Вычисление нужного количества карт в колоде

[Sergey+-]

У нас есть колода из 100 карт, среди которых только бубновые, пиковые и червовые тузы. Мы случайным образом выбираем из нее 10 штук. Среди них мы хотим увидеть 2 бубновых туза, 3 пиковых и 5 червовых. Необходимо найти количество всех трёх видов карт в колоде, при котором такой расклад окажется наиболее вероятным.

Возможно, решается через теорию вероятности, но мне кажется, что самый очевидный путь - составление пропорции. Т.е., в нашем случае $100/10=10$. Если мы хотим увидеть среди выбранных карт 2 бубновых туза, получаем $10\cdot2=20$. Аналогично $10\cdot3=30$. Или я неправ и количество карт в колоде считается по-другому?

[Jnrty]

Sergey+- в сообщении #1367759 писал(а):

мне кажется

Когда кажется, креститься надо. Раз задача по теории вероятностей, то и решать её надо соответствующими методами, а уж получится там пропорция или что-то другое — как повезёт.

Ждём от Вас решения.

[Sergey+-]

Jnrty в сообщении #1367771 писал(а):

Sergey+- в сообщении #1367759 писал(а):

мне кажется

Раз задача по теории вероятностей, то и решать её надо соответствующими методами.

А с чего Вы взяли, что задача по теории вероятностей?
Я свое решение вроде описал.

[Lia]

С того, что фигурируют слова "наиболее вероятным". Свой подход Вы описали, но из Вашего решения никак не следует, что данный набор вероятнее хотя бы одного другого, не говоря уже обо всех остальных.

[Sergey+-]

Lia в сообщении #1367775 писал(а):

С того, что фигурируют слова "наиболее вероятным". Свой подход Вы описали, но из Вашего решения никак не следует, что данный набор вероятнее хотя бы одного другого, не говоря уже обо всех остальных.

Хорошо, понял Вас. Попробую более подробно обосновать.

[Sergey+-]

Итак.

Я предполагаю, что нужным сочетанием карт, с которым описанный расклад оказывается наиболее вероятным, будет составлять 20 бубновых тузов, 30 пиковых и 50 червовых. Находим вероятность Р(А1):

$P(A_1)=\frac {20\cdot19\cdot30\cdot29\cdot28\cdot50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46} {100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot95\cdot94\cdot93\cdot92\cdot91}=0,00003746761$.

Далее - как может меняться состав колоды? Вижу 12 вариантов:

1) б 25, п 25, ч 50
2) б 25, п 30, ч 45
3) б 30, п 25, ч 45
4) б 15, п 35, ч 50
5) б 20, п 35, ч 45
6) б 15, п 40, ч 45
7) б 15, п 30, ч 55
8) б 20, п 25, ч 55
9) б 15, п 25, ч 60
10) б 10, п 35, ч 55
11) б 25, п 20, ч 55
12) б 25, п 35, ч 40

В каждом из этих вариантов представлено только то, как количество разных карт меняется относительно друг друга, это не точные цифры. Однако логично предположить, что если мы увеличили количество бубновых тузов, уменьшили количество пиковых, и после этого вероятность уменьшилась, то это не зависит от того, насколько именно мы увеличили и уменьшили. Т.е., если во всех этих вариантах вероятность выпадения нужного расклада окажется меньше, чем у изначальной колоды, то можно сказать, что именно она даёт наибольшую вероятность.

Вероятности, высчитанные тем же самым способом:
1) $P(A_2)=0,00001675696$
2) $P(A_3)=0,00003411359$
3) $P(A_4)=0,00013076877$
4) $P(A_5)=0,00003337915$
5) $P(A_6)=0,00007546325$
6) $P(A_7)=0,0009104016$

Это только половина представленных вариантов колоды, при этом уже здесь три варианта, у которых вероятность больше изначальной колоды - 3,5 и 6.

Как я понимаю, дальнейший ход решения - досчитывать вероятности этих вариантов до конца и смотреть, в каких случаях вероятность становится больше. А там уже, в зависимости от обстоятельств, решать, как двигаться дальше.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Sergey+- в сообщении #1368338 писал(а):

Однако логично предположить, что если мы увеличили количество бубновых тузов, уменьшили количество пиковых, и после этого вероятность уменьшилась, то это не зависит от того, насколько именно мы увеличили и уменьшили

Аналогичное рассуждение: возьмем для начала колоду из 42 бубновых, 3 пиковых и 5 червовых. Теперь уменьшим количество бубновых и пиковых и возьмем колоду из 50 червовых. Вероятность уменьшилась. А вот если бы взяли колоду из 41 бубновых, 3 пиковых и 6 червовых - то увеличилась бы.

[Sergey+-]

mihaild в сообщении #1368390 писал(а):

Sergey+- в сообщении #1368338 писал(а):

Однако логично предположить, что если мы увеличили количество бубновых тузов, уменьшили количество пиковых, и после этого вероятность уменьшилась, то это не зависит от того, насколько именно мы увеличили и уменьшили

Аналогичное рассуждение: возьмем для начала колоду из 42 бубновых, 3 пиковых и 5 червовых. Теперь уменьшим количество бубновых и пиковых и возьмем колоду из 50 червовых. Вероятность уменьшилась. А вот если бы взяли колоду из 41 бубновых, 3 пиковых и 6 червовых - то увеличилась бы.

Вероятность уменьшилась - в смысле, до нуля? Не думаю, что для нас имеет смысл ситуация, когда нужное событие невозможно, колода должна включать все три вида карт.

[mihaild]

Идея в том, что ваше рассуждение "если какое-то уменьшение числа бубновых карт приводит к уменьшению вероятности, то любое уменьшение приводит к ней же" - не работает. Нулевая вероятность тут только для простоты подсчета.

[Sergey+-]

mihaild в сообщении #1368412 писал(а):

Идея в том, что ваше рассуждение "если какое-то уменьшение числа бубновых карт приводит к уменьшению вероятности, то любое уменьшение приводит к ней же" - не работает. Нулевая вероятность тут только для простоты подсчета.

"А вот если бы взяли колоду из 41 бубновых, 3 пиковых и 6 червовых - то увеличилась бы" - посчитал, у меня вероятность уменьшилась.

[mihaild]

Неправильно посчитали, значит. Покажите рассчеты.

[Sergey+-]

mihaild в сообщении #1368416 писал(а):

Неправильно посчитали, значит. Покажите рассчеты.

B - расклад с 5 червовыми картами, C - с 6.

$P(B)=\frac {42\cdot41\cdot3\cdot2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2} {100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot95\cdot94\cdot93\cdot92\cdot91}$

$P(C)=\frac {41\cdot40\cdot3\cdot2\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2} {100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot95\cdot94\cdot93\cdot92\cdot91}$


$P(B):P(C)=\frac {42\cdot41\cdot3\cdot2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2} {41\cdot40\cdot3\cdot2\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}=\frac {42} {40\cdot3\cdot2}$

Да, видимо, неправильно. Теперь получается, что вероятность всё ж увеличивается.
Значит, придётся заново думать, что со всем этим делать.

[mihaild]

Sergey+- в сообщении #1368431 писал(а):

$P(B)=\frac {42\cdot41\cdot3\cdot2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2} {100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96\cdot95\cdot94\cdot93\cdot92\cdot91}$

Здесь вы кстати что-то странное посчитали. Попробуйте тем же способом посчитать вероятность того, что из колоды "2 бубновых, 2 червовых" вытащат 1 бубнового и 1 червового.