Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе

[misha.physics]

misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):

Если бы ми ещё могли сказать (так можно сказать?), что $v^2=l^2$

Я туплю конечно. Из моего равенства уже следует, что $l_i=g_{ik}v^k$.

[Munin]

misha.physics
Я временно офлайн. Скажу только, что антисимметричный тензор ранга 1 - это просто любой: на него не наложено никаких соотношений. И он же - симметричный. И то же самое с рангом 0.

Остальное - у вас очень хорошо получается.

[vpb]

Оказывается, в существующих учебниках тот факт, что в присутствии невырожденной метрики (=симметрической билинейной функции) пространство естественно отождествляется со своим сопряженным, объяснен не очень хорошо. Но всё равно написан во многих книгах. См. Кострикин-2 (конкретное место упомянуто выше), Кострикин-Манин гл.2, пар.2, п.2,
Винберг гл.6, начало пар.3, и Мальцев, Основы линейной алгебры, гл.5, пар.18, теорема 2. (в Мальцеве, пожалуй, лучше всего).

Попробую я сам это объяснить. Пусть $V$ --- пространство, $g$ --- невырожденная билинейная форма на $V$ ("метрика"). Считаем, что $g$ симметрическая (но не обязательно положительно определенная; и рассматриваем только случай пространств над ${\mathbb R}$).

Рассмотрим функцию от двух переменных $g(x,y)$. Фиксируем $x$, и будем рассматривать ее только как функцию от $y$. Получается некоторая линейная функция от $y$, которую мы обозначим $l(y)$, а учитывая, что она зависит еще и от $x$, припишем индекс $x$: $l(y)=l_x(y)=g(x,y)$. Эта $l_x$ --- элемент сопряженного пространства $V^\ast$. Таким образом,
получается отображение $V\longrightarrow V^\ast$ в сопряженное пространство, которое ставит в соответствие элементу $x\in V$ функцию $l_x\in V^\ast$.

Это отображение является линейным, т.е. $l_{u+v}=l_u+l_v$, для любых $u,v\in V$, и $l_{\lambda u}=\lambda l_u$, при $\lambda\in{\mathbb R}$. Действительно, для любого $y\in V$ имеем, по определению, $l_{u+v}(y)=g(u+v,y)$, $l_u(y)=g(u,y)$, $l_v(y)=g(v,y)$. Но $g(u+v,y)=g(u,y)+g(v,y)$, так как $g$ билинейна. Т.е. $l_{u+v}(y)=l_u(y)+l_v(y)$ для любого $y$, а это и значит, что $l_{u+v}=l_u+l_v$. Второе утверждение ($l_{\lambda u}=\lambda l_u$) доказывается аналогично.

Будем обозначать отображение, которое элементу $x\in V$ ставит в соответствие функцию $l_x$, через $\varphi$. Итак, $\varphi\colon V\longrightarrow V^\ast$ --- линейное отображение из $V$ в $V^\ast$. Оно является изоморфизмом, когда $g$ невырождена. Чтоб доказать это, достаточно доказать, что ${\rm Ker\,}\varphi=0$ (поскольку оба $V$, $V^\ast$
конечномерны и одинаковой размерности). Допустим, что $x\in{\rm Ker\,}\varphi$. Тогда $l_x=0$, т.е. $l_x(y)=0$ для всех $y\in V$, т.е. $g(x,y)=0$ для всех $y\in V$. Это означает, что $x$ лежит в ядре формы $g$. Но $g$ невырождено, значит ядро --- нулевое, и $x=0$. Значит ${\rm Ker\,}\varphi=0$. Значит, $\varphi$ --- изоморфизм.

Итак, обещанное отождествление между $V$ и $V^\ast$ построено.

-- 05.12.2018, 16:24 --

Цитата:

Или это все мой бред

не совсем бред, просто слегка путаете билинейную форму и связанную с ней квадратичную, типа того. Числа $l_1$ и $l_2$, которые должны быть в ответе, действительно должны удовлетворять соотношению $3l_1+5l_2=144$.

misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):

Вот поэтому мне и нужно читать книги

ну так читайте

misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):

Кстати, вы встречали в сети книгу Йоконумы?

погуглите слово "либген" (libgen.io, libgen.pw, gen.lib.rus.ec)

misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):

А в чем смысл алгебраического мышления? У меня есть только догадки о мышлении такими категориями как группами, кольцам

Не знаю как это объяснить. Бывает, допустим, алгебраическое, а бывает геометрическое или топологическое. Приобретается оно изучением алгебры. Конкретизировать тут как-то не имеет особого смысла. А, например, "мыслить в терминах линейных пространств" --- это одновременно геометрическое и алгебраическое (весьма плодотворное сочетание).

-- 05.12.2018, 16:44 --

Хочу еще раз повторить некоторые мысли, более подробно.
1) Есть такая вещь, называется "канонические изоморфизмы", или "естественные отображения" и т.д. Это некоторые утверждения, которые записываются формулами, например, ${\mathcal L}(U, {\mathcal L}(V,W))\cong {\mathcal L}(U\otimes V,W)$ или ${\mathcal L}(A\otimes B, C\otimes D)\cong {\mathcal L}(A,C)\otimes {\mathcal L}(B,D)$. Вы их встретите в книжках Йоконумы или Кострикина-Манина, если будете читать. (Когда будете читать, тогда и смысл этих формул поймете).
Так вот, знакомство с ними очень полезно, чтобы понять, что такое подъем-спуск индексов, звезда Ходжа, и многое другое.

2) На одну и ту же вещь можно смотреть с разных сторон: спереди, сверху, сбоку, под углом и т.д. И, в частности, на тензоры. Тензоры --- это как раз вещь, на которую есть весьма много точек зрения. Поэтому Вам придется книжки читать разные, и точки зрения из этих книжек у себя совмещать в голове как-то. Приобретайте знания по принципу "курочка по зернышку клюет".

3) Я смотрел книжку Рашевского, и у меня впечатление, что она уже весьма сильно устарела по используемой системе понятий, строю мыслей и т.д.

-- 05.12.2018, 16:51 --

misha.physics в сообщении #1358871 писал(а):

Из моего равенства уже следует, что $l_i=g_{ik}v^k$.

Да, это верно.

-- 05.12.2018, 17:10 --

Вот еще одно упражнение на ту же тему. Даны те же данные, надо "поднять индексы у метрического тензора", т.е. найти числа $g^{ij}$ такие, что $g^{ij}=g(e^i,e^j)$. Если непонятно --- подумайте еще об отождествлении $V$ и $V^\ast$. Предыдущее можно было решить, опуская индексы механически, ибо $g_{ij}$ уже дано; а с этим надо глубже понимать производимые действия.

[vpb]

Я, однако, сделал ошибку относительно рекомендуемой литературы. А именно, есть книга Гельфанда Лекции по линейной алгебре. Там последняя глава о тензорах, очень хорошо написанная. Но в качестве единственного источника ее использовать не стоит (как и любую другую книжку, когда речь идет о тензорах). Вероятно, я сделал ошибку из-за того, что еще на первом курсе мне Гельфанд "не пошел", а пошел Кострикин-Манин. Точнее, тогда я не мало понял по Гельфанду, но на фоне Кострикина-Манина (и вообще потому что мне подход с точки зрения тензорных произведений более органичен) впечатление как-то смазалось. Тем более дело было весьма давно. А сейчас я вновь посмотрел, и вижу, что написано хорошо.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1358877 писал(а):

антисимметричный тензор ранга 1 - это просто любой: на него не наложено никаких соотношений. И он же - симметричный. И то же самое с рангом 0.

Понял, значит здесь

misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):

Вот я и подумал, что антисимметричность будет означать (но сейчас мне это не нравится) $A_0=-A_1$

я был неправ.

vpb,

vpb в сообщении #1359075 писал(а):

$l(y)=l_x(y)=g(x,y)$. Эта $l_x$ --- элемент сопряженного пространства $V^\ast$

Я понял, а компоненты этого элемента в базисе ${e^i}$ это значения формы $l_x(e_i)$ на базисных векторах.

vpb в сообщении #1359075 писал(а):

просто слегка путаете билинейную форму и связанную с ней квадратичную, типа того

А, ну да. Я просто рассмотрел квадрат вектора в качестве инварианта, а стоило для большей общности рассмотреть скалярное произведение двух векторов.

vpb в сообщении #1359075 писал(а):

libgen.pw

Нашёл, спасибо.

vpb в сообщении #1359075 писал(а):

найти числа $g^{ij}$ такие, что $g^{ij}=g(e^i,e^j)$

В одной книге видел такое доказательство, что матрицы $||g_{ik}||$ и $||g^{ik}||$ взаимно обратны ($g_{ik}$ симметричны). Там так:

$$\delta^i_k=e_ke^i=g_{km}e^mg^{in}e_n=g_{km}g^{in}\delta^m_n=g_{km}g^{im}$$

Так мне понятно. Правда мне хотелось сделать это более красиво, но я пока не готов. Сначала почитаю книги.

vpb в сообщении #1359112 писал(а):

есть книга Гельфанда Лекции по линейной алгебре

Спасибо, посмотрел, с ходу понравилось!
---------------------
Итак, я по ходу постараюсь ответить на открытие передо мной вопросы. И начну разбирать книги, чтобы можно было задавать вопросы по сути, а не обо всем сразу. До этого я бы ещё хотел хотя бы формально удостовериться в справедливости моей начальной формулы (или если она ложная, то вывести правильную)

misha.physics в сообщении #1355781 писал(а):

$$\frac{1}{2}\oint\limits dx^\lambda\varepsilon_{\mu\nu\lambda}[\sqrt{-g}F^{\mu\nu}]=4\pi Q$$

Просто пока я не знаю как её получить, я не знаю правильна ли она, а значит не могу уверенно использовать в своих вычислениях (просто я не могу себе сейчас позволить приступить к ней уже после основательного изучения, но технически, думаю я могу это сделать, нужны только идеи преобразований т. е. та теорема Гаусса). Получается, что я хочу получить её "наскоком" и я понимаю, что это неправильно. Итак, начну пока с

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

Давайте вот что обсудим. Допустим, у нас есть 3-мерная формула с интегралом, и 4-мерная формула с интегралом. Чтобы их сопоставить, нам надо разобраться, по чему мы должны интегрировать.

[vpb]

misha.physics в сообщении #1359148 писал(а):

компоненты этого элемента в базисе ${e^i}$ это значения формы $l_x(e_i)$ на базисных векторах

да,верно

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

nya в сообщении #1358678 писал(а):

Тензор Римана это по определению некоторая 2-форма со значениями в эндоморфизмах, её можно пулбэкнуть до формы в ассоциированном расслоении фреймов, тобишь в $\Omega^2(Fr TМ) \otimes \mathfrak{gl_n}$ выражение $\Omega = d\Phi + \Phi \wedge \Phi$ это выражение этой 2-формы в терминах формы связности. Все конструкции выше глобальны.

Munin в сообщении #1358680 писал(а):

И если уж совсем напрашиваться, то в какой книге прочитать то, что сказал nya, и ещё - про $\nabla^{2}=\mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d}=(\mathrm{d}+\delta)^2.$

Walker_XXI в сообщении #1358839 писал(а):

Дома могу глянуть, в каких учебниках излагается.

Только вчера вечером вспомнил про обещание. :)
В общем, выражение формы кривизны (и кручения) через форму связности носит название структурных уравнений Картана. Довольно общее место в дифф.геометрии и, соответственно, присутствует практически в каждом учебнике, где рассматриваются линейные связности и их частные случаи. В зависимости от того, какая связность рассматривается и принятых автором обозначений, вместо внешнего произведения может оказаться скобка Ли.

Про запись лапласиана через внешний дифференциал и сопряжённый ему оператор. Тут ключевые слова: "оператор Лапласа-де Рама" (или "лапласиан Ходжа-де Рама", см. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E ... or#Laplace–de_Rham_operator ), "теория Ходжа", "гармонические формы".

Чисто математическое изложение обоих вопросов есть в довольно старой классической книжке А.Лихнеровича "Теория связностей в целом и группы голономий".

Из старого, что попалось под руку о структурных уравнениях с физическим уклоном - лекции Й.Весса "Суперсимметрия - супергравитация" в сборнике "Геометрические идеи в физике", М.:Мир, 1983.
Про оператор Лапласа-де Рама (Лапласа-Бельтрами) с физическим уклоном есть в книге Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", М.:Мир, 1990 (глава "Виттеново доказательство неравенств Морса").

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

Нет, неправильно. Я записал равенства не по порядку перестановок индексов. А вот найти этот порядок - ваша задача! :-)

Я удостоверился, что действительно можно обойтись всего двумя условиями на антисимметричность. Т. е. если $A_{ikl}=-A_{kil}$, $A_{ikl}=-A_{ilk}$, то мы можем получить как следствие $A_{ikl}=-A_{lki}$. По цепочке

$$A_{ikl}=-A_{ilk}=A_{lik}=-A_{lki}$$

Т. е. я понял, что нам достаточно сказать, что можно переставить 1-й и 2-й индексы и 2-й и 3-й и мы автоматически получим, что можно переставить 1-й и 3-й индексы. А что вы имели ввиду, что вы записали равенства не по порядку перестановок индексов?

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

Угу. Вопрос в том, как конкретно это сделать из предложенной мной системы соотношений.

Например, используем 0-компоненту уравнения

$$A^{*p}=\varepsilon^{pikl}A_{ikl}$$

$$A^{*0}=\varepsilon^{0123}A_{123}+\varepsilon^{0231}A_{231}+...$$

Используя только два равенства на антисимметричность, делаем переход

$$A_{231}=-A_{213}=A_{123}.$$

И так далее, в результате получим

$$A^{*0}=6A_{123}$$

И, как я понимаю, можно ещё условиться писать множитель $\frac{1}{6}$ т. е.

$$A^{*p}=\frac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}$$

Т. е. нам действительно для нахождения $A_{ikl}$ достаточно знать только 4 компоненты $A^{*p}$ и два условия на антисимметричность. А вот если у нас был бы $A_{iklm}$, то достаточно было бы только 3-х условий на антисимметричность. Это чем-то напоминает игру в пятнашки, когда нам нужно поставить индекс в нужное место.

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

Давайте вот что обсудим. Допустим, у нас есть 3-мерная формула с интегралом, и 4-мерная формула с интегралом.

Здесь давайте помедленнее. Начну с элементарного, например, у нас есть

$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}dxdydz$$

и

$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}\int\limits_{-d}^{d}dx^1dx^2dx^3dx^4$$

И первая и вторая дает объем области интегрирования (3-мерный и 4-мерный, соответственно).

Munin в сообщении #1358656 писал(а):

Каким 4-мерным фигурам соответствуют такие 3-мерные области интегрирования?
- линия
- замкнутая линия
- поверхность
- замкнутая поверхность
- объём

Могу сказать, что трёхмерному объёму соответствует гиперповерхность (гиперповерхность я понимаю как фигуру размерности $(n-1)$ в $n$-мерном пространстве) в 4-мерном пространстве. Т. е., замкнутый 3-мерный объём (о котором в 3-мерном пространстве говорить нельзя, да? Если только само наше 3-мерное пространство не окажется замкнутым в 4-мерном пространстве.) это замкнутая гиперповерхность в 4-мерном пространстве. Но на счёт того, чему соответствует, например, линия в 3-мерном пространстве с точки зрения 4-мерного пространства, я не знаю как её назвать. Не видел понятия гиперлинии и т. д., но мне понятно, что размерность будет и там и там одинаковая, равная единице.

[misha.physics]

Переход $(32.13)\to(31.3)$ в ЛЛ-2. Левые части этих равенств одинаковые, т. к. получается, что $T^{00}=\frac{E^2+H^2}{8\pi}$. Значит, получается, что равны и правые стороны, тогда должно быть

$$c\operatorname{div}{\vec{E}}+\vec{j}\vec{E}+\operatorname{div}{\vec{S}}=0$$

или, что то же самое

$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{E^2+H^2}{8\pi}\Big)=c\operatorname{div}{\vec{E}},$$

но я не вижу, чтобы это выполнялось кроме как для частичного случая сохранения плотности электромагнитной энергии и равенства нулю плотности заряда $\rho$ (т. е. отсутствия заряда).

Дело в том, что я просто формально рассмотрел данный переход между формулами, не вникая в условия применения той или иной. Я просто рассматривал это как упражнение, как из 1-го получается 2-е и в результате получил данные равенства, которые должны выполняться чтобы такой переход можно было совершить.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1359371 писал(а):

А что вы имели ввиду, что вы записали равенства не по порядку перестановок индексов?

Просто то, что цепочка равенств у меня не такая же, как получилась у вас - хотя сами равенства те же, порядок другой.

misha.physics в сообщении #1359371 писал(а):

Здесь давайте помедленнее. Начну с элементарного, например, у нас есть

$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}dxdydz$$

и

$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}\int\limits_{-d}^{d}dx^1dx^2dx^3dx^4$$

И первая и вторая дает объем области интегрирования (3-мерный и 4-мерный, соответственно).

Идейно они похожи друг на друга, но фактически не бывают равны друг другу. Например, первый интеграл добавляет размерность $\mathrm{L}^3$ к подынтегральному выражению, а второй - $\mathrm{L}^4.$ Но стоит нам написать...

$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}dx^1dx^2dx^3,$$

и получается величина той же размерности.

misha.physics в сообщении #1359371 писал(а):

Могу сказать, что трёхмерному объёму соответствует гиперповерхность (гиперповерхность я понимаю как фигуру размерности $(n-1)$ в $n$-мерном пространстве) в 4-мерном пространстве. Т. е., замкнутый 3-мерный объём (о котором в 3-мерном пространстве говорить нельзя, да? Если только само наше 3-мерное пространство не окажется замкнутым в 4-мерном пространстве.) это замкнутая гиперповерхность в 4-мерном пространстве. Но на счёт того, чему соответствует, например, линия в 3-мерном пространстве с точки зрения 4-мерного пространства, я не знаю как её назвать. Не видел понятия гиперлинии и т. д., но мне понятно, что размерность будет и там и там одинаковая, равная единице.

Давайте введём такие термины: если множество имеет размерность

4 - то назовём его 4-объём;
3 - то назовём его 3-поверхность (подразумевая, в 4-мерном пространстве);
2 - то назовём его 2-поверхность;
1 - то назовём его линией;
0 - то назовём его точкой

(я думаю, банальны случаи из нескольких точек, нескольких линий, и так далее). Примеры линий вы должны были уже встречать раньше в ЛЛ-2 - это мировые линии - траектории точечных частиц.

Несколько примеров:

4-куб - это 4-объём; 3-куб - это 3-поверхность; 2-куб (просто квадрат) - это 2-поверхность; 1-куб (просто отрезок) - линия; 0-куб - точка. Например, 2-куб можно записать как $x^1\in[-a,a],\quad x^2\in[-a,a],\quad x^3=0,\quad x^4=0.$
4-шар - это 4-объём; 3-шар - это 3-поверхность; 2-шар (просто круг) - это 2-поверхность; 1-шар (просто отрезок) - линия; 0-шар - точка. (Шары математики ещё иногда называют дисками.) Например, 2-шар можно записать как $(x^1)^2+(x^2)^2\leqslant a^2,\quad x^3=0,\quad x^4=0.$
3-сфера - это поверхность (или граница) 4-шара, она 3-поверхность; 2-сфера - поверхность 3-шара, это 2-поверхность; 1-сфера (просто окружность) - это поверхность 2-шара, она линия; 0-сфера - это поверхность 1-шара - это пара точек. Например, 2-сфера может быть записана как $(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2=a^2,\quad x^4=0.$

Вопрос: что будет границами 3-куба, 2-куба, 1-куба?

-- 07.12.2018 20:32:42 --

Ещё удобное слово: если у нас в пространстве размерности $n$ множество размерности $k,$ то про него говорят, что у него коразмерность $(n-k).$
И ещё, в текстах, близких к математике, такие множества часто называют многообразиями. Не будем углубляться в определение, ограничимся пока интуитивным образом - чего-то искривлённое и некоторой размерности, без "патологий".

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1359615 писал(а):

Несколько примеров

Они оказались для меня очень полезными, я понял. Спасибо.

Munin в сообщении #1359615 писал(а):

Вопрос: что будет границами 3-куба, 2-куба, 1-куба?

Соответственно, 2-куб (6 плоских (2-мерных) квадратов), 1-куб (4 прямые (1-мерные) линии ), 0-куб (пара точек). А границей 4-куба будет 3-куб (3-мерное тело, визуализировать сложновато). Это я всюду рассмотрел случай плоских пространств.

Munin в сообщении #1359615 писал(а):

Ещё удобное слово: если у нас в пространстве размерности $n$ множество размерности $k,$ то про него говорят, что у него коразмерность $(n-k).$

У него, т. е. у множества размерности $k$, да?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1359601 писал(а):

Значит, получается, что равны и правые стороны, тогда должно быть

$$c\operatorname{div}{\vec{E}}+\vec{j}\vec{E}+\operatorname{div}{\vec{S}}=0$$

Откуда у вас там $\operatorname{div}\vec{E}$ вылез???

Если что, важное "правило на пальцах": компоненты тензора энергии-импульса-напряжений квадратичны по полям (в первом приближении, если теория нелинейна).

misha.physics в сообщении #1359601 писал(а):

Дело в том, что я просто формально рассмотрел данный переход между формулами, не вникая в условия применения той или иной.

Это самый сложный и "интеллекто-ёмкий" из предложенных мной переходов. Он требует разобраться заодно параллельно с переходом между другой парой формул.

-- 07.12.2018 23:17:11 --

misha.physics в сообщении #1359622 писал(а):

Соответственно, 2-куб (6 плоских (2-мерных) квадратов), 1-куб (4 прямые (1-мерные) линии ), 0-куб (пара точек).

Это правильно.

misha.physics в сообщении #1359622 писал(а):

А границей 4-куба будет 3-куб (3-мерное тело, визуализировать сложновато).

А здесь нет. У 4-куба граница будет состоять из 8 плоских 3-кубов. Из них два - это поверхности при $x^4=\pm a,$ а вот остальные 6 - параллельны 4-й оси. Если эту картину рассечь плоскостью $x^4=\mathrm{const}\in(-a,a),$ то получится 3-куб и его 6 плоских граней.

misha.physics в сообщении #1359622 писал(а):

У него, т. е. у множества размерности $k$, да?

Да.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1359655 писал(а):

Откуда у вас там $\operatorname{div}\vec{E}$ вылез???

Ой, я ошибся, оказывается, вместо $T^{0\alpha}$ подставил $F^{0\alpha}$, потом исправил, но ещё забыл, что греческие индексы пробегают только пространственные значения. В общем, теперь получилось, что из (32.13) получается (31.3), если в последней убрать член

$$-\int\vec{j}\vec{E}dV,$$

т. е. убрать токи.
В качестве $T^{ik}$ я взял (33.1).

Munin в сообщении #1359655 писал(а):

А здесь нет. У 4-куба граница будет состоять из 8 плоских 3-кубов. Из них два - это поверхности при $x^4=\pm a,$ а вот остальные 6 - параллельны 4-й оси. Если эту картину рассечь плоскостью $x^4=\mathrm{const}\in(-a,a),$ то получится 3-куб и его 6 плоских граней.

Интересно, сам я к этому пока прийти не могу.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1359745 писал(а):

В общем, теперь получилось, что из (32.13) получается (31.3), если в последней убрать член

$$-\int\vec{j}\vec{E}dV,$$

т. е. убрать токи.
В качестве $T^{ik}$ я взял (33.1).

Вот тут и начинаются хитрости и тонкости. Да, если взять в качестве ТЭИ (33.1), то есть ТЭИ чистого электромагнитного поля; то есть, постулировать сохранение ТЭИ поля по отдельности; то получается закон сохранения, из которого надо убрать токи - потому что они не участвуют. Но что если мы хотим их не убирать? Тут надо опираться на сохранение суммарного ТЭИ, то есть ТЭИ поля + ТЭИ частиц. ТЭИ частиц, если хотите, - это (33.5). Но нам не надо его полностью подставлять в (32.13), достаточно взять только часть, написанную в (33.9).

misha.physics в сообщении #1359745 писал(а):

Интересно, сам я к этому пока прийти не могу.

Можно это пытаться представить себе как-то геометрически. Если у вас не получается, то можно формально-алгебраически:
Представим себе 4-куб как систему неравенств:

$-a\leqslant x^1\leqslant a$
$-a\leqslant x^2\leqslant a$
$-a\leqslant x^3\leqslant a$
$-a\leqslant x^4\leqslant a$

В каких точках 4-мерного пространства хотя бы какое-то одно из этих неравенств обращается в равенство?

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1359780 писал(а):

Тут надо опираться на сохранение суммарного ТЭИ, то есть ТЭИ поля + ТЭИ частиц.

Т. е. чтобы получить (31.3) из (32.13) нужно в последнем в качестве $T^{ik}$ взять $T^{ik}=T^{\text{(п)}ik}+T^{\text{(ч)}ik}$, правильно?

Munin в сообщении #1359780 писал(а):

Можно это пытаться представить себе как-то геометрически.

Munin в сообщении #1359655 писал(а):

У 4-куба граница будет состоять из 8 плоских 3-кубов.

Сложновато. Кстати, под плоским 3-кубом вы понимаете "обычний" 3-мерный куб, да? Но сложить их в нашем 3-мерном пространстве чтобы это было границей 4-мерного куба никак нельзя, вот поэтому мне, наверное, и сложно это представить геометрически.

Munin в сообщении #1359780 писал(а):

Представим себе 4-куб как систему неравенств:
$-a\leqslant x^1\leqslant a$
$-a\leqslant x^2\leqslant a$
$-a\leqslant x^3\leqslant a$
$-a\leqslant x^4\leqslant a$ В каких точках 4-мерного пространства хотя бы какое-то одно из этих неравенств обращается в равенство?

Хотя бы одно какое-то из этих равенств обращается в равенство в точках, принадлежащих 3-мерному пространству, являющегося границей этого 4-куба. Если мы например зафиксируем $x^1=a$ и $x^1=-a$, то другие 3 координаты должны принадлежать границе, но дальше у меня пока трудно идет. Кстати, это

Munin в сообщении #1359655 писал(а):

Из них два - это поверхности при $x^4=\pm a,$ а вот остальные 6 - параллельны 4-й оси.

единственный способ представить границу, или это просто так удобно? Кстати, параллельность 4-й оси геометрически мне тоже сложно представить, разве что алгебраически. Может со временем выработается интуиция (если с этим работать, конечно :)).