В защиту Литлвуда

[Лукомор]

MaximKat в сообщении #136659 писал(а):

Изначально в ящике шары с номерами 1,2,3,...
Первый Лукомор вынимает шары с номерами 1,2,3,..., а второй с номерами 2,4,6,...
Общее количество вынутых шаров у обоих Лукоморов в любой момент времени одинаково
Но почему-то разница в том, что у Лукомора-1 окажутся вынуты все шары, а у Лукомора-2 останется бесконечно много шаров.
Парадокс!

Так нельзя делать.
Нельзя сказать, будут ли вынуты все шары за конечный интервал времени в первом или во втором случае, или это будут бесконечные интервалы.
Ну... допустим, что частота выемки шаров у обоих Лукоморов синхронно возрастает в геометрической прогрессии а-ля Зенон.
Тогда у Вас элементарная ошибка.
В таком случае наоборот, Лукомор-2 уже вынет все четные шары, а у Лукомора-1 в этот момент щаров останется все еще бесконечно много.
И к тому моменту, когда Л-1 вынет все шары, Л-2, в принципе успеет еще и нечетные шары вынуть.
Как-то так.

Добавлено спустя 7 минут 27 секунд:

MaximKat в сообщении #136729 писал(а):

и какому шагу соответствует момент времени "полдень"?

Последнему.

[MaximKat]

Лукомор в сообщении #136766 писал(а):

Нельзя сказать, будут ли вынуты все шары за конечный интервал времени в первом или во втором случае, или это будут бесконечные интервалы.
Ну... допустим, что частота выемки шаров у обоих Лукоморов синхронно возрастает в геометрической прогрессии а-ля Зенон.
Тогда у Вас элементарная ошибка.
В таком случае наоборот, Лукомор-2 уже вынет все четные шары, а у Лукомора-1 в этот момент щаров останется все еще бесконечно много.
И к тому моменту, когда Л-1 вынет все шары, Л-2, в принципе успеет еще и нечетные шары вынуть.

За $\frac1N$ минуту до полудня Лукомор-1 вынимает шар с номером $N$, а Лукомор-2 - шар с номером $2N$. Спрашивается, у кого сколько шаров останется в полдень. Изначальна в корзине шары со всеми натуральными номерами.

Лукомор в сообщении #136766 писал(а):

Последнему.

А номер у него есть?

[Лукомор]

MaximKat в сообщении #136769 писал(а):

За $1/N$ минуту до полудня Лукомор-1 вынимает шар с номером $N$, а Лукомор-2 - шар с номером $2N$. Спрашивается, у кого сколько шаров останется в полдень. Изначальна в корзине шары со всеми натуральными номерами.

А если по-другому?
За $1/2-1/N$ минуту до полудня Лукомор-1 вынимает шар с номером $N$, а Лукомор-2 - шар с номером $2N$.
Что будет тогда?

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

MaximKat в сообщении #136769 писал(а):

А номер у него есть?

Нет.

Добавлено спустя 36 минут 5 секунд:

Прежде, чем покинуть этот, во многих отношениях удивительный, форум, хочу заметить, что никакого парадокса, связаного с бесконечностью, в задаче Литлвуда нет.
Для любого конечного числа шаров $N$, за $N$ ходов в ящике не останется ни одного шара.
Для примера возьмем $N=20$.
Исходное положение:
Имеется 20 шаров и пустой ящик.
Шаг №1: Укладываем в ящик 10 шаров, вынимаем шар №1.
В ящике 9 шаров, вынут 1 шар.
Шаг №2: Укладываем в ящик 10 шаров, вынимаем шар №2.
В ящике 18 шаров, вынуто 2 шара.
Шаг №3: Укладывать в ящик больше нечего, вынимаем шар №3. В ящике 17 шаров, вынуто 3 шара.
...
...
...
Шаг №19: Укладывать в ящик нечего, вынимаем шар №19. В ящике 1 шар, вынуто 19 шаров.
Шаг №20: Укладывать в ящик нечего, вынимаем шар №20. В ящике пусто, вынуто 20 шаров.
Все просто...

[ewert]

Лукомор писал(а):

Прежде, чем покинуть этот, во многих отношениях удивительный, форум, хочу заметить, что никакого парадокса, связаного с бесконечностью, в задаче Литлвуда нет.

Нет-нет, не покидайте нас, Вы ж ещё не врубились -- правильная последовательность совсем другая!

Для примера возьмем $N=20$.
Исходное положение:
Имеется 20 шаров и пустой ящик.
Шаг №1: Укладываем в ящик 10 шаров, вынимаем один шар.
В ящике 9 шаров, вынут 1 шар.
Шаг №2: Укладываем в ящик 10 шаров, вынимаем один шар.
В ящике 18 шаров, вынуто 2 шара.
Шаг №3: Укладываем в ящик 2 шара, вынимаем один шар. В ящике 19 шаров, вынут 1 шар.
Шаг №4: Укладываем в ящик 1 шар, вынимаем один шар. В ящике 19 шаров, вынут 1 шар.
Шаг №5: Укладываем в ящик 1 шар, вынимаем один шар. В ящике 19 шаров, вынут 1 шар.
...
Шаг №19: Укладываем в ящик 1 шар, вынимаем один шар. В ящике 19 шаров, вынут 1 шар.
Шаг №20: Укладываем в ящик 1 шар, вынимаем один шар. В ящике 19 шаров, вынут 1 шар.
Шаг №21: Укладываем в ящик 1 шар, вынимаем один шар. В ящике 19 шаров, вынут 1 шар.
...

Таким образом, сколько в ящик ни клади -- там всегда будет 19 шаров. Это ль не парадокс??!

[MaximKat]

Лукомор в сообщении #136932 писал(а):

А если по-другому?

а если как я сказал?

[Лукомор]

MaximKat в сообщении #136941 писал(а):

а если как я сказал?

Если так, то у Л-1 шаров не останется, а у Л-2 останется, и даже бесконечно много...
Все зависит от сценария.
Можно так:
Изначально в ящике есть шар с №1.(один шар).
Укладываем в ящик шар №2, вынимаем шар №1.(в ящике по-прежнему один шар)
Укладываем в ящик шар №3, вынимаем шар №2.(в ящике все равно один шар)
И.т.д.
По Литлвуду в полдень в ящике не останется ни одного шара.
На самом деле всегда будет один шар.
Только не спрашивайте, какой у него будет номер....

Добавлено спустя 18 минут 1 секунду:

ewert в сообщении #136937 писал(а):

Шаг №3: Укладываем в ящик 2 шара, вынимаем один шар. В ящике 19 шаров, вынут 1 шар.

Третий шаг противоречит условию задачи.
По-хорошему надо бы после второго шага остановить процесс, подсчитать шары в ящике, и записать ответ задачи - 18 шаров в ящике.
Есть еще интересный вариант.
Допустим наши 20 шаров - белого цвета.
Возьмем еще шаров другого цвета, например красных.
После первых двух шагов белые шары с №3 по №20 в ящике, белые №1 и №2 вынуты.
Шаг №3: Укладываем 10 красных шаров, вынимаем белый шар №3.
Шаг №4: Укладываем 10 красных шаров, вынимаем белый шар №4.
...
Шаг №20: Укладываем 10 красных шаров, вынимаем белый шар №20.
Подводим итог:
Все 20 белых шаров из ящика вынуты.
В ящике не осталось ни одного шара (белого).
Правда осталось 180 красных шаров.
И чтобы их вынуть, нужно уложить в ящик 1800 каких нибудь зеленых шаров.

[MaximKat]

Лукомор в сообщении #137038 писал(а):

Если так, то у Л-1 шаров не останется, а у Л-2 останется, и даже бесконечно много...

Разве не парадоксально? Изначально шаров одинаковое количество, скорость вынимания одинаковая у обоих, а результат разный. Как Вы это объясните?

[Лукомор]

MaximKat в сообщении #137136 писал(а):

Изначально шаров одинаковое количество, скорость вынимания одинаковая у обоих, а результат разный. Как Вы это объясните?

"Ловкость рук и никакого мошенничества"...
Когда речь идет о бесконечных множествах, не принято говорить:"Одинаковое количество".
Можно говорить об отношении двух бесконечных множеств, например , если я вынимаю каждый четный шар, то отношение количества вынутых шаров к количеству оставшихся, по завершении процесса, будет $1/1$, а вынимая каждый десятый шар получим соотношение $1/10$.
Но и в том и в другом случае будет "одинаковое количество" вынутых и невынутых шаров, т.е. можно установить взаимо однозначное соответствие.
Опять же, термин:"Скорость вынимания" - не определен.
Я бы предпочел называть это "частотой повторения" операций.
И по какой формуле можно посчитать эту "скорость вынимания"?
Тем более, что она растет неограниченно.
Именно из-за неограниченного роста частоты выемки шаров бесконечное количество шаров будет вынуто за конечное время.
Ну и, наконец, результат будет зависеть от того, какие условия вы задаете.
Я для себя называю это "сценарием".
В вашем конкретном примере, у Л-2 нечетные шары в процессе перекладки вообще никак не участвуют - отсюда и результат.

[AD]

Лукомор и пр. По-моему, я уже где-то это писал, но все равно уже давно забыто.

Давайте так: В ящике изначально лежат все шары, и на каждом шаге вынимаем один шар. Очевидно, что на каждом шаге в ящике шаров намного больше, чем в классическом варианте, тем не менее, никто не спорит (тьфу-тьфу), что в конце концов ящик будет пуст.

_________________

Лукомор писал(а):

По Литлвуду в полдень в ящике не останется ни одного шара.
На самом деле всегда будет один шар.

Ну вы уже понимаете, что эти утверждения друг другу не противоречат? Или еще мало мы обсудили разные смыслы слова "всегда"?

[ewert]

Лукомор писал(а):

"Ловкость рук и никакого мошенничества"...
Когда речь идет о бесконечных множествах, не принято говорить:"Одинаковое количество".
Можно говорить об отношении двух бесконечных множеств,

ага, снова ловкость рук. Нельзя говорить "одинаковое к-во" <=> нельзя говорить об отношении.

Всё остальное совсем уж бессмысленно.

[Лукомор]

AD в сообщении #137354 писал(а):

Давайте так: В ящике изначально лежат все шары, и на каждом шаге вынимаем один шар. Очевидно, что на каждом шаге в ящике шаров намного больше, чем в классическом варианте, тем не менее, никто не спорит (тьфу-тьфу), что в конце концов ящик будет пуст.

Значит вы со мной согласны, что дело не в бесконечном количестве шаров, а в порядке их извлечения, так сказать "сценарии", иными словами в условии задачи.
Для меня проблема как раз в том, что ВСЕ шары уже в ящике, и вынув первый шар мы, по условию, должны положить в ящик 10 новых.
Так где же мы их возьмём????

Добавлено спустя 8 минут 8 секунд:

ewert в сообщении #137355 писал(а):

Нельзя говорить "одинаковое к-во" <=> нельзя говорить об отношении.

Стоп, так не пойдет!
Вот вам пример:
Два ряда с бесконечными суммами, например
$u=1+2+3+...+N+...$
$v=2+4+6+...+2\dot N+...$
Бессмысленно говорить о том, чему равна разность этих рядов, а вот отношение сумм равно конкретному числу $1/2$.

[AD]

Лукомор писал(а):

Значит вы со мной согласны, что дело не в бесконечном количестве шаров, а в порядке их извлечения, так сказать "сценарии", иными словами в условии задачи.

Общие заявления и глобальные космические выводы типа этих мне не интересны. Кабы вы теорему сформулировали ...

Лукомор писал(а):

отношение сумм равно конкретному числу $1/2$.

Это отношение частичных сумм. Ну повезло вам, что оно остается постоянным, а разность частичных сумм такой не остается. Ну так можно рассмотреть ряд

$u=1+2+3+...+N+...$
$v=2+3+4+...+(N+1)+...$

и тут с разностью все в порядке, а отношение меняется.

[Лукомор]

AD в сообщении #137393 писал(а):

и тут с разностью все в порядке, а отношение меняется.

Это не принципиально.
Отношение частичных сумм в вашем примере стремится к единице, это нормально.
А вот с разностью не все в порядке, т.к. с одной стороны частичные суммы второго ряда остаются больше частичных сумм первого ряда,
а с другой стороны:
$u=1+(2+3+4+...)=1+v$

[AD]

Лукомор писал(а):

$u=1+(2+3+4+...)=1+v$

То есть вам не очевидно, что это - бред? Процитированная фраза в смысле. Пока что вы, я вижу, не собираетесь говорить о математике и продолжаете свои шаманские манипуляции с математическими понятиями. Докажите хоть одно из своих утверждений, что-ли.

[ewert]

Или хотя бы сформулируйте.