Олимпиада НГУ по математике 2018

[TOTAL]

bot в сообщении #1348029 писал(а):

5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

Так как все члены последовательности (кроме начального) отрицательны, то из $(x_{n+1}+2)=(x_n+2)/x_n$ видим, что они постоянно перепрыгивают через $(-2)$, а из $(x_{n+1}+2})=(x_{n-1}+2})/(2-x_{n-1})$ видим, что от $(-2)$ расстояние уменьшается (минимум в два раза)

[ewert]

thething в сообщении #1348046 писал(а):

Из теоремы Лагранжа следует, что на полуинтервале $[-3,-\sqrt{2})$ отображение $f:[-3,-\sqrt{2})\to\left(-\sqrt{2}-1,-\frac{5}{3}\right]$ -- сжимающее. Поскольку $x_4\in(-3,-\sqrt{2})$ (если не обсчитался),

Вообще-то уже $x_1\approx-1$ и $x_2\approx-3$, чего и достаточно, т.к. левее минус корня из двух производная по модулю меньше единицы (и тем самым автоматически переводит этот полубесконечный промежуток в себя).

[bot]

Да уж, перемудрил. Сначала вместо 2018 было произвольное $a$, что предусматривало рассмотрение обломных значений, при которых последовательность затыкается на нуле, обессмысливая разговоры о сходимости. Потом взял $a=2018.$

[bot]

На 7 площадках Европы (Москва, ст.Петербург), Средней Азии и Сибири (Новосибирск и окрестности) завершилась

$\text {тык}\б\to $ СИБИРСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА.

Задачи для 1 курса

1. Сумма семи различных натуральных чисел не меньше 100. Докажите, что сумма некоторых трёх из них не меньше 50.

2. Британские учёные начали выписывать после нуля с запятой в порядке возрастания квадраты всех нечётных чисел: $0,19254981121169\ldots \,.$ Рационально или нет число, которое пишут британские учёные?

3. На окружности расположены $n$ чисел. Разрешается за один шаг изменить на единицу (в одну или в разные стороны) два соседних числа. Найдите все $n\geqslant2$, при которых все числа $1,2,\ldots ,n$ можно сделать равными за конечное число разрешённых действий при любом их расположении на окружности.

4. Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической?

5. В параллелограмме $ABCD$ на диагонали $BD$ выбрана точка $E$ такая, что $|AE|=|BD|.$ Точка $M$ делит отрезок $CE$ пополам.
Докажите, что угол $BMD$ прямой.

6. Пусть $[2nx]=2[nx]$ для любых натуральных $n$. Докажите, что $x$ --- целое число.
Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое, не превосходящее $x$.


Задачи для 2-4 курсов

1. Найдите предел последовательности $x_n=\dfrac{1}{n^2+1}+\dfrac{2}{n^2+2}+\ldots+ \dfrac{2n+1}{n^2+2n+1}.$

2. Определите знак интеграла $\int\limits_0^{\sqrt{\pi}}\cos x^2\,dx.$

3. Многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами удовлетворяет тождеству $p(x+\lambda)+p(x-\lambda)=2p(x)$ при некотором $\lambda\ne0.$ Найдите все такие многочлены.

4. Квадратная матрица $A$ порядка $n$ удовлетворяет равенству $A^2=0$. Докажите, что её ранг не превосходит $\dfrac{n}{2}\,.$

5. Пусть бесконечно дифференцируемая функция $f:\mathbb R\to \mathbb R$ для всех неотрицательных целых $n$ удовлетворяет условиям
(a) $f^{(n)}(0)=0$
(b) $|f^{(n)}(x)|\leqslant n!$ для всех действительных $x$.
Существуют ли такие функции, кроме тождественно равной нулю?


6. Для $a\geqslant0$ рассмотрим параболический сегмент, определённый неравенствами $x^2\leqslant y\leqslant a.$ Впишем в него окружность, касающуюся прямой $y=a$ и параболы
$y=x^2$ так, что её центр лежит на оси ординат. Проведя ещё одну касательную к окружности симметрично касательной $y=a$ относительно центра, получим новый сегмент. В него так же впишем окружность и так далее.
Найдите предел $\lim\limits_{a\to\infty}\dfrac{S(a)}{S_p(a)},$ где $S(a)$ --- сумма ряда, составленного из площадей кругов, а $S_p(a)$ --- площадь сегмента $x^2\leqslant y\leqslant a.$

[DjD USB]

(Оффтоп)

Почему на 1м курсе дают задачи чисто школьные? Никаких матриц, определителей, ангема, пределов. Странные тенденции.

[bot]

DjD USB в сообщении #1353317 писал(а):

Странные тенденции

Чего же тут странного? Цель их привлечения понятна - прощупать студентов на вырост. На каком материале это можно сделать тоже ясно - на том, который они должны были усвоить ещё до поступления в вуз. О матрицах, определителях, ангеме, пределах они только слышали (и то не все), а толком ещё не знают.

[thething]

bot в сообщении #1353309 писал(а):

2. Определите знак интеграла $\int\limits_0^{\sqrt{\pi}}\cos x^2\,dx.$

Имеем, $\int\limits_0^{\sqrt{\pi}}\cos x^2 dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos y}{2\sqrt{y}}dy+\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\cos y}{2\sqrt{y}}dy=I_1+I_2$.

Оценим $\left\lvert I_1\right\rvert=I_1\geqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, $\left\lvert I_2\right\rvert=-I_2\leqslant\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. Следовательно, исходный интеграл имеет знак $+$.

[DjD USB]

bot в сообщении #1353320 писал(а):

DjD USB в сообщении #1353317 писал(а):

Странные тенденции

Чего же тут странного? Цель их привлечения понятна - прощупать студентов на вырост. На каком материале это можно сделать тоже ясно - на том, который они должны были усвоить ещё до поступления в вуз. О матрицах, определителях, ангеме, пределах они только слышали (и то не все), а толком ещё не знают.

Судя по задачам задачи для подготовленного олимпиадника школьного, который занимался, ходил на кружки и т.п. Значит 3 сентября он должен был пойти и спросить, а где в это вузе занимаются олимпиадами. Прошло уже 3 месяца, они не просто должны были услышать о матрицах, определителях, пределах, ангеме, а уже готовится хотя бы по самым простым задачам олимпиадным по данным темам ( разложение в ряд тейлора, преобразования определителей, рекуренты).

[Heart-Shaped Glasses]

Цитата:

4. Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической?

$f(x)=\sin(x)+\sin(\pi x)$.

[thething]

bot в сообщении #1353309 писал(а):

1. Найдите предел последовательности $x_n=\dfrac{1}{n^2+1}+\dfrac{2}{n^2+2}+\ldots+ \dfrac{2n+1}{n^2+2n+1}.$

Имеем

$$\int\limits_{0}^{2n+1}\frac{x}{n^2+x}dx\leqslant\sum\limits_{k=1}^{2n+1}\frac{k}{n^2+k}\leqslant\int\limits_{1}^{2n+2}\frac{x}{n^2+x}dx$$

Вычисляя интегралы и переходя к пределу, получаем ответ $2$.

UPD. Можно попроще: $\frac{k}{n^2}-\frac{k}{n^2+k}=\frac{k^2}{n^2(n^2+k)}\leqslant\frac{1}{n^4}k^2$. Остаётся использовать формулу суммы квадратов и заметить отсюда, что исходный предел равен пределу суммы $\sum\limits_{k=1}^{2n+1}\frac{k}{n^2}$.

[Heart-Shaped Glasses]

Цитата:

1. Сумма семи различных натуральных чисел не меньше 100. Докажите, что сумма некоторых трёх из них не меньше 50.

Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$, поэтому сумма оставшихся не больше $50$. Значит сумма трёх самых больших не меньше $50$.

[SomePupil]

bot в сообщении #1353309 писал(а):

2. Британские учёные начали выписывать после нуля с запятой в порядке возрастания квадраты всех нечётных чисел: $0,19254981121169\ldots \,.$ Рационально или нет число, которое пишут британские учёные?

Нет.
Рассматривая числа $100\ldots01^2$ убеждаемся, что в записи встречаются сколь угодно длинные последовательности нулей. Значит, если число рационально, то оно необходимо имеет нулевой период, что, разумеется, неверно.

[iou]

bot в сообщении #1353309 писал(а):

3. Многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами удовлетворяет тождеству $p(x+\lambda)+p(x-\lambda)=2p(x)$ при некотором $\lambda\ne0.$ Найдите все такие многочлены.

Все линейные многочлены. Если есть многочлен $p(x)$ степени $n \ge 2$, то взяв производную $n-2$ раз получим квадратичный многочлен, удовлетворяющий условию, но таких не бывает. Если $p(x)=ax^2 + bx + c,$ то $2p(x) = p(x + \lambda) + p(x - \lambda) = 2p(x) + 2a \lambda^2.$

bot в сообщении #1353309 писал(а):

4. Квадратная матрица $A$ порядка $n$ удовлетворяет равенству $A^2=0$. Докажите, что её ранг не превосходит $\dfrac{n}{2}\,.$

$A(Av) = 0,$ откуда $Av \in \text{Ker} A,$ откуда $\text{Im} A \subset \text{Ker} A,$ тогда
$n = \dim \text{Im} A + \dim \text{Ker} A \le 2\dim \text{Ker} A.$

[kotenok gav]

bot в сообщении #1353309 писал(а):

4. Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической?

В любом случае, когда отношение периодов иррационально.

[bot]

thething в сообщении #1353329 писал(а):

Можно попроще

Или ещё проще: для нижней оценки заменить знаменатели на $(n+1)^2$, для верхней - на $n^2$.