Электроёмкость сферического сегмента

[Xmas]

Прошу помочь разобраться с задачкой. Я потратил неделю, но так и не увидел требуемого пути решения.

Формулировка задачи в том виде, в котором задана:
> Найти ёмкость проводника - полого сферического сегмента радиусом R и углом раствора $2\Theta$

Исходя из формулировки, ответ ожидается в явном виде, $C=f(R,\Theta)$.

Один из известных способов решения - составить уравнение для потенциала на поверхности, найти по нему поверхностную плотность заряда и проинтегрировать её по поверхности. При потенциале 1 вольт электроёмкость в фарадах будет численно равна полному заряду в кулонах.

После нехитрых действий с теоремой косинусов получаются выражения для потенциала и полного заряда:

\raggedright\[U(\xi)=\frac{R}{\pi\varepsilon\varepsilon_0} \int_0^\Theta \frac{s\,(\alpha)} {\sqrt{2-2\cos\,(\alpha+\xi)}} \cdot \mathrm{K}\left(\frac{2\sin\alpha\sin\xi}{1-\cos\,(\alpha+\xi)}\right) \mathrm{d}\alpha\]

\raggedright\[Q = 2\pi R^2 \int_0^\Theta s\,(\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\]

Эти формулы, скорее всего, верные - по крайней мере, результат хорошо согласуется с расчётом в программе-симуляторе, а там алгоритм другой (уравнение Лапласа и пространственная сетка). Сравнение - на графике в прищепке. Синяя линия на графике - это простая парабола, построенная по известным значениям емкости и её производной на краях. Была гипотеза - вдруг благодаря частному случаю сферичности и потенциальности решение упрощается до квадратичного. Гипотеза не подтвердилась.

Недостаток полученных формул в том, что функция $s\,(\alpha)$ должна получаться из решения интегрального уравнения. Для численных методов проблем нет - последовательные приближения быстро и устойчиво сходятся. Но это решение косвенное.

Вопрос. Может кто-то знает метод, который позволил бы выразить $s\,(\alpha)$ в явном виде? Я не спрашиваю решения. Нужна только подсказка или хоть домысел, в каком направлении искать.



(Под словом "изображение" - ссылка на график, который отображался, а затем внезапно перестал, хотя по всем параметрам он даже меньше соседней картинки)

[mihiv]

Что такое $\xi $?

[Xmas]

Кратко:
$\xi$ - угловая координата точки, в которой вычисляется потенциал (вся использованная схема обозначений приведена на нижнем рисунке)
$\alpha$ - аналогичная координата, но для тех точек, со стороны которых рассчитывается вклад в потенциал. По $\alpha$ идёт интегрирование.

Если более подробно, то:

Поверхность сегмента лежит на линии $R=\operatorname{const}$ в сферической системе координат. Полный "фиксированный" размер сегмента (угол раствора) выражается значением $\Theta$ (прописная). Прописные символы использованы просто как памятка, что что они - внешние предопределённые константы, а не переменные.

"Долгота" точки выражается координатой $\varphi$. После интегрирования вдоль "параллели" она скрывается в эллиптическом интеграле "К" и больше не возникает в явном виде.

Интегральное уравнение получается из условия $U(\xi)=1$ для любого значения $\xi$, принадлежащего поверхности. Численно всё прекрасно, и вычисляется гораздо быстрее, чем в сеточных методах, но это численно. Такое ощущение, что я с самого начала шёл не туда.

[Munin]

Xmas в сообщении #1369062 писал(а):

Формулировка задачи в том виде, в котором задана:
> Найти ёмкость проводника - полого сферического сегмента радиусом R и углом раствора $2\Theta$

Исходя из формулировки, ответ ожидается в явном виде, $C=f(R,\Theta)$.

Какой предмет, какой курс, в каком виде подразумевается ответ, какими средствами можно пользоваться?

Потому что похоже, что это какая-то "плохая" задача.

[fred1996]

Xmas
Видимо задача сформулирована некорректно. Наверное подразумевалось, что надо из формулы емкости полой сферы "догадаться", что емкость сегмента пропорциональна заданному обьемному углу. Так как представляет параллельное соединение с оставшейся частью. Но это верно только если каким-то образом заряд удерживается равномерно распределенным по сегменту. Что конечно же неверно. Грубо говоря задача сводится к нахождению распределения поверхностного заряда на этом сегменте. А потом подсчету потенциала. Такая задача может быть решена только численными методами. Ее можно сформулировать как задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Проще всего в сферических или цилиндрических координатах.
Поскольку есть осевая симметрия и одна из координат пропадает. Но распределение заряда на таких поверхностьях с краями таково, что поверхностная плотность ближе к краю стремится к бесконечности, которая исчезает при интегрировании но все равно неприятна при численном решении.
Задача имеет строгое аналитическое решение в предельных случаях. Когда у нас есть целая сфера или когда угол очень мал. Тогда она сводится к потенциалу тонкого диска.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1369164 писал(а):

Наверное подразумевалось, что надо из формулы емкости полой сферы "догадаться", что емкость сегмента пропорциональна заданному обьемному углу.

Что неверно, даже если заряд распределён равномерно.

fred1996 в сообщении #1369164 писал(а):

Грубо говоря задача сводится к нахождению распределения поверхностного заряда на этом сегменте. А потом подсчету потенциала. Такая задача может быть решена только численными методами.

Довольно многие такие задачи решаются аналитически. Потом существуют приближённые решения, решения в виде ряда. И только после всего этого - численные методы. Не завирайтесь.

[fred1996]

Munin
Если у нас заряд распределен равномерно, то не приходится говорить о потенциале. И, соответственно, о емкости. Просто я попытался понять, что же у составителя задачи на уме. По крайней мере что-то похожее я встречал в виде сферического конденсатора с двумя различными диэлектрческими постоянными. Там это имело физический смысл.
Насчет "завирайтесь" попрошу попридержать свой острый язычек.
Пример "таких" задач которые решаются аналитически, я привел. Это емкость диска. Если вы мне приведете аналитическое решение даже хотя бы в виде ряда для этой конкретной задачи, как это делается для двух соседних сфер, буду очень признателен.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1369174 писал(а):

Если у нас заряд распределен равномерно, то не приходится говорить о потенциале. И, соответственно, о емкости.

Не приходится говорить о потенциале проводника, но разумеется, есть потенциал как электростатическая функция в пространстве.

fred1996 в сообщении #1369174 писал(а):

Если вы мне приведете аналитическое решение даже хотя бы в виде ряда для этой конкретной задачи, как это делается для двух соседних сфер, буду очень признателен.

Извините, это труда (оценочно) примерно как на курсовую. Для вашего удовольствия я этого делать не буду.

[LMA]

Xmas
Аналогичная задача решена тут: topic13458-15.html

[Munin]

Там дальше ссылки на http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1316197409/34#34
где красивые картинки (увы, кажется, двумерные), типа такой:

[Xmas]

Это задача №218 из задачника:

Батыгин В.В. Сборник задач по электродинамике, изд. 2-е, перераб., учебное пособие/ В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. – М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1970.

Используется на 3-м курсе для студентов физических специальностей.

Задача из главы "Специальные методы электростатики". Там в обзорной части рассматривается метод инверсии. На том основании, что "уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования инверсии". Нет ни примеров, ни указаний по преобразованию граничных условий. Я пробовал, но результаты получались заведомо неверные. Попробую ещё раз. Возможно, более аккуратное оформление "для форума" даст результаты.

Добавлено:
LMA, я благодарю за ссылку, но цель в том, чтобы добраться до решения самостоятельно. Когда доберусь - обязательно сравним с решением, которое по ссылке.

[Munin]

В таком случае, может быть, задача решается аналитически точно. И может быть, проще, чем вы взялись, не с интегральными уравнениями.

[StaticZero]

А какова всё-таки математическая постановка задачи? Насколько я понимаю, если назначить осью симметрии поверхности ось $z$ и ввести стандартные сферические координаты $z = r \cos \theta$, то будет

$$ \Delta u = 0, \quad u(r = R, 0 \leqslant \theta \leqslant \Theta, \varphi) = 0 $$

верно?

[Munin]

$$\Delta u = 0,\qquad u(\textit{на сегменте})=u_0=\mathrm{const},\quad u(\textit{на бесконечности})=0.$$

Это так называемая "открытая задача" (область решения простирается до бесконечности).

[StaticZero]

А, да, ошибся. То что $u_0 \ne 0$ здесь существенно.

Насколько я помню, после того, как мы отыщем потенциал, то потом записываем теорему Гаусса

$$ -\iint \limits_{S'} (\nabla u \cdot \mathrm d \mathbf S) = 4 \pi Q = \left. 4 \pi C u \right|_\text{segment} = 4 \pi C u_0 $$

откуда определяем $C$. ($S'$ --- мысленно проведённая замкнутая поверхность, плотно обтягивающая сферический сегмент).