Расчет емкости пластин

[Zai]

Очень приближенно емкость будет равна
$C= 8(1+\epsilon) \epsilon_0\frac {a} {\pi} \ln \frac { \frac d 2 +\frac b 2} { \frac d 2}
$a=0.13m
$d=0.0025m
$b=0.0035m

[peregoudov]

keks писал(а):

Размеры в эксперименте были следующими:
диаметр цилиндра 16 мм;
ширина пластин 3,5 мм;
расстояние между пластинми вдоль цитиндра 2,5 мм;
высота пластин 130 мм
проницаемость диэл. цилиндра прибл. 4.

Ну, естественное приближение --- считать цилиндр бесконечным и вычислять емкость на единицу длины. Тогда нужно решать двумерное уравнение Лапласа в вакууме и в диэлектрике и сшивать на границе. Пусть имеется 2n пластин, симметрично расположенных на цилиндре, потенциалы всех четных пластин равны 1, всех нечетных -1. Очевидно, потенциал меняет знак при повороте на $2\pi/2n$ вокруг оси цилиндра $\phi(r,\theta+\pi/n)=-\phi(r,\theta)$. Если отсчитывать угол $\theta$ от середины одной из пластин, потенциал будет четным $\phi(r,-\theta)=\phi(r,\theta)$. Общее решение уравнения Лапласа для потенциала с такой симметрией

$$ \phi(r,\theta)=\sum_{k=1}^\infty\cos(2k+1)n\theta \left\{\begin{array}{ll} a_k r^{(2k+1)n},&r<1,\\ b_k r^{-(2k+1)n},&r>1. \end{array}\right. $$

(Для упрощения формул считаем радиус цилиндра равным 1.) Из непрерывности потенциала на границе находим $b_k=a_k$. А вот второе граничное условие не сквозное, а смешанное. Плотность заряда на границе равна

$$ \sigma(\theta)/\varepsilon_0=-\frac{\partial\phi}{\partial r}(1+0,\theta)+\varepsilon\frac{\partial\phi}{\partial r}(1-0,\theta)=(\varepsilon+1)\sum_{k=1}^\infty a_k(2k+1)n\cos(2k+1)n\theta. $$

Между пластинами эта величина должна быть равна нулю, что дает первую часть условия. А вторая часть --- потенциал на пластинах должен быть равен $\pm1$.

Считая, что первая пластина занимает угол от $-\theta_0$ до $\theta_0$, выражаем $a_k$ через плотность заряда на пластине

$$ a_k=\frac1\pi\int_0^{2\pi} \frac{\sigma(\theta')\cos(2k+1)n\theta'\,d\theta'} {\varepsilon_0(\varepsilon+1)(2k+1)n}= \frac2{\varepsilon_0(\varepsilon+1)\pi(2k+1)} \int_{-\theta_0}^{\theta_0} \sigma(\theta')\cos(2k+1)n\theta'\,d\theta'. $$

Подставляя эти значения в условие ($|\theta|<\theta_0$)

$$ \phi(1,\theta)=\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(2k+1)n\theta=1, $$

получаем интегральное уравнение для $\sigma$

$$ \int_{-\theta_0}^{\theta_0} \sigma(\theta')K(\theta,\theta')\,d\theta'=\varepsilon_0(\varepsilon+1), $$

где

$$ K(\theta,\theta')=\sum_{k=1}^\infty \frac{2\cos(2k+1)n\theta\cos(2k+1)n\theta'}{\pi(2k+1)}= -\frac1{2\pi}\ln\!\left(\mathop{\rm tg}\frac{n|\theta-\theta'|}2 \mathop{\rm tg}\frac{n|\theta+\theta'|}2\right). $$

(В силу симметрии $\sigma(\theta)$ второй тангенс можно опустить, удвоив ядро.) Дальше, видимо, численно. Берем анзац типа

$$ \sigma(\theta)=\frac1{\sqrt{\theta_0^2-\theta^2}}P(\theta) $$

(P --- полином) и подгоняем коэффициенты. У меня сейчас под рукой ничего нет, в принципе, ядро простенькое, вполне может быть, что у какого-нибудь Мусхелишвили что-то подобное рассмотрено.

[keks]

Уважаемый, Peregoudov,
не могли ли вы посоветовать литературу или ссылки, чтобы можно было повыситить свою компетенцию в этом вопросе?
Спасибо.

[peregoudov]

Точных ссылок, боюсь, дать не смогу, нет под рукой.

Для начала нужно почитать какой-нибудь курс уравнений матфизики, например, Тихонова---Самарского.

По применению методов комплексного анализа --- что-нибудь типа Лаврентьева---Шабата.

По сингулярным интегральным уравнениям --- Мусхелишвили.

Более специальные вопросы:

Парные интегральные уравнения --- Уфлянд. Есть еще более свежая книжка, название вроде "Парные и тройные интегральные уравнения и ряды", автор --- баба какая-то.

Метод Винера---Хопфа (факторизации) --- книжка Нобла.

Численные методы решения интегральных уравнение --- есть книжка Михлина в серии "Справочная математическая библиотека".

Вообще, хороших книжек много, может быть, есть и более специальные. Я-то больше знаком с теоретико-физической и математической литературой.

[keks]

Возникла необходимость рассчитать емкость между взаимно перпендикулярными диском и цилиндром

Потенциал в некоторой точке над диском равен

Можно ли так ити нет?
Спасибо.

[peregoudov]

Очевидно, нельзя. Все точки проводника находятся при одном и том же потенциале, а вот распределение заряда не однородное: оно подстраивается так, чтобы потенциал во всех точках был одинаков.

[keks]

Если Вас не затруднит не могли бы Вы подсказать неправление расчета.
Спасибо.

[Munin]

Из-за огромной разницы между минимальным и средним расстояниями между цилиндром и диском, ёмкость в основном будет равна ёмкости плоского конденсатора, образуемого торцом цилиндра и лежащей напротив него областью диска. Для уточнения можно рассмотреть отражение торца в диске - получится точно дисковый конденсатор, и взять краевую поправку от дискового конденсатора.

[keks]

А если систему погрузить в жидкость до уровня h ?



Спасибо.

[keks]

Прошу высказаться по такому решению.



И вообще, проводящую жидкость следует рассматривать как проводник, который соединяет два слоя изолятора (два последовательных конденсатора) или все же необходимо вводить третюю емкость между изоляционными слоями и учитывать проницаемость жидкости (три последовательных конденсатора)?

И кок рассмотривать обычную водопроводную воду?

Спасибо.

[peregoudov]

http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 7409/27#27

Цитата:

Я тут дорешал мою задачку с форума мехмата. После дифференцирования уравнения

$$ -\int_{-\theta_0}^{\theta_0} \sigma(\theta') \frac1\pi\ln\tg\frac{n|\theta-\theta'|}2\,d\theta'= \varepsilon_0(\varepsilon+1) $$

получаем

$$ \int_{-\theta_0}^{\theta_0}\frac{\sigma(\theta')\,d\theta'}{\sin n(\theta-\theta')}=0. $$

Делая замену переменной $u=\tg n\theta$, приводим к ядру Коши

$$ \int_{-u_0}^{u_0}\frac{\sigma(u)\,du}{\sqrt{1+u^2}\,(u-z)}=0, $$

откуда

$$ \sigma\sim\sqrt{\frac{1+u^2}{u_0^2-u_2}}\sim \frac1{\sqrt{\cos2n\theta-\cos2n\theta_0}}. $$

Удается вычислить и поле

$$ -\phi'(z)\sim\sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^k \int_{-\theta_0+\pi k/n}^{\theta_0+\pi k/n} \frac{d\theta}{\sqrt{\cos2n\theta-\cos2n\theta_0}\, (e^{i\theta}-z)}. $$

Заменой $e^{i\theta}=\xi$ интеграл сводится к сумме интегралов по контурам, охватывающим разрезы $|\xi|=1$, $-\theta_0+\pi k/n<\arg\xi<\theta_0+\pi k/n$, $k=0,\ldots, 2n-1$ (радикал под интегралом как раз имеет точки ветвления на краях разрезов)

$$ -\phi'(z)\sim\int_C\frac{d\xi}{i\xi} \frac1{\sqrt{\xi^{2n}+\xi^{-2n} -\xi_0^{2n}-\xi_0^{-2n}}}\frac1{\xi-z}, $$

где $\xi_0=e^{i\theta_0}$ --- край одного из разрезов. Интеграл вычисляется вычетами (единственный вычет при $\xi=z$)

$$ -\phi'(z)\sim\frac{z^{n-1}}{\sqrt{z^{4n}+1-z^{2n}(\xi_0^{2n}+\xi_0^{-2n})}}. $$

А здесь можно посмотреть картинки
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 7409/34#34

[drug39]

Да, картинки там хорошие. Только пока никто не обсуждал корректность постановки задачи.