Глупые вопросы по ЛЛ-2

[follow_the_sun]

Итак, начнем. Я не совсем понимаю переход от второй строчки к четвертой. Из-за того, что ротор и дивергенция скорости равны нулю (стр. 5)?

[Munin]

Можно и так сказать, хотя тут сказано "при $\mathbf{v}=\mathrm{const}$", что означает, что любые производные $\mathbf{v}$ равны нулю.

-- 30.12.2018 16:15:03 --

Может быть не очень понятно, что такое "ротор и дивергенция скорости", если скорость вообще не является векторным полем в трёхмерном пространстве. Можно смотреть на это так: поля являются функциями точки $\mathbf{r}$ (координат точки $(x,y,z)$), а скорость - не имеет зависимости от этих координат, и поэтому по отношению к ним может рассматриваться как константная функция.

[Alex-Yu]

Написано, конечно, очень и очень мутно. ${\bf r}$ --это вовсе не пространственная переменная, от которой зависит поле. Это координаты ЧАСТИЦЫ. Так что

$$ \frac{\partial L}{{\partial \bf r}} = \nabla L $$

это какой-то горячечный бред. $L$ не есть поле!!! На самом деле надо исходить из определения частной производной (и сразу не будет вопросов про ${\bf v}$ --- частная производная берется только по координатам, скорость считается константой, просто по определению ЧАСТНОЙ производной). Далее пишем бесконечно малое приращение $L$ при условии, что меняются ТОЛЬКО координаты точки, но не скорости.

Как бы то ни было, ответ правильный.

[Munin]

В общем, выкладки ЛЛ надо повторять самостоятельно :-)

[follow_the_sun]

Alex-Yu
Кстати, $\dfrac{\partial L}{\partial \vec{v}}$ авторы получают именно как частную производную
Munin
Спасибо, разобрался)

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1364793 писал(а):

Так что

$$ \frac{\partial L}{{\partial \bf r}} = \nabla L $$

это какой-то горячечный бред. $L$ не есть поле!!!

В принципе, можно пользоваться обозначением $\nabla$ просто как синонимом $\partial/\partial\mathbf{r},$ но когда функция зависит от нескольких векторных аргументов, желательно обозначать, по которому из них берутся частные производные, например, так:

$$\dfrac{\partial L}{\partial\mathbf{r}}=\nabla_\mathbf{r} L.$$

Особенно полезно это будет при выписывании функций Грина уравнений матфизики, где постоянно встречаются пары аргументов $(\mathbf{r},\mathbf{r}').$

[follow_the_sun]

Вот новая порция:
1. Почему здесь минус? Для удобства? И в чем оно заключается? (кстати в действии для свободной частицы стр.41 тоже минус перед интегралом действия и я тоже непонимаю, откуда он берется)

2. Я не совсем понял, как ЛЛ пришли к инвариантности интервала.Почему если интервал равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и в другой? И как это так ловко можно перейти от равенства нулю дифференциалов к конечным приращениям? Может есть учебники, где об этом лучше написано?

[warlock66613]

follow_the_sun в сообщении #1365372 писал(а):

Почему здесь минус?

Ну вы же видите там после минуса идёт электрический заряд $e$? Учитывая этот факт, что, как вы думаете, изменится, если поменять минус на плюс?

[Alex-Yu]

follow_the_sun в сообщении #1365372 писал(а):

Почему если интервал равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и в другой?

Потому что нулевой интервал соответствует распространению света. Математика-математикой, но физические соображения опускать не надо. Это чисто физическое утверждение, следующее из инвариантности скорости распространения света.

-- Ср янв 02, 2019 15:43:00 --

follow_the_sun в сообщении #1365372 писал(а):

И как это так ловко можно перейти от равенства нулю дифференциалов к конечным приращениям?

А что, интеграл от тождественного нуля может быть не нулем???

[Munin]

follow_the_sun в сообщении #1365372 писал(а):

Вот новая порция:
1. Почему здесь минус? Для удобства? И в чем оно заключается? (кстати в действии для свободной частицы стр.41 тоже минус перед интегралом действия и я тоже не понимаю, откуда он берется)

Тут надо привыкать вообще к формализму действия.

Сначала, откуда минус перед действием свободной частицы. Мы хотим, чтобы действие имело минимум на истинной траектории - на прямой в пространстве-времени. А интеграл выражает длину траектории, и по метрике Минковского с сигнатурой $({+},{-},{-},{-})$ - на прямой линии имеет максимум. (Если взять другую сигнатуру, то он вообще будет мнимым.) Значит, надо поменять знак.

Откуда минус перед членом взаимодействия? По сути, он означает некий наш произвол в выборе знака заряда и знака поля. Мы могли бы поставить плюс. Но по привычке нам хочется, чтобы в некоторых местах в уравнениях поля стоял плюс (например, в уравнении $\operatorname{div}\mathbf{E}=\pm_{?}4\pi\rho$), и для этого в действии должен стоять минус. Почему? Потому что этот член аналогичен механическому слагаемому в потенциальной энергии, а именно потенциалу взаимодействия двух подсистем, который потом превращается в обобщённую силу, с которой одна подсистема действует на другую. А в лагранжиан потенциальная энергия входит со знаком минус.

follow_the_sun в сообщении #1365372 писал(а):

2. Я не совсем понял, как ЛЛ пришли к инвариантности интервала.Почему если интервал равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и в другой? И как это так ловко можно перейти от равенства нулю дифференциалов к конечным приращениям? Может есть учебники, где об этом лучше написано?

Это известное своей "мутностью" место в ЛЛ-2. Почитайте в другом учебнике, если можете. Учебников по СТО - пруд пруди.

[follow_the_sun]

Munin

Munin в сообщении #1365393 писал(а):

Учебников по СТО - пруд пруди.

Какие можете посоветовать?

[amon]

follow_the_sun в сообщении #1365435 писал(а):

Какие можете посоветовать?

Что бы сильно в сторону от ЛЛ-2 не отвлекаться, мой совет - А.Н. Васильев. "Классическая электродинамика".

[Munin]

Если честно, я считаю ЛЛ-2 the best. Там только индексы несовременные: сейчас принято наоборот, греческие 4-мерные, латинские 3-мерные. Ну и можно было бы переписать в $c=1$ и с использованием буквы $\gamma,$ но это уже косметика.

Во многих других учебниках проскакивает ерунда про "релятивистскую массу". Надо понимать, что там, где СТО реально используется, про эту "как бы массу" давно и прочно забыли. Надо суметь сделать соответствующую скидку тексту учебника. Для справок, почему это так, см. Окунь, УФН 158 (3) 511–530 (1989) - http://ufn.ru/ru/articles/1989/7/f/

Самая простая книга (думаю, посильная школьникам):

Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени.

Книги уровня попроще ЛЛ-2

Фейнмановские лекции по физике, вып. 2 (Пространство, время, движение), 3 (Излучение, волны, кванты), 6 (Электродинамика)
Берклеевский курс физики, 1 (Киттель, Найт, Рудерман. Механика), 2 (Парселл. Электричество и магнетизм).

- это части курсов "общей физики", так что СТО несколько разбросана и перемешана с остальной физикой
Бёрке. Пространство-время, геометрия, космология. - нестандартное образно-геометрическое изложение (с 1-формами), советую как минимум сунуть нос в неё
Б. Грин. Ткань космоса. - популярная

Книги уровня ЛЛ-2 или сложнее

Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски. Сборник задач по теории относительности и гравитации. - СТО посвящены первые 3-5 глав, уровень соответствует уверенному знанию ЛЛ-2
Медведев. Начала теоретической физики. Часть 2.
во многих книгах по ОТО есть "напоминательный" раздел по СТО
Вайнберг. Гравитация и космология. Глава 2.
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. Том 1, часть 2 (главы 2-5). - геометрические образы ($p$-формы) вместе с уравнениями
Пенроуз. Путь к реальности. Главы 17, 18, 19. - геометрические пояснения
Фейнман. Квантовая электродинамика. Лекции 7, 8. - стоит познакомиться, как СТО выглядит в сигнатуре $({+},{+},{+},i^2)$ с мнимым временем, распространённой в квантовой физике

Это мой личный favorite list, у кого-то могут быть другие предпочтения, советы, добавления, исправления, бывают даже резко негативные отзывы на некоторые книги.

[AnatolyBa]

Мне нравится Джексон. Классическая электродинамика.
Пока что, на заданные вопросы у Джексона есть хорошие ответы

[follow_the_sun]

Спасибо всем посоветовавшим книги. Случайно наткнулся на этот курс http://lectoriy.mipt.ru/course/Theoreti ... L/lectures. Думаю он мне больше всего подходит пока в дополнение к ЛЛ-2.
Alex-Yu

Alex-Yu в сообщении #1364793 писал(а):

На самом деле надо исходить из определения частной производной (и сразу не будет вопросов про ${\bf v}$ --- частная производная берется только по координатам, скорость считается константой, просто по определению ЧАСТНОЙ производной)

Знаете,я сейчас попробовал проделать выкладки. У меня не получается векторное пр-е ротора и А:
$\partial L=(\dfrac{e}{c}A(\mathbf{r}+d\mathbf{r})\mathbf{v}-e\varphi(x+dx,y+dy,z+dz))-(\dfrac{e}{c}A(\mathbf{r})\mathbf{v}-e\varphi(x,y,z))$
$\dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{r}}=\dfrac{e}{c}\cdot\dfrac{\partial A}{\partial \mathbf{r}}\mathbf{v}-e\operatorname{grad}(\varphi)$
Возможно я неправильно делаю вывод, что
$\operatorname{grad}(\varphi)=\dfrac{\varphi(x+dx,y+dy,z+dz)-\varphi(x,y,z)}{d\mathbf{r}}$
Еще непонятен такой момент. http://lectoriy.mipt.ru/lecture/TherPhy ... -130417.01 .22 минута. Что значит "функция падала"? Убывала как $\dfrac{1}{r}$? Почему мы от нее такое требуем, ведь $f$ же произвольная?