На 7 площадках Европы (Москва, ст.Петербург), Средней Азии и Сибири (Новосибирск и окрестности) завершилась
СИБИРСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. Задачи для 1 курса1. Сумма семи различных натуральных чисел не меньше 100. Докажите, что сумма некоторых трёх из них не меньше 50.
2. Британские учёные начали выписывать после нуля с запятой в порядке возрастания квадраты всех нечётных чисел:

Рационально или нет число, которое пишут британские учёные?
3. На окружности расположены

чисел. Разрешается за один шаг изменить на единицу (в одну или в разные стороны) два соседних числа. Найдите все

, при которых все числа

можно сделать равными за конечное число разрешённых действий при любом их расположении на окружности.
4. Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической?
5. В параллелограмме

на диагонали

выбрана точка

такая, что

Точка

делит отрезок

пополам.
Докажите, что угол

прямой.
6. Пусть
![$[2nx]=2[nx]$ $[2nx]=2[nx]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/9/9b9607dcd07ef30b84830469fdf8796f82.png)
для любых натуральных

. Докажите, что

--- целое число.
Здесь
![$[x]$ $[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/1/7e1c4a3a07c941625c2f20c594cb9f7c82.png)
означает целую часть числа

, то есть наибольшее целое, не превосходящее

.
Задачи для 2-4 курсов1. Найдите предел последовательности

2. Определите знак интеграла

3. Многочлен

с действительными коэффициентами удовлетворяет тождеству

при некотором

Найдите все такие многочлены.
4. Квадратная матрица

порядка

удовлетворяет равенству

. Докажите, что её ранг не превосходит

5. Пусть бесконечно дифференцируемая функция

для всех неотрицательных целых

удовлетворяет условиям
(a)
(b)

для всех действительных

.
Существуют ли такие функции, кроме тождественно равной нулю?
6. Для

рассмотрим параболический сегмент, определённый неравенствами

Впишем в него окружность, касающуюся прямой

и параболы

так, что её центр лежит на оси ординат. Проведя ещё одну касательную к окружности симметрично касательной

относительно центра, получим новый сегмент. В него так же впишем окружность и так далее.
Найдите предел

где

--- сумма ряда, составленного из площадей кругов, а

--- площадь сегмента
