Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.

[Eug_Crow]

Задали задачу с условием:
Сравнивая краевое условие для LS-режима

$$T(0,t) \leqslant A_0(-t_0)^n \qquad -\frac{1}{\sigma}< n<0 \qquad t_0\leqslant t \leqslant 0 $$

с решением $T_S(x,t)$ S-режима

$$T_S(x,t)=\begin{cases} A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}}(1-\frac{x}{x_\Phi}), & x\leqslant x_\Phi \\ 0, & x>x_\Phi \\ \end{cases}$$

$$x_\Phi =x_S=(2k_0 A_0^{\sigma}\frac{\sigma+2}{\sigma})^{\frac{1}{2}}$$

В т. $x=0$ доказать справедливость оценки

$$l^* \leqslant (2k_0 A_0 (-t_0)^{\frac{1}{\sigma}+n} \frac{\sigma + 2}{\sigma})^{\frac{1}{2}}$$

При начальных данных для обоих режимов

$$T(x,t_0)=T_0(x)=0 \qquad x\geqslant 0$$

Мы использовали теорему сравнения, взяли два решения
$T^{(1)}(x,t)$ - решения для ls-режима
$T^{(2)}(x,t)$ - решения для s-режима
У них одинаковые начальные условия, разные гранничные, значит теорему стравнения используем для граничных

$$T^{(2)}(x,t) = A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}}=A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}}(-t)^{-n}(-t)^{n}=A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}-n}(-t)^{n}$$

Чтобы оценить дальше нужно оценить последний множитель
$-\frac{1}{\sigma}-n<0 \qquad(-t)^{-\frac{1}{\sigma}-n} \qquad ? \qquad 1$
для $t\leqslant -1 \qquad (-t)^{-\frac{1}{\sigma}-n} \geqslant 1$ следовательно $T^{(2)}(x,t) \geqslant A_0(-t)^n$ дальше оценка $l^*$ находится, но она должна быть такая не только для этого промежутка

Искали в учебниках по этой теме, возможно нашли опечатку в условиях, скорее всего одна формула должна быть такая:

$$l^* \leqslant (2k_0 (A_0 (-t_0)^{\frac{1}{\sigma}+n})^\sigma \frac{\sigma + 2}{\sigma})^{\frac{1}{2}}$$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствует внятная формулировка вопроса.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[worm2]

Извините, но для меня, как математика по образованию, задача выглядит как абракадабра.
В "обычной" математике (дисциплина "Уравнения в частных производных", известная также как "Уравнения математической физики") задача теплопроводности начинается с дифференциального уравнения (теплопроводности) в частных производных, справедливого в какой-то скольки-то мерной области, с заданными начальными и граничными условиями (заданными в виде равенства, а не неравенства). Я этого не вижу. Ну хорошо, видно, что температура обозначается буквой $T$, а размерность области можно определить из вида решения $T(x, t)$: это единица ($t$ — это время, $x$ — пространственная переменная, так ведь?). Всё. Дальше я ничего не понял. LS-режим, S-режим — мне это всё незнакомо. $A_0$, $\sigma$, $n$, $x_\Phi$, $l^*$ — что это? Да и с $t_0$ непонятно. Почему $t$ отрицательное?
Видимо, имеется в виду не "чисто математическая" задача, а из какой-то специальной теории (я там не знаю, теплофизика? теплотехника? тепломеханика?), где все эти обозначения стандартны.

Возможно, тут есть специалисты по этой теории, которые с ходу всё разъяснят (тогда я зря набирал это сообщение). Но на случай, если таких специалистов вдруг тут не найдётся, возможно, "чистые" математики что-нибудь смогут подсказать (их тут точно гораздо больше). Но для этого нужно, как минимум, рассказать им, как точно называется предмет, и что за учебник, по которому вы учитесь.

[Eug_Crow]

Это Математическое моделирование Самарского А.А.
http://www.immsp.kiev.ua/postgraduate/Biblioteka_trudy/MatemModelirovSamarskij2001.pdf
Гл.5, пар.2, упр. 3
Эти режимы это частные случаи уравнения диффузии или теплопроводности, когда тепло не выходит за пределы определенной области
$x_S$ и $l^*$ это как раз глубина проникновения, дальше которой тепло не распространяется
$t$ стало отрицательным, потому что исключали безразмерные параметры

[worm2]

Перевожу на человеческий язык то, в чём пока смог продвинуться. Рассматривается уравнение

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\varkappa(T)\frac{\partial T}{\partial x}\right),$$

где все величины уже обезразмерены, $0<x<x_S=x_\Phi$, а зависимость коэфф. теплопроводности $\varkappa$ от температуры $T$ имеет вид $\varkappa(T)=k_0T^\sigma$. Продолжаю исследования.

[worm2]

Нет, немного не так.
$x$ у нас неотрицательное. Т.е. полубесконечный стержень.
$t$ у нас меняется от некоторого отрицательного $t_0$ до нуля. Время возрастает: уже хорошо!
Начальные данные нулевые: $T(x, t_0) = 0$. Граничные данные — функция $T(0, t)$, ограниченная сверху величиной $A_0(-t)^n$, где $n$ — (целое???) отрицательное число, удовлетворяющее неравенству $-1/\sigma<n$. Видимо, $n$ — целое, чтобы нам было удобнее решать? И, видимо, можно сначала считать, что граничные данные равны своему ограничению: $T(0, t)=A_0(-t)^n$, чтобы потом, применив принцип максимума, показать, что оценка верна и для меньших $T(0, t)$.

-- Вс дек 16, 2018 15:25:25 --

Оказывается (именно это и нужно доказать в задаче), при такой постановке (благодаря зависимости теплопроводности от температуры $\varkappa(T)=k_0T^\sigma$) температура не меняется мгновенно во всей области (как мы привыкли по линейным задачам с постоянным коэффициентом $\varkappa$), а остаётся ненулевой (при $t<0$) лишь в ограниченной области $x<l^*$ (эффект локализации тепла). Это $l^*$ также нужно найти (точнее, его оценку сверху).
Также я нашёл, что такое S-, LS- и HS-режимы нагрева. Все эти режимы задаются зависимостью $T_0=A_0(-t)^n$ и различаются только показателем $n$. Если $n=-1/\sigma$, то режим называется S-режимом (видимо, тут моё предположение о том, что $n$ целое, несостоятельно, $n$ — это вещественное отрицательное число), если $n$ меньше — HS-режим (High Speed — высокая скорость роста температуры), если $n$ больше — LS-режим (Low Speed). Эффект локализации тепла, оказывается, имеет место только в S- и LS-режимах.

[Eug_Crow]

В 1 параграфе этой же главы сказано, что $n $это скорость роста граничной температуры, а $\sigma$ - нелинейность среды
Еще в примерах параметр $\sigma$ берут равным 2, т.е. $n$ не обязательно целое
http://samarskii.ru/articles/1977/1977_004ocr.pdf вот в этой книжке нашли дополнительную информацию

[worm2]

Я думаю, всё, что нужно для решения задачи — это
1) Показать (убедиться), что решение для S-режима (при граничном условии $T(0, t)=A_0(-t)^{-1/\sigma}$) совпадает с решением $T_S$ из стартового поста, где $x_\Phi=x_S=l^*$ (до сих пор не понимаю, зачем для одной и той же величины три обозначения, ну да ладно), убедиться, что это $l^*$ задаётся 3-м уравненем стартового поста. Продифференцировать и показать.
2) Аккуратными рассуждениями на основе принципа максимума показать справедливость оценки.

[Eug_Crow]

А мы поняли так, что решение для S-режима это и есть $T_S$ из стартового поста, но его нужно сравнить с решением LS-режима, а его мы не знаем, знаем только его граничные и начальные условия
$l^*$ для разных режимов, насколько мы поняли, отличается, для s режима оно равно $x_\Phi$

[worm2]

Я могу высказать предположение, что для граничного условия LS-режима $T(0, t)=A_0(-t)^n$ (где $-1/\sigma<n<0$) решение будет задаваться формулой

$$T_{LS}(x, t)=\begin{cases} A_0(-t)^n(1-\frac{x}{x_n}), & x\leqslant x_n \\ 0, & x>x_n \\ \end{cases},$$

где $x_n$ — константа, которую можно найти, честно найдя обе части нашего уравнения теплопроводности (и приравняв их друг к другу). Возможно, это моё предположение неверно, и то, что я выписал, не является решением (ни при каком значении константы $x_n$). Я его не проверял, но если бы мне пришлось решать эту задачу, я бы его проверил (это намёк). Если оно верно, то мы находим из него константу $x_n$ (которая должна совпасть с $l^*$), и львиная часть задачи решена.
Дальше остаётся второй пункт с аккуратным применением принципа максимума в случае, когда $T(0, t)\leqslant A_0(-t)^n$ (и по-прежнему $-1/\sigma<n<0$)

[worm2]

(Я бы тут поспорил с Самарским, хотя кто я такой?)

Он пишет про "парадоксальные режимы", когда тепло не распространяется дальше определённой точки. С математической точки зрения вопросов нет, но вот с физической...
Во-первых, и обычное линейное уравнение с постоянным коэффициентом теплопроводности, с физической точки зрения, даёт конечную скорость распространения тепла, ибо множитель $e^{-C|r|^2/t}$ в фундаментальном решении при фиксированном $t$ является, с любой практически нужной точностью, финитной функцией.
Во-вторых, совершенно очевидно, что конечная скорость распространения тепла обусловлена не нелинейностью коэффициента теплопроводности $k_0T^\sigma$, а тем, что он падает до нуля (при нулевой температуре или при какой-нибудь другой — не столь важно). Вот интересно, что сказали бы на это физики, мне кажется, они бы тут знатно поглумились. Там же скачок производной получается в решении, и тепло не идёт дальше точки излома только потому, что в этой точке строго нулевая теплопроводность (идеальная теплоизоляция).

[Pphantom]

(Оффтоп)

worm2 в сообщении #1361851 писал(а):

Вот интересно, что сказали бы на это физики, мне кажется, они бы тут знатно поглумились.

Ежели угодно, то физики (в моем лице) уже поглумились, отправив тему в этот раздел. Я начал с попыток понять физический смысл задачи и в конечном счете решил, что, наверное, пусть лучше в ней математики что-нибудь усмотрят. Степенные коэффициенты переноса - штука достаточно распространенная, и решения в виде теплового фронта - тоже, но все последующее выглядит как ловля блох в задаче с весьма искусственной постановкой.