205-й (заземленный клин в поле точечного заряда).
Кельвин же делал не так. Он начал с поля уединенного заряженного проводящего диска (это известная задача, диск рассматривается, как вырожденный эллипсоид). Затем, применив инверсию к диску, решил задачу о заземленном проводящем сегменте в поле точечного заряда. Затем, пользуясь этим результатом, нашел поле заземленного сегмента внутри однородно заряженной (непроводящей) сферы. А эта задача эквивалентна исходной.
Источник https://books.google.co.il/books?id=Y_Q ... &q&f=false со 178 страницы.
Любобытно, что Кельвин опубликовал формулу без доказательства в 1847 году, а доказательство - только через 22 года.

[Munin]

AnatolyBa в сообщении #1370136 писал(а):

Затем, пользуясь этим результатом, нашел поле заземленного сегмента внутри однородно заряженной (непроводящей) сферы.

А можно узнать постановку этой задачи? Мне непонятно, как можно заземлить сегмент физически.