2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение15.12.2018, 14:15 


13/12/18
5
Задали задачу с условием:
Сравнивая краевое условие для LS-режима
$$T(0,t) \leqslant A_0(-t_0)^n  \qquad -\frac{1}{\sigma}< n<0 \qquad t_0\leqslant t \leqslant 0 $$
с решением $T_S(x,t)$ S-режима
$$T_S(x,t)=\begin{cases}
A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}}(1-\frac{x}{x_\Phi}), & x\leqslant x_\Phi  \\
0, & x>x_\Phi \\
\end{cases}$$
$$x_\Phi =x_S=(2k_0 A_0^{\sigma}\frac{\sigma+2}{\sigma})^{\frac{1}{2}}$$
В т. $x=0$ доказать справедливость оценки
$$l^* \leqslant (2k_0 A_0 (-t_0)^{\frac{1}{\sigma}+n} \frac{\sigma + 2}{\sigma})^{\frac{1}{2}}$$
При начальных данных для обоих режимов
$$T(x,t_0)=T_0(x)=0 \qquad x\geqslant 0$$

Мы использовали теорему сравнения, взяли два решения
$T^{(1)}(x,t)$ - решения для ls-режима
$T^{(2)}(x,t)$ - решения для s-режима
У них одинаковые начальные условия, разные гранничные, значит теорему стравнения используем для граничных
$$T^{(2)}(x,t) = A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}}=A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}}(-t)^{-n}(-t)^{n}=A_0(-t)^{-\frac{1}{\sigma}-n}(-t)^{n}$$
Чтобы оценить дальше нужно оценить последний множитель
$-\frac{1}{\sigma}-n<0 \qquad(-t)^{-\frac{1}{\sigma}-n} \qquad ? \qquad 1$
для $t\leqslant -1 \qquad (-t)^{-\frac{1}{\sigma}-n} \geqslant 1$ следовательно $T^{(2)}(x,t) \geqslant A_0(-t)^n$ дальше оценка $l^*$ находится, но она должна быть такая не только для этого промежутка

Искали в учебниках по этой теме, возможно нашли опечатку в условиях, скорее всего одна формула должна быть такая:
$$l^* \leqslant (2k_0 (A_0 (-t_0)^{\frac{1}{\sigma}+n})^\sigma \frac{\sigma + 2}{\sigma})^{\frac{1}{2}}$$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.12.2018, 16:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствует внятная формулировка вопроса.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.12.2018, 18:27 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение15.12.2018, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Извините, но для меня, как математика по образованию, задача выглядит как абракадабра.
В "обычной" математике (дисциплина "Уравнения в частных производных", известная также как "Уравнения математической физики") задача теплопроводности начинается с дифференциального уравнения (теплопроводности) в частных производных, справедливого в какой-то скольки-то мерной области, с заданными начальными и граничными условиями (заданными в виде равенства, а не неравенства). Я этого не вижу. Ну хорошо, видно, что температура обозначается буквой $T$, а размерность области можно определить из вида решения $T(x, t)$: это единица ($t$ — это время, $x$ — пространственная переменная, так ведь?). Всё. Дальше я ничего не понял. LS-режим, S-режим — мне это всё незнакомо. $A_0$, $\sigma$, $n$, $x_\Phi$, $l^*$ — что это? Да и с $t_0$ непонятно. Почему $t$ отрицательное?
Видимо, имеется в виду не "чисто математическая" задача, а из какой-то специальной теории (я там не знаю, теплофизика? теплотехника? тепломеханика?), где все эти обозначения стандартны.

Возможно, тут есть специалисты по этой теории, которые с ходу всё разъяснят (тогда я зря набирал это сообщение). Но на случай, если таких специалистов вдруг тут не найдётся, возможно, "чистые" математики что-нибудь смогут подсказать (их тут точно гораздо больше). Но для этого нужно, как минимум, рассказать им, как точно называется предмет, и что за учебник, по которому вы учитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение15.12.2018, 23:43 


13/12/18
5
Это Математическое моделирование Самарского А.А.
http://www.immsp.kiev.ua/postgraduate/Biblioteka_trudy/MatemModelirovSamarskij2001.pdf
Гл.5, пар.2, упр. 3
Эти режимы это частные случаи уравнения диффузии или теплопроводности, когда тепло не выходит за пределы определенной области
$x_S$ и $l^*$ это как раз глубина проникновения, дальше которой тепло не распространяется
$t$ стало отрицательным, потому что исключали безразмерные параметры

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение16.12.2018, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Перевожу на человеческий язык то, в чём пока смог продвинуться. Рассматривается уравнение
$$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\varkappa(T)\frac{\partial T}{\partial x}\right),$$ где все величины уже обезразмерены, $0<x<x_S=x_\Phi$, а зависимость коэфф. теплопроводности $\varkappa$ от температуры $T$ имеет вид $\varkappa(T)=k_0T^\sigma$. Продолжаю исследования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение16.12.2018, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Нет, немного не так.
$x$ у нас неотрицательное. Т.е. полубесконечный стержень.
$t$ у нас меняется от некоторого отрицательного $t_0$ до нуля. Время возрастает: уже хорошо!
Начальные данные нулевые: $T(x, t_0) = 0$. Граничные данные — функция $T(0, t)$, ограниченная сверху величиной $A_0(-t)^n$, где $n$ — (целое???) отрицательное число, удовлетворяющее неравенству $-1/\sigma<n$. Видимо, $n$ — целое, чтобы нам было удобнее решать? И, видимо, можно сначала считать, что граничные данные равны своему ограничению: $T(0, t)=A_0(-t)^n$, чтобы потом, применив принцип максимума, показать, что оценка верна и для меньших $T(0, t)$.

-- Вс дек 16, 2018 15:25:25 --

Оказывается (именно это и нужно доказать в задаче), при такой постановке (благодаря зависимости теплопроводности от температуры $\varkappa(T)=k_0T^\sigma$) температура не меняется мгновенно во всей области (как мы привыкли по линейным задачам с постоянным коэффициентом $\varkappa$), а остаётся ненулевой (при $t<0$) лишь в ограниченной области $x<l^*$ (эффект локализации тепла). Это $l^*$ также нужно найти (точнее, его оценку сверху).
Также я нашёл, что такое S-, LS- и HS-режимы нагрева. Все эти режимы задаются зависимостью $T_0=A_0(-t)^n$ и различаются только показателем $n$. Если $n=-1/\sigma$, то режим называется S-режимом (видимо, тут моё предположение о том, что $n$ целое, несостоятельно, $n$ — это вещественное отрицательное число), если $n$ меньше — HS-режим (High Speed — высокая скорость роста температуры), если $n$ больше — LS-режим (Low Speed). Эффект локализации тепла, оказывается, имеет место только в S- и LS-режимах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение16.12.2018, 13:33 


13/12/18
5
В 1 параграфе этой же главы сказано, что $n $это скорость роста граничной температуры, а $\sigma$ - нелинейность среды
Еще в примерах параметр $\sigma$ берут равным 2, т.е. $n$ не обязательно целое
http://samarskii.ru/articles/1977/1977_004ocr.pdf вот в этой книжке нашли дополнительную информацию

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение16.12.2018, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Я думаю, всё, что нужно для решения задачи — это
1) Показать (убедиться), что решение для S-режима (при граничном условии $T(0, t)=A_0(-t)^{-1/\sigma}$) совпадает с решением $T_S$ из стартового поста, где $x_\Phi=x_S=l^*$ (до сих пор не понимаю, зачем для одной и той же величины три обозначения, ну да ладно), убедиться, что это $l^*$ задаётся 3-м уравненем стартового поста. Продифференцировать и показать.
2) Аккуратными рассуждениями на основе принципа максимума показать справедливость оценки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение16.12.2018, 14:56 


13/12/18
5
А мы поняли так, что решение для S-режима это и есть $T_S$ из стартового поста, но его нужно сравнить с решением LS-режима, а его мы не знаем, знаем только его граничные и начальные условия
$l^*$ для разных режимов, насколько мы поняли, отличается, для s режима оно равно $x_\Phi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение16.12.2018, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Я могу высказать предположение, что для граничного условия LS-режима $T(0, t)=A_0(-t)^n$ (где $-1/\sigma<n<0$) решение будет задаваться формулой
$$T_{LS}(x, t)=\begin{cases}
A_0(-t)^n(1-\frac{x}{x_n}), & x\leqslant x_n  \\
0, & x>x_n \\
\end{cases},$$ где $x_n$ — константа, которую можно найти, честно найдя обе части нашего уравнения теплопроводности (и приравняв их друг к другу). Возможно, это моё предположение неверно, и то, что я выписал, не является решением (ни при каком значении константы $x_n$). Я его не проверял, но если бы мне пришлось решать эту задачу, я бы его проверил (это намёк). Если оно верно, то мы находим из него константу $x_n$ (которая должна совпасть с $l^*$), и львиная часть задачи решена.
Дальше остаётся второй пункт с аккуратным применением принципа максимума в случае, когда $T(0, t)\leqslant A_0(-t)^n$ (и по-прежнему $-1/\sigma<n<0$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение17.12.2018, 09:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа

(Я бы тут поспорил с Самарским, хотя кто я такой?)

Он пишет про "парадоксальные режимы", когда тепло не распространяется дальше определённой точки. С математической точки зрения вопросов нет, но вот с физической...
Во-первых, и обычное линейное уравнение с постоянным коэффициентом теплопроводности, с физической точки зрения, даёт конечную скорость распространения тепла, ибо множитель $e^{-C|r|^2/t}$ в фундаментальном решении при фиксированном $t$ является, с любой практически нужной точностью, финитной функцией.
Во-вторых, совершенно очевидно, что конечная скорость распространения тепла обусловлена не нелинейностью коэффициента теплопроводности $k_0T^\sigma$, а тем, что он падает до нуля (при нулевой температуре или при какой-нибудь другой — не столь важно). Вот интересно, что сказали бы на это физики, мне кажется, они бы тут знатно поглумились. Там же скачок производной получается в решении, и тепло не идёт дальше точки излома только потому, что в этой точке строго нулевая теплопроводность (идеальная теплоизоляция).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача теплопроводности. Оценить глубину проникновения.
Сообщение17.12.2018, 13:05 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(Оффтоп)

worm2 в сообщении #1361851 писал(а):
Вот интересно, что сказали бы на это физики, мне кажется, они бы тут знатно поглумились.
Ежели угодно, то физики (в моем лице) уже поглумились, отправив тему в этот раздел. Я начал с попыток понять физический смысл задачи и в конечном счете решил, что, наверное, пусть лучше в ней математики что-нибудь усмотрят. Степенные коэффициенты переноса - штука достаточно распространенная, и решения в виде теплового фронта - тоже, но все последующее выглядит как ловля блох в задаче с весьма искусственной постановкой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group