Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[Someone]

vicvolf в сообщении #1359582 писал(а):

Пусть случайные величины последовательности

То, что Вы написали, является бессмысленным бредом. Ваша $P(X)$ не $\sigma$-аддитивна и определена не на всей $\sigma$-алгебре, поэтому вероятностью не является. И то, и другое демонстрируют указанные выше примеры. Поэтому нет вероятностного пространства и, следовательно, нет никаких "случайных величин", и весь ваш текст не имеет никакого смысла.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1359114 писал(а):

приведу пример. Считаем, что натуральный ряд $\mathbb N$ начинается с $1$. Положим $X_k=\{(2k-1)\cdot 2^{m-1}:m\in\mathbb N\}$ для всех $k\in\mathbb N$. Легко видеть, что множества $X_k$, $k\in\mathbb N$, попарно дизъюнктны, $P(X_k)=0$, и что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb N}X_k=\mathbb N$.

Я уже ранее приводил два примера невыполнения свойства сигма-аддитивности для данной вероятностной меры:

vicvolf в сообщении #1355215 писал(а):

Например, если в качестве $X$ взять элементарные события $A_i$ из $Q=\{1,2,...\}$, то $\sum_{i=1}^{\infty} {P(A_i)}=0$, а вероятность объединения этих событий равна $1$. Аналогичное будет, если в качестве $A_i$ взять непересекающиеся конечные подмножества натурального ряда, покрывающие весь ряд.

Цитата:

Ещё одна проблема с "мерой" $P(X)$ состоит в том, что она определена не для всех подмножеств натурального ряда. В качестве примера такого множества можно взять $X=\{k:\exists m\in\mathbb N(2^{2(m-1)}\leqslant k<2^{2m-1})\}$.
Если vicvolf считает, что это множество "не принадлежит $\sigma$-алгебре", пусть точно определит свою $\sigma$-алгебру.

Согласен с Вами нужна новая сигма-алгебра событий, которая не включает указанные в примерах подмножества в качестве событий, но обладает всеми свойствами сигма-алгебры.

Someone в сообщении #1359627 писал(а):

vicvolf в сообщении #1359582 писал(а):

Пусть случайные величины последовательности

То, что Вы написали, является бессмысленным бредом.

Я бы так не писал, хотя бы из соображений тактичности! В данном случае говориться, что случайная величина, принадлежащая определенной последовательности, обладает некоторым свойством. Не очень понятно, почему Вас раздражает принятый в теории вероятности термин "последовательность случайных величин".

[g______d]

vicvolf в сообщении #1360072 писал(а):

Я уже ранее приводил два примера невыполнения свойства сигма-аддитивности для данной вероятностной меры:

Вероятностная мера по определению обладает свойством сигма-аддитивности, поэтому ваша фраза бессмысленна.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1360072 писал(а):

В данном случае говориться, что случайная величина, принадлежащая определенной последовательности, обладает некоторым свойством. Не очень понятно, почему Вас раздражает принятый в теории вероятности термин "последовательность случайных величин".

(Выделение в цитате моё.) Я не вижу здесь вероятностного пространства, поэтому никакой теории вероятностей и никаких случайных величин здесь тоже нет. Вам об этом твердят уже бог знает сколько времени, но Вы с упорством, достойным лучшего применения, продолжаете нести чушь.

vicvolf в сообщении #1360072 писал(а):

Я уже ранее приводил два примера невыполнения свойства сигма-аддитивности для данной вероятностной меры

Вероятностная мера по определению $\sigma$-аддитивна и определена на всех элементах $\sigma$-алгебры. Поскольку ваша асимптотическая плотность не $\sigma$-аддитивна и определена не на всех элементах $\sigma$-алгебры, то она не является вероятностной мерой.

vicvolf в сообщении #1360072 писал(а):

Согласен с Вами нужна новая сигма-алгебра событий, которая не включает указанные в примерах подмножества в качестве событий, но обладает всеми свойствами сигма-алгебры.

Вот с этого и начните: постройте $\sigma$-алгебру, содержащую все элементарные исходы и не содержащую неугодных Вам множеств. Когда построите, тогда и приходите.

-- Вс дек 09, 2018 21:35:35 --

vicvolf в сообщении #1360072 писал(а):

Я уже ранее приводил два примера невыполнения свойства сигма-аддитивности для данной вероятностной меры

Ага. А я привёл пример, когда все множества бесконечные. Вы же выражали уверенность, что для бесконечных подмножеств $\sigma$-аддитивность выполняется:

vicvolf в сообщении #1355215 писал(а):

Проблема в конечности, покрывающих подмножеств. Если покрывать ряд бесконечными подмножествами натуральных чисел, то формула работает.

Впрочем, я тогда сразу сказал, что это неверно, но Вы, как обычно, проигнорировали.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1360074 писал(а):

Вероятностная мера по определению обладает свойством сигма-аддитивности, поэтому ваша фраза бессмысленна.

Да, неточно выразился. Но Вы, налетели оба, как коршуны!

Someone в сообщении #1360080 писал(а):

Вероятностная мера по определению $\sigma$-аддитивна и определена на всех элементах $\sigma$-алгебры. Поскольку ваша асимптотическая плотность не $\sigma$-аддитивна и определена не на всех элементах $\sigma$-алгебры, то она не является вероятностной мерой.

Один, чтобы уточнить, за что я ему очень благодарен! А другой, чтобы заклевать!

Someone в сообщении #1359627 писал(а):

Поэтому нет вероятностного пространства и, следовательно, нет никаких "случайных величин", и весь ваш текст не имеет никакого смысла.

Someone в сообщении #1360080 писал(а):

Я не вижу здесь вероятностного пространства, поэтому никакой теории вероятностей и никаких случайных величин здесь тоже нет.

А вот здесь Вы не правы и вот в чем.

Известно, что любую арифметическую функцию, в том числе и сумматорную, можно представить, как последовательность случайных величин, определенных в разных вероятностных пространствах, построенных на начальных отрезках натурального ряда. Я указал эти вероятностные пространства.

Указанная последовательность случайных величин, при выполнении определенных условий, сходится по распределению к случайной величине, имеющей нормальное распределение.

Целью этой работы является нахождение этих условий. Для этого используется метод характеристических функций, основанный на теореме Леви о непрерывном соответствии между функциями распределений и характеристическими функциями случайных величин.

Поэтому, для нахождения этих условий, указание вероятностного пространства, на котором определена данная случайная величина, не требуется (смотрите теорему Эрдеша-Каца о нормальном распределении арифметической функции количества простых делителей натурального числа).

С другой стороны, при выполнении этих условий, вероятностное пространство, на котором определена указанная случайная величина, существует. Я указал эти условия и привел несколько примеров, для которых они выполняются.

Это сообщение разблокировано для редактирования. Рекомендуется здесь и ввести вероятностное пространство для предельной случайной величины. Через несколько дней тема будет закрыта окончательно.

Хороший вопрос, с подвохом! При выполнении условий сходимости по распределению нам известны только распределение предельной случайной величины и ее характеристики: мат. ожидание, дисперсия и.т.д. Сама случайная величина и ее вероятностное пространство не известны.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1360242 писал(а):

Известно, что любую арифметическую функцию, в том числе и сумматорную, можно представить, как последовательность случайных величин, определенных в разных вероятностных пространствах, построенных на начальных отрезках натурального ряда. Я указал эти вероятностные пространства.

А предельное вероятностное пространство напрочь отсутствует. Поэтому никакой предельной случайной величины нет.

vicvolf в сообщении #1360242 писал(а):

смотрите теорему Эрдеша-Каца о нормальном распределении арифметической функции количества простых делителей натурального числа

Посмотрел. Сами Эрдёш и Кац никаких случайных величин не вводили, поскольку речь идёт о детерминированных величинах, но распределение числа делителей на начальном отрезке натурального ряда рассмотреть можно, и даже это распределение оказывается близким к нормальному. И предел этих распределений рассмотреть можно:

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac 1x\left|\left\{n\leqslant x:a\leqslant\frac{\omega(n)-\log\log n}{\sqrt{\log\log n}}\leqslant b\right\}\right|=\Phi(a,b).$$

Но никакой "предельной случайной величины" там нет.

Так что и Вам следует прекратить упоминать "случайные величины" и ссылаться на теорию вероятностей.

vicvolf в сообщении #1360242 писал(а):

С другой стороны, при выполнении этих условий, вероятностное пространство, на котором определена указанная случайная величина, существует. Я указал эти условия и привел несколько примеров, для которых они выполняются.

Тем не менее, никакого вероятностного пространства для предельной функции Вы указать не смогли.

[Modest]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Someone в сообщении #1360248 писал(а):

Тем не менее, никакого вероятностного пространства для предельной функции Вы указать не смогли.

Пока не будет вероятностного пространства, $\sigma$-алгебры, и вероятностной меры для предельной случайной величины, обсуждать не вижу смысла. До решения этого вопроса аналогичные темы vicvolf создавать запрещается.

[Modest]

Закрыто, как и обещано. Просьба не создавать аналогичных тем в дальнейшем. Времени придать строгий математический смысл было достаточно, желания не продемонстрировано.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Пургаторий (М)»