2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение22.10.2018, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4760
Нов-ск
bot в сообщении #1348029 писал(а):
5. Исследуйте сходимость последовательности $x_0=2018, \, x_{n+1}=f(x_n)$, где $f(x)=\frac{2}{x}-1$.

Так как все члены последовательности (кроме начального) отрицательны, то из $(x_{n+1}+2)=(x_n+2)/x_n$ видим, что они постоянно перепрыгивают через $(-2)$, а из $(x_{n+1}+2})=(x_{n-1}+2})/(2-x_{n-1})$ видим, что от $(-2)$ расстояние уменьшается (минимум в два раза)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение22.10.2018, 17:18 
Заслуженный участник


11/05/08
31745
thething в сообщении #1348046 писал(а):
Из теоремы Лагранжа следует, что на полуинтервале $[-3,-\sqrt{2})$ отображение $f:[-3,-\sqrt{2})\to\left(-\sqrt{2}-1,-\frac{5}{3}\right]$ -- сжимающее. Поскольку $x_4\in(-3,-\sqrt{2})$ (если не обсчитался),

Вообще-то уже $x_1\approx-1$ и $x_2\approx-3$, чего и достаточно, т.к. левее минус корня из двух производная по модулю меньше единицы (и тем самым автоматически переводит этот полубесконечный промежуток в себя).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение25.10.2018, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5652
Новосибирск
Да уж, перемудрил. Сначала вместо 2018 было произвольное $a$, что предусматривало рассмотрение обломных значений, при которых последовательность затыкается на нуле, обессмысливая разговоры о сходимости. Потом взял $a=2018.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5652
Новосибирск
На 7 площадках Европы (Москва, ст.Петербург), Средней Азии и Сибири (Новосибирск и окрестности) завершилась

$\text {тык}\б\to $ СИБИРСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА.

Задачи для 1 курса

1. Сумма семи различных натуральных чисел не меньше 100. Докажите, что сумма некоторых трёх из них не меньше 50.

2. Британские учёные начали выписывать после нуля с запятой в порядке возрастания квадраты всех нечётных чисел: $0,19254981121169\ldots \,.$ Рационально или нет число, которое пишут британские учёные?

3. На окружности расположены $n$ чисел. Разрешается за один шаг изменить на единицу (в одну или в разные стороны) два соседних числа. Найдите все $n\geqslant2$, при которых все числа $1,2,\ldots ,n$ можно сделать равными за конечное число разрешённых действий при любом их расположении на окружности.

4. Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической?

5. В параллелограмме $ABCD$ на диагонали $BD$ выбрана точка $E$ такая, что $|AE|=|BD|.$ Точка $M$ делит отрезок $CE$ пополам.
Докажите, что угол $BMD$ прямой.

6. Пусть $[2nx]=2[nx]$ для любых натуральных $n$. Докажите, что $x$ --- целое число.
Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое, не превосходящее $x$.


Задачи для 2-4 курсов

1. Найдите предел последовательности $x_n=\dfrac{1}{n^2+1}+\dfrac{2}{n^2+2}+\ldots+ \dfrac{2n+1}{n^2+2n+1}.$

2. Определите знак интеграла $\int\limits_0^{\sqrt{\pi}}\cos x^2\,dx.$

3. Многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами удовлетворяет тождеству $p(x+\lambda)+p(x-\lambda)=2p(x)$ при некотором $\lambda\ne0.$ Найдите все такие многочлены.

4. Квадратная матрица $A$ порядка $n$ удовлетворяет равенству $A^2=0$. Докажите, что её ранг не превосходит $\dfrac{n}{2}\,.$

5. Пусть бесконечно дифференцируемая функция $f:\mathbb R\to \mathbb R$ для всех неотрицательных целых $n$ удовлетворяет условиям
(a) $f^{(n)}(0)=0$
(b) $|f^{(n)}(x)|\leqslant n!$ для всех действительных $x$.
Существуют ли такие функции, кроме тождественно равной нулю?


6. Для $a\geqslant0$ рассмотрим параболический сегмент, определённый неравенствами $x^2\leqslant y\leqslant a.$ Впишем в него окружность, касающуюся прямой $y=a$ и параболы
$y=x^2$ так, что её центр лежит на оси ординат. Проведя ещё одну касательную к окружности симметрично касательной $y=a$ относительно центра, получим новый сегмент. В него так же впишем окружность и так далее.
Найдите предел $\lim\limits_{a\to\infty}\dfrac{S(a)}{S_p(a)},$ где $S(a)$ --- сумма ряда, составленного из площадей кругов, а $S_p(a)$ --- площадь сегмента $x^2\leqslant y\leqslant a.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 15:47 


16/03/11
839
No comments

(Оффтоп)

Почему на 1м курсе дают задачи чисто школьные? Никаких матриц, определителей, ангема, пределов. Странные тенденции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5652
Новосибирск
DjD USB в сообщении #1353317 писал(а):
Странные тенденции

Чего же тут странного? Цель их привлечения понятна - прощупать студентов на вырост. На каком материале это можно сделать тоже ясно - на том, который они должны были усвоить ещё до поступления в вуз. О матрицах, определителях, ангеме, пределах они только слышали (и то не все), а толком ещё не знают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 16:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1191
Антарктика
bot в сообщении #1353309 писал(а):
2. Определите знак интеграла $\int\limits_0^{\sqrt{\pi}}\cos x^2\,dx.$

Имеем, $\int\limits_0^{\sqrt{\pi}}\cos x^2 dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos y}{2\sqrt{y}}dy+\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\cos y}{2\sqrt{y}}dy=I_1+I_2$.

Оценим $\left\lvert I_1\right\rvert=I_1\geqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, $\left\lvert I_2\right\rvert=-I_2\leqslant\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. Следовательно, исходный интеграл имеет знак $+$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 16:15 


16/03/11
839
No comments
bot в сообщении #1353320 писал(а):
DjD USB в сообщении #1353317 писал(а):
Странные тенденции

Чего же тут странного? Цель их привлечения понятна - прощупать студентов на вырост. На каком материале это можно сделать тоже ясно - на том, который они должны были усвоить ещё до поступления в вуз. О матрицах, определителях, ангеме, пределах они только слышали (и то не все), а толком ещё не знают.

Судя по задачам задачи для подготовленного олимпиадника школьного, который занимался, ходил на кружки и т.п. Значит 3 сентября он должен был пойти и спросить, а где в это вузе занимаются олимпиадами. Прошло уже 3 месяца, они не просто должны были услышать о матрицах, определителях, пределах, ангеме, а уже готовится хотя бы по самым простым задачам олимпиадным по данным темам ( разложение в ряд тейлора, преобразования определителей, рекуренты).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 16:27 
Аватара пользователя


11/01/13
250
Цитата:
4. Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической?

$f(x)=\sin(x)+\sin(\pi x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1191
Антарктика
bot в сообщении #1353309 писал(а):
1. Найдите предел последовательности $x_n=\dfrac{1}{n^2+1}+\dfrac{2}{n^2+2}+\ldots+ \dfrac{2n+1}{n^2+2n+1}.$

Имеем$$\int\limits_{0}^{2n+1}\frac{x}{n^2+x}dx\leqslant\sum\limits_{k=1}^{2n+1}\frac{k}{n^2+k}\leqslant\int\limits_{1}^{2n+2}\frac{x}{n^2+x}dx$$

Вычисляя интегралы и переходя к пределу, получаем ответ $2$.

UPD. Можно попроще: $\frac{k}{n^2}-\frac{k}{n^2+k}=\frac{k^2}{n^2(n^2+k)}\leqslant\frac{1}{n^4}k^2$. Остаётся использовать формулу суммы квадратов и заметить отсюда, что исходный предел равен пределу суммы $\sum\limits_{k=1}^{2n+1}\frac{k}{n^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 16:56 
Аватара пользователя


11/01/13
250
Цитата:
1. Сумма семи различных натуральных чисел не меньше 100. Докажите, что сумма некоторых трёх из них не меньше 50.

Берём три самых больших числа. Минимальное из них меньше $16$, поэтому сумма оставшихся не больше $50$. Значит сумма трёх самых больших не меньше $50$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 17:51 
Аватара пользователя


07/01/15
999
Якутск
bot в сообщении #1353309 писал(а):
2. Британские учёные начали выписывать после нуля с запятой в порядке возрастания квадраты всех нечётных чисел: $0,19254981121169\ldots \,.$ Рационально или нет число, которое пишут британские учёные?

Нет.
Рассматривая числа $100\ldots01^2$ убеждаемся, что в записи встречаются сколь угодно длинные последовательности нулей. Значит, если число рационально, то оно необходимо имеет нулевой период, что, разумеется, неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение11.11.2018, 18:38 
Аватара пользователя


04/10/15
249
bot в сообщении #1353309 писал(а):
3. Многочлен $p(x)$ с действительными коэффициентами удовлетворяет тождеству $p(x+\lambda)+p(x-\lambda)=2p(x)$ при некотором $\lambda\ne0.$ Найдите все такие многочлены.

Все линейные многочлены. Если есть многочлен $p(x)$ степени $n \ge 2$, то взяв производную $n-2$ раз получим квадратичный многочлен, удовлетворяющий условию, но таких не бывает. Если $p(x)=ax^2 + bx + c,$ то $2p(x) = p(x + \lambda) + p(x - \lambda) = 2p(x) + 2a \lambda^2.$
bot в сообщении #1353309 писал(а):
4. Квадратная матрица $A$ порядка $n$ удовлетворяет равенству $A^2=0$. Докажите, что её ранг не превосходит $\dfrac{n}{2}\,.$

$A(Av) = 0,$ откуда $Av \in \text{Ker} A,$ откуда $\text{Im} A \subset \text{Ker} A,$ тогда
$n = \dim \text{Im} A + \dim \text{Ker} A \le 2\dim \text{Ker} A.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение12.11.2018, 02:20 


21/05/16
2472
Аделаида
bot в сообщении #1353309 писал(а):
4. Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической?

В любом случае, когда отношение периодов иррационально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ по математике 2018
Сообщение12.11.2018, 03:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5652
Новосибирск
thething в сообщении #1353329 писал(а):
Можно попроще

Или ещё проще: для нижней оценки заменить знаменатели на $(n+1)^2$, для верхней - на $n^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group