Прошу помочь разобраться с задачкой. Я потратил неделю, но так и не увидел требуемого пути решения.
Формулировка задачи в том виде, в котором задана:
>
Найти ёмкость проводника - полого сферического сегмента радиусом R и углом раствора 
Исходя из формулировки, ответ ожидается в явном виде,
.
Один из известных способов решения - составить уравнение для потенциала на поверхности, найти по нему поверхностную плотность заряда и проинтегрировать её по поверхности. При потенциале 1 вольт электроёмкость в фарадах будет численно равна полному заряду в кулонах.
После нехитрых действий с теоремой косинусов получаются выражения для потенциала и полного заряда:
![\raggedright\[U(\xi)=\frac{R}{\pi\varepsilon\varepsilon_0}
\int_0^\Theta
\frac{s\,(\alpha)}
{\sqrt{2-2\cos\,(\alpha+\xi)}}
\cdot
\mathrm{K}\left(\frac{2\sin\alpha\sin\xi}{1-\cos\,(\alpha+\xi)}\right)
\mathrm{d}\alpha\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/b/88befe9c7e3241a3ead77a8bc907b5cc82.png "\raggedright\[U(\xi)=\frac{R}{\pi\varepsilon\varepsilon_0}
\int_0^\Theta
\frac{s\,(\alpha)}
{\sqrt{2-2\cos\,(\alpha+\xi)}}
\cdot
\mathrm{K}\left(\frac{2\sin\alpha\sin\xi}{1-\cos\,(\alpha+\xi)}\right)
\mathrm{d}\alpha\]")
![\raggedright\[Q = 2\pi R^2 \int_0^\Theta s\,(\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/4/6d430470e569f117224bc3303d097c6682.png "\raggedright\[Q = 2\pi R^2 \int_0^\Theta s\,(\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\]")
Эти формулы, скорее всего, верные - по крайней мере, результат хорошо согласуется с расчётом в программе-симуляторе, а там алгоритм другой (уравнение Лапласа и пространственная сетка). Сравнение - на графике в прищепке. Синяя линия на графике - это простая парабола, построенная по известным значениям емкости и её производной на краях. Была гипотеза - вдруг благодаря частному случаю сферичности и потенциальности решение упрощается до квадратичного. Гипотеза не подтвердилась.
Недостаток полученных формул в том, что функция
должна получаться из решения интегрального уравнения. Для численных методов проблем нет - последовательные приближения быстро и устойчиво сходятся. Но это решение косвенное.
Вопрос. Может кто-то знает метод, который позволил бы выразить
в явном виде? Я не спрашиваю решения. Нужна только подсказка или хоть домысел, в каком направлении искать.
(Под словом "изображение" - ссылка на график, который отображался, а затем внезапно перестал, хотя по всем параметрам он даже меньше соседней картинки)
