Физика. Квантовая механика и ядерная физика.

[Falya]

Во сколько раз отличается дебройлевская длина волны протона $\lambda$, ускоренного разностью потенциалов $U = 1\text{ ГВ}$, от величины неопределенности его координаты $\triangle x$, соответствующей неопределенности его импульса $\triangle p/p = 0,001$. Масса протона $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}\text{ кг}$.

Понятно, что формула для дебройлевской волны должна использоваться эта (поправьте, если нет): $\lambda = \frac h {mv} = \frac h {\sqrt{2emU}}$
Соотношение неопределенности координаты и импульса по Гейзенбергу $ \triangle x \triangle p_x \geqslant \hbar $, где $ \hbar $ - постоянная Планка, деленная на $2 \pi $

При подсчете длины волны по де-Бройлю, по первой формуле ответ вышел $ \lambda = 9,069 \cdot 10^{-16}$.
В качестве грубой относительной неопределенности можно применить величину $ \frac {\triangle \lambda} {\lambda} = \frac {\triangle p} {p} $, так как $\lambda = \frac {2 \pi} {p}$. При подстановке чисел получим $ \triangle \lambda = 9,069 \cdot 10^{-19}$
Т.к. $\lambda = \frac {2 \pi} {p}$, выразим импульс $p = \frac {2 \pi} {\lambda} = 6,924 \cdot 10^{15}$
Из условия $\triangle p/p = 0,001$, выразим неопределенность импульса $\triangle p = p \cdot 0,001 = 6,924 \cdot 10^{12}$
Так как неопределенность импульса известна, подставим ее в формулу Гейзенберга:
$ \triangle x \geqslant \frac {\hbar} {\triangle p} = 1,522 \cdot 10^{-47}$
Сравним дебройлевскую длину волны $\lambda$ и неопределенную координату $\triangle x$
$9,069 \cdot 10^{-16} > 1,522 \cdot 10^{-47}$
Ответ: $ 5,96 \cdot 10^{31}$ раз
Именно это сравнение требуется в задаче или нет? Знатоки, пожалуйста, проверьте формулы и напишите свой метод или решение.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[Munin]

Falya в сообщении #1366716 писал(а):

Понятно, что формула для дебройлевской волны должна использоваться эта (поправьте, если нет): $\lambda = \frac h {mv} = \frac h {\sqrt{2emU}}$

Разность потенциалов 1 ГВ (гигавольт) сравнима с массой протона ≈1 ГэВ. Так что формула тут должна использоваться релятивистская. Впрочем, ошибку вы здесь допускаете не более чем на порядок.

Falya в сообщении #1366716 писал(а):

В качестве грубой относительной неопределенности можно применить величину $ \frac {\triangle \lambda} {\lambda} = \frac {\triangle p} {p} $

Это соотношение совершенно бессмысленно. Что вы обозначаете $\Delta\lambda$? Хоть бы подумали, прежде чем писать.

Falya в сообщении #1366716 писал(а):

так как $\lambda = \frac {2 \pi} {p}$.

Вот двумя строчками выше вы написали правильно, а тут почему-то постоянную Планка забыли. И так дальше и пользуетесь ошибочной формулой (даже не думая о единицах измерения, что грубейшая ошибка...).

По сути, отсюда и бредовый результат вычислений. Если это исправить, должно получиться нормальмно.

(Подсказка)

Подсказка: в задаче есть лишние данные :-)

[Falya]

Munin писал(а):

Разность потенциалов 1 ГВ (гигавольт) сравнима с массой протона $\approx 1$ ГэВ. Так что формула тут должна использоваться релятивистская. Впрочем, ошибку вы здесь допускаете не более чем на порядок.

$ \lambda^p = \frac {2 \pi \hbar} {\sqrt{2 m E_k} \sqrt{1+ \frac {E_k} {2 m c^2}}}$
При $E_k = e U \approx 1$ ГэВ, \lambda = 1,986 \cdot 10^{-34}$ м

$\lambda = \frac {2 \pi \hbar} {p}$, откуда $p= \frac {2 \pi \hbar} {\lambda} = 3,(3)$ кг м/с
По условию $\triangle p/p = 0,001$, откуда $\triangle p = 0,001 \cdot p = 0,00(3)$ кг м/с
$\triangle x \triangle p \geqslant 2 \pi \hbar$, откуда $\triangle x \geqslant \frac{2 \pi \hbar} {\triangle p} = 1,986 \cdot 10^{-31}$ м
$ \triangle x > \lambda$
$1,986 \cdot 10^{-31} > 1,986 \cdot 10^{-34}$
Ответ: 1000 раз

Если брать мою первую приведенную формулу (нерелятивистскую), путем нехитрых вычислений, мы получим тот же ответ - 1000 раз. Тогда зачем брать релятивистскую формулу?

P.S. Главные ошибки понятны, спасибо за популярное объяснение.

[Munin]

Falya в сообщении #1367887 писал(а):

Тогда зачем брать релятивистскую формулу?

Munin в сообщении #1367622 писал(а):

Подсказка: в задаче есть лишние данные :-)

Ответ у вас правильный, только советую его выразить в виде формулы, и упростить.