Олимпиада НГУ по математике 2018

[wrest]

bot в сообщении #1353449 писал(а):

Или ещё проще: для нижней оценки заменить знаменатели на $(n+1)^2$, для верхней - на $n^2$.

Во! Вот так совсем хорошо...

-- 12.11.2018, 11:21 --

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1353332 писал(а):

Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$,

Почему это? Пусть семь чисел это $100,101...106$, их сумма не меньше $100$, а среди трех самых больших все три больше $16$.

[Grom Hellscream]

wrest в сообщении #1353474 писал(а):

bot в сообщении #1353449 писал(а):

Или ещё проще: для нижней оценки заменить знаменатели на $(n+1)^2$, для верхней - на $n^2$.

Во! Вот так совсем хорошо...

-- 12.11.2018, 11:21 --

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1353332 писал(а):

Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$,

Почему это? Пусть семь чисел это $100,101...106$, их сумма не меньше $100$, а среди трех самых больших все три больше $16$.

Там в предположении от противного было.

[wrest]

Grom Hellscream в сообщении #1353494 писал(а):

Там в предположении от противного было.

Вот текст целиком.

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1353332 писал(а):

Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$, поэтому сумма оставшихся не больше $50$. Значит сумма трёх самых больших не меньше $50$.

Где-то что-то явно напутано.

[grizzly]

wrest в сообщении #1353499 писал(а):

Где-то что-то явно напутано.

Всё там правильно, только тезисами. Если сумма трёх наибольших меньше 50, то меньшее из них меньше 16. Тогда сумма остальных четырёх меньше 51. Тогда сумма всех семи меньше 100. Противоречие.

[wrest]

grizzly в сообщении #1353501 писал(а):

Всё там правильно, только тезисами. Если сумма трёх наибольших меньше 50, то меньшее из них меньше 16. Тогда сумма остальных четырёх меньше 51. Тогда сумма всех семи меньше 100. Противоречие.

А... ну так-то -- да.

[ewert]

thething в сообщении #1353329 писал(а):

UPD. Можно попроще: $\frac{k}{n^2}-\frac{k}{n^2+k}=\frac{k^2}{n^2(n^2+k)}\leqslant\frac{1}{n^4}k^2$. Остаётся использовать формулу суммы квадратов

Это -- наиболее разумно, только зачем сумма квадратов, когда правая часть меньше $\frac4{n^2}$ (ну там с копейками).

bot в сообщении #1353309 писал(а):

3. Многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами удовлетворяет тождеству $p(x+\lambda)+p(x-\lambda)=2p(x)$ при некотором $\lambda\ne0.$ Найдите все такие многочлены.

(видимо, в порядке шутки) Вторые конечные разности равны нулю, в т.ч. для $a_k=p(\lambda_k)$, а общим решением такого разностного уравнения является арифметическая прогрессия.

[ewert]

bot в сообщении #1353309 писал(а):

6. Для $a\geqslant0$ рассмотрим параболический сегмент, определённый неравенствами $x^2\leqslant y\leqslant a.$ Впишем в него окружность, касающуюся прямой $y=a$ и параболы
$y=x^2$ так, что её центр лежит на оси ординат. Проведя ещё одну касательную к окружности симметрично касательной $y=a$ относительно центра, получим новый сегмент. В него так же впишем окружность и так далее.
Найдите предел $\lim\limits_{a\to\infty}\dfrac{S(a)}{S_p(a)},$ где $S(a)$ --- сумма ряда, составленного из площадей кругов, а $S_p(a)$ --- площадь сегмента $x^2\leqslant y\leqslant a.$

Ну, очевидно, $\frac{\pi}4$ (отношение площадей круга и описанного квадрата). Только с оформлением доказательства морока, да и условие выписано как-то криво (в частности, $S(a)$ -- это никакой не ряд).

[thething]

ewert в сообщении #1365683 писал(а):

только зачем сумма квадратов

Потому что я ее помню)

[bot]

ewert в сообщении #1365699 писал(а):

$S(a)$ -- это никакой не ряд

А кто запретил ряды с конечным числом ненулевых членов? Кстати, условие неравенство $a\geqslant0$ не случайно допускает случай, когда все члены ряда нулевые.

ewert в сообщении #1365699 писал(а):

Ну, очевидно, $\frac{\pi}4$ (отношение площадей круга и описанного квадрата)

С этой очевидностью мороки по самое не хочу.