2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение12.11.2018, 11:00 


05/09/16
5375
bot в сообщении #1353449 писал(а):
Или ещё проще: для нижней оценки заменить знаменатели на $(n+1)^2$, для верхней - на $n^2$.

Во! Вот так совсем хорошо...

-- 12.11.2018, 11:21 --

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1353332 писал(а):
Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$,

Почему это? Пусть семь чисел это $100,101...106$, их сумма не меньше $100$, а среди трех самых больших все три больше $16$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение12.11.2018, 12:20 


10/07/18
62
wrest в сообщении #1353474 писал(а):
bot в сообщении #1353449 писал(а):
Или ещё проще: для нижней оценки заменить знаменатели на $(n+1)^2$, для верхней - на $n^2$.

Во! Вот так совсем хорошо...

-- 12.11.2018, 11:21 --

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1353332 писал(а):
Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$,

Почему это? Пусть семь чисел это $100,101...106$, их сумма не меньше $100$, а среди трех самых больших все три больше $16$.

Там в предположении от противного было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение12.11.2018, 12:47 


05/09/16
5375
Grom Hellscream в сообщении #1353494 писал(а):
Там в предположении от противного было.
Вот текст целиком.
Heart-Shaped Glasses в сообщении #1353332 писал(а):
Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$, поэтому сумма оставшихся не больше $50$. Значит сумма трёх самых больших не меньше $50$.
Где-то что-то явно напутано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение12.11.2018, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6063
wrest в сообщении #1353499 писал(а):
Где-то что-то явно напутано.
Всё там правильно, только тезисами. Если сумма трёх наибольших меньше 50, то меньшее из них меньше 16. Тогда сумма остальных четырёх меньше 51. Тогда сумма всех семи меньше 100. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение12.11.2018, 13:38 


05/09/16
5375
grizzly в сообщении #1353501 писал(а):
Всё там правильно, только тезисами. Если сумма трёх наибольших меньше 50, то меньшее из них меньше 16. Тогда сумма остальных четырёх меньше 51. Тогда сумма всех семи меньше 100. Противоречие.

А... ну так-то -- да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение03.01.2019, 16:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31569
thething в сообщении #1353329 писал(а):
UPD. Можно попроще: $\frac{k}{n^2}-\frac{k}{n^2+k}=\frac{k^2}{n^2(n^2+k)}\leqslant\frac{1}{n^4}k^2$. Остаётся использовать формулу суммы квадратов

Это -- наиболее разумно, только зачем сумма квадратов, когда правая часть меньше $\frac4{n^2}$ (ну там с копейками).

bot в сообщении #1353309 писал(а):
3. Многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами удовлетворяет тождеству $p(x+\lambda)+p(x-\lambda)=2p(x)$ при некотором $\lambda\ne0.$ Найдите все такие многочлены.

(видимо, в порядке шутки) Вторые конечные разности равны нулю, в т.ч. для $a_k=p(\lambda_k)$, а общим решением такого разностного уравнения является арифметическая прогрессия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение03.01.2019, 18:00 
Заслуженный участник


11/05/08
31569
bot в сообщении #1353309 писал(а):
6. Для $a\geqslant0$ рассмотрим параболический сегмент, определённый неравенствами $x^2\leqslant y\leqslant a.$ Впишем в него окружность, касающуюся прямой $y=a$ и параболы
$y=x^2$ так, что её центр лежит на оси ординат. Проведя ещё одну касательную к окружности симметрично касательной $y=a$ относительно центра, получим новый сегмент. В него так же впишем окружность и так далее.
Найдите предел $\lim\limits_{a\to\infty}\dfrac{S(a)}{S_p(a)},$ где $S(a)$ --- сумма ряда, составленного из площадей кругов, а $S_p(a)$ --- площадь сегмента $x^2\leqslant y\leqslant a.$

Ну, очевидно, $\frac{\pi}4$ (отношение площадей круга и описанного квадрата). Только с оформлением доказательства морока, да и условие выписано как-то криво (в частности, $S(a)$ -- это никакой не ряд).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение04.01.2019, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1139
Антарктика
ewert в сообщении #1365683 писал(а):
только зачем сумма квадратов

Потому что я ее помню)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение05.01.2019, 05:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5599
Новосибирск
ewert в сообщении #1365699 писал(а):
$S(a)$ -- это никакой не ряд

А кто запретил ряды с конечным числом ненулевых членов? Кстати, условие неравенство $a\geqslant0$ не случайно допускает случай, когда все члены ряда нулевые.

ewert в сообщении #1365699 писал(а):
Ну, очевидно, $\frac{\pi}4$ (отношение площадей круга и описанного квадрата)

С этой очевидностью мороки по самое не хочу. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group