Капля воды с начальной массой М падает под действием...

[Igrickiy(senior)]

Viatcheslav2 в сообщении #1364876 писал(а):

Лиха беда начало.Если будет время, напишите, как решили бы Вы.

Успехов!
Напишу.

[amon]

Viatcheslav2 в сообщении #1364876 писал(а):

Если будет время, напишите, как решили бы Вы.

\begin{align*} t&=\frac{M}{m}\\ A&=\int F\,ds=\int F(t)\frac{ds}{dt}dt=\int F(t)v(t)dt\Rightarrow\\ A&=\int\limits_{0}^{\frac{M}{m}}g(M-mt)gt\,dt \end{align*}
Это то, что, собственно, и написал pogulyat_vyshel, для простоты поменяв обозначения ;)

[Viatcheslav2]

amon в сообщении #1364887 писал(а):

Viatcheslav2 в сообщении #1364876 писал(а):

Если будет время, напишите, как решили бы Вы.

\begin{align*} t&=\frac{M}{m}\\ A&=\int F\,ds=\int F(t)\frac{ds}{dt}dt=\int F(t)v(t)dt\Rightarrow\\ A&=\int\limits_{0}^{\frac{M}{m}}g(M-mt)gt\,dt \end{align*}
Это то, что, собственно, и написал pogulyat_vyshel, для простоты поменяв обозначения ;)

Думал над этим, но пошел по-пути наименьшего сопротивления.

[EUgeneUS]

amon
Вот хотел обратить внимание ТС, а такой уважаемый участник делает тоже самое

ИМХО, нехорошо обозначать одной и той же буквой разное...
В первой формуле $t$ - полное время испарения\падения капли, а дальше - переменная.

[Viatcheslav2]

EUgeneUS в сообщении #1364891 писал(а):

amon
Вот хотел обратить внимание ТС, а такой уважаемый участник делает тоже самое

ИМХО, нехорошо обозначать одной и той же буквой разное...
В первой формуле $t$ - полное время испарения\падения капли, а дальше - переменная.

Виноват, исправлюсь.

[amon]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1364891 писал(а):

Вот хотел обратить внимание ТС, а такой уважаемый участник делает тоже самое

Это еще ничего, я как-то раз чуть статью не отправил, в которой была решена животрепещущая проблема теоретической физики путем обозначения двух разных переменных одной буквой.

[Igrickiy(senior)]

Viatcheslav2!
Audiatur et altera pars.
Без лишних подробностей.
Линия падения - вертикальная ось oZ, положительное направление - вверх.
$\frac{dM}{dt}=-m$
$M(0)=M_0$
$A=\int\limits_{H}^{z}F(z)\cos(\varphi)dz=-\int\limits_{H}^{z}F(z)dz=-\int\limits_{0}^{T}F(z(t))\frac{dz}{dt}dt=-\int\limits_{0}^{T}F(z(t))v(t)dt=-\int\limits_{0}^{M_0}F(z(M))v(M)\frac{dt}{dM}dM=-\int\limits_{0}^{M_0}Mg\frac{dM}{m}$

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior)
в последней строке ошибок нет? Вроде как $v(M)$ потерялось, и минус перед интегралом уже лишний (пределы же перевернулись).

[Viatcheslav2]

Igrickiy(senior) в сообщении #1364917 писал(а):

Viatcheslav2!
Audiatur et altera pars.
Без лишних подробностей.
Линия падения - вертикальная ось oZ, положительное направление - вверх.
$\frac{dM}{dt}=-m$
$M(0)=M_0$
$A=\int\limits_{H}^{z}F(z)\cos(\varphi)dz=-\int\limits_{H}^{z}F(z)dz=-\int\limits_{0}^{T}F(z(t))\frac{dz}{dt}dt=-\int\limits_{0}^{T}F(z(t))v(t)dt=-\int\limits_{0}^{M_0}F(z(M))v(M)\frac{dt}{dM}dM=-\int\limits_{0}^{M_0}Mg\frac{dM}{m}$

Спасибо.
Вот как раз с этим $-\int\limits_{0}^{T}F(z(t))\frac{dz}{dt}dt$ я начал было сражаться, но проиграл - опыта еще маловато.

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS в сообщении #1364926 писал(а):

Вроде как $v(M)$ потерялось, и минус перед интегралом уже лишний (пределы же перевернулись).

Да, накосячил. Исправлю утром.

[Igrickiy(senior)]

По определению:
$\frac{d\,M}{d\,t}=-m, M(0)=M_0$
$\frac{d\,v_z}{d\,t}=-g, v_z(M_0)=0$
$\frac{d\,v_z}{d\,M}=\frac{d\,v_z}{d\,t}\frac{d\,t}{d\,M}=(-g)\frac{1}{-m}=\frac{g}{m}$
$A=\int\limits_H^z\,F(z)\,\cos(\varphi)\,d\,z=\int\limits_H^z\,(-Mg)(1)d\,z=\int\limits_{M_0}^0\,(-Mg)\frac{d\,z}{d\,t}\frac{d\,t}{d\,M}dM=\int\limits_{M_0}^0\,{-Mg}v_z(M)\frac{1}{-m}d\,M= \int\limits_{M_0}^0\,\frac{g}{m}v_z(M)d\,\frac12(M^2)=\left.\frac{g}{m}v_z(M)\frac12(M^2)\right|_{M_0}^0-\int\limits_{M_0}^0\,g\frac{d\,v_z}{d\,M}\frac12(M^2)d\,M=0-\frac12\frac{g^2}{m^2}\int\limits_{M_0}^0M^2\,d\,M=\left.-\frac12\frac{g^2}{m^2}\frac13\,M^3\right|_{M_0}^0 =\frac16\frac{g^2}{m^2}M_0^3$

[Viatcheslav2]

Красиво... Хоть на стену вешай; никакого Сальвадора Дали не надо. Серьёзно, не
шучу. Даже косинус не забыли. Сохраню и буду на неё ссылаться в последующих упражнениях. Спасибо. С наступившим.

[Igrickiy(senior)]

Viatcheslav2
С наступившим!
Я специально сохранил все естественные знаки всех выражений, при этом правильный знак ответа всегда получится автоматически.