2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 23:29 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):
Если бы ми ещё могли сказать (так можно сказать?), что $v^2=l^2$

Я туплю конечно. Из моего равенства уже следует, что $l_i=g_{ik}v^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics
Я временно офлайн. Скажу только, что антисимметричный тензор ранга 1 - это просто любой: на него не наложено никаких соотношений. И он же - симметричный. И то же самое с рангом 0.

Остальное - у вас очень хорошо получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение05.12.2018, 17:17 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Оказывается, в существующих учебниках тот факт, что в присутствии невырожденной метрики (=симметрической билинейной функции) пространство естественно отождествляется со своим сопряженным, объяснен не очень хорошо. Но всё равно написан во многих книгах. См. Кострикин-2 (конкретное место упомянуто выше), Кострикин-Манин гл.2, пар.2, п.2,
Винберг гл.6, начало пар.3, и Мальцев, Основы линейной алгебры, гл.5, пар.18, теорема 2. (в Мальцеве, пожалуй, лучше всего).

Попробую я сам это объяснить. Пусть $V$ --- пространство, $g$ --- невырожденная билинейная форма на $V$ ("метрика"). Считаем, что $g$ симметрическая (но не обязательно положительно определенная; и рассматриваем только случай пространств над ${\mathbb R}$).

Рассмотрим функцию от двух переменных $g(x,y)$. Фиксируем $x$, и будем рассматривать ее только как функцию от $y$. Получается некоторая линейная функция от $y$, которую мы обозначим $l(y)$, а учитывая, что она зависит еще и от $x$, припишем индекс $x$: $l(y)=l_x(y)=g(x,y)$. Эта $l_x$ --- элемент сопряженного пространства $V^\ast$. Таким образом,
получается отображение $V\longrightarrow V^\ast$ в сопряженное пространство, которое ставит в соответствие элементу $x\in V$ функцию $l_x\in V^\ast$.

Это отображение является линейным, т.е. $l_{u+v}=l_u+l_v$, для любых $u,v\in V$, и $l_{\lambda u}=\lambda l_u$, при $\lambda\in{\mathbb R}$. Действительно, для любого $y\in V$ имеем, по определению, $l_{u+v}(y)=g(u+v,y)$, $l_u(y)=g(u,y)$, $l_v(y)=g(v,y)$. Но $g(u+v,y)=g(u,y)+g(v,y)$, так как $g$ билинейна. Т.е. $l_{u+v}(y)=l_u(y)+l_v(y)$ для любого $y$, а это и значит, что $l_{u+v}=l_u+l_v$. Второе утверждение ($l_{\lambda u}=\lambda l_u$) доказывается аналогично.

Будем обозначать отображение, которое элементу $x\in V$ ставит в соответствие функцию $l_x$, через $\varphi$. Итак, $\varphi\colon V\longrightarrow V^\ast$ --- линейное отображение из $V$ в $V^\ast$. Оно является изоморфизмом, когда $g$ невырождена. Чтоб доказать это, достаточно доказать, что ${\rm Ker\,}\varphi=0$ (поскольку оба $V$, $V^\ast$
конечномерны и одинаковой размерности). Допустим, что $x\in{\rm Ker\,}\varphi$. Тогда $l_x=0$, т.е. $l_x(y)=0$ для всех $y\in V$, т.е. $g(x,y)=0$ для всех $y\in V$. Это означает, что $x$ лежит в ядре формы $g$. Но $g$ невырождено, значит ядро --- нулевое, и $x=0$. Значит ${\rm Ker\,}\varphi=0$. Значит, $\varphi$ --- изоморфизм.

Итак, обещанное отождествление между $V$ и $V^\ast$ построено.

-- 05.12.2018, 16:24 --

Цитата:
Или это все мой бред

не совсем бред, просто слегка путаете билинейную форму и связанную с ней квадратичную, типа того. Числа $l_1$ и $l_2$, которые должны быть в ответе, действительно должны удовлетворять соотношению $3l_1+5l_2=144$.
misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):
Вот поэтому мне и нужно читать книги
ну так читайте
misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):
Кстати, вы встречали в сети книгу Йоконумы?
погуглите слово "либген" (libgen.io, libgen.pw, gen.lib.rus.ec)
misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):
А в чем смысл алгебраического мышления? У меня есть только догадки о мышлении такими категориями как группами, кольцам

Не знаю как это объяснить. Бывает, допустим, алгебраическое, а бывает геометрическое или топологическое. Приобретается оно изучением алгебры. Конкретизировать тут как-то не имеет особого смысла. А, например, "мыслить в терминах линейных пространств" --- это одновременно геометрическое и алгебраическое (весьма плодотворное сочетание).

-- 05.12.2018, 16:44 --

Хочу еще раз повторить некоторые мысли, более подробно.
1) Есть такая вещь, называется "канонические изоморфизмы", или "естественные отображения" и т.д. Это некоторые утверждения, которые записываются формулами, например, ${\mathcal L}(U, {\mathcal L}(V,W))\cong {\mathcal L}(U\otimes V,W)$ или ${\mathcal L}(A\otimes B, C\otimes D)\cong {\mathcal L}(A,C)\otimes {\mathcal L}(B,D)$. Вы их встретите в книжках Йоконумы или Кострикина-Манина, если будете читать. (Когда будете читать, тогда и смысл этих формул поймете).
Так вот, знакомство с ними очень полезно, чтобы понять, что такое подъем-спуск индексов, звезда Ходжа, и многое другое.

2) На одну и ту же вещь можно смотреть с разных сторон: спереди, сверху, сбоку, под углом и т.д. И, в частности, на тензоры. Тензоры --- это как раз вещь, на которую есть весьма много точек зрения. Поэтому Вам придется книжки читать разные, и точки зрения из этих книжек у себя совмещать в голове как-то. Приобретайте знания по принципу "курочка по зернышку клюет".

3) Я смотрел книжку Рашевского, и у меня впечатление, что она уже весьма сильно устарела по используемой системе понятий, строю мыслей и т.д.

-- 05.12.2018, 16:51 --

misha.physics в сообщении #1358871 писал(а):
Из моего равенства уже следует, что $l_i=g_{ik}v^k$.
Да, это верно.

-- 05.12.2018, 17:10 --

Вот еще одно упражнение на ту же тему. Даны те же данные, надо "поднять индексы у метрического тензора", т.е. найти числа $g^{ij}$ такие, что $g^{ij}=g(e^i,e^j)$. Если непонятно --- подумайте еще об отождествлении $V$ и $V^\ast$. Предыдущее можно было решить, опуская индексы механически, ибо $g_{ij}$ уже дано; а с этим надо глубже понимать производимые действия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение05.12.2018, 20:05 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Я, однако, сделал ошибку относительно рекомендуемой литературы. А именно, есть книга Гельфанда Лекции по линейной алгебре. Там последняя глава о тензорах, очень хорошо написанная. Но в качестве единственного источника ее использовать не стоит (как и любую другую книжку, когда речь идет о тензорах). Вероятно, я сделал ошибку из-за того, что еще на первом курсе мне Гельфанд "не пошел", а пошел Кострикин-Манин. Точнее, тогда я не мало понял по Гельфанду, но на фоне Кострикина-Манина (и вообще потому что мне подход с точки зрения тензорных произведений более органичен) впечатление как-то смазалось. Тем более дело было весьма давно. А сейчас я вновь посмотрел, и вижу, что написано хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение05.12.2018, 23:16 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1358877 писал(а):
антисимметричный тензор ранга 1 - это просто любой: на него не наложено никаких соотношений. И он же - симметричный. И то же самое с рангом 0.

Понял, значит здесь
misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):
Вот я и подумал, что антисимметричность будет означать (но сейчас мне это не нравится) $A_0=-A_1$

я был неправ.

vpb,
vpb в сообщении #1359075 писал(а):
$l(y)=l_x(y)=g(x,y)$. Эта $l_x$ --- элемент сопряженного пространства $V^\ast$

Я понял, а компоненты этого элемента в базисе ${e^i}$ это значения формы $l_x(e_i)$ на базисных векторах.
vpb в сообщении #1359075 писал(а):
просто слегка путаете билинейную форму и связанную с ней квадратичную, типа того

А, ну да. Я просто рассмотрел квадрат вектора в качестве инварианта, а стоило для большей общности рассмотреть скалярное произведение двух векторов.
vpb в сообщении #1359075 писал(а):
libgen.pw

Нашёл, спасибо.
vpb в сообщении #1359075 писал(а):
найти числа $g^{ij}$ такие, что $g^{ij}=g(e^i,e^j)$

В одной книге видел такое доказательство, что матрицы $||g_{ik}||$ и $||g^{ik}||$ взаимно обратны ($g_{ik}$ симметричны). Там так:
$$\delta^i_k=e_ke^i=g_{km}e^mg^{in}e_n=g_{km}g^{in}\delta^m_n=g_{km}g^{im}$$
Так мне понятно. Правда мне хотелось сделать это более красиво, но я пока не готов. Сначала почитаю книги.
vpb в сообщении #1359112 писал(а):
есть книга Гельфанда Лекции по линейной алгебре

Спасибо, посмотрел, с ходу понравилось!
---------------------
Итак, я по ходу постараюсь ответить на открытие передо мной вопросы. И начну разбирать книги, чтобы можно было задавать вопросы по сути, а не обо всем сразу. До этого я бы ещё хотел хотя бы формально удостовериться в справедливости моей начальной формулы (или если она ложная, то вывести правильную)
misha.physics в сообщении #1355781 писал(а):
$$\frac{1}{2}\oint\limits dx^\lambda\varepsilon_{\mu\nu\lambda}[\sqrt{-g}F^{\mu\nu}]=4\pi Q$$

Просто пока я не знаю как её получить, я не знаю правильна ли она, а значит не могу уверенно использовать в своих вычислениях (просто я не могу себе сейчас позволить приступить к ней уже после основательного изучения, но технически, думаю я могу это сделать, нужны только идеи преобразований т. е. та теорема Гаусса). Получается, что я хочу получить её "наскоком" и я понимаю, что это неправильно. Итак, начну пока с
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
Давайте вот что обсудим. Допустим, у нас есть 3-мерная формула с интегралом, и 4-мерная формула с интегралом. Чтобы их сопоставить, нам надо разобраться, по чему мы должны интегрировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение05.12.2018, 23:29 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
misha.physics в сообщении #1359148 писал(а):
компоненты этого элемента в базисе ${e^i}$ это значения формы $l_x(e_i)$ на базисных векторах
да,верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение06.12.2018, 14:56 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург

(Оффтоп)

nya в сообщении #1358678 писал(а):
Тензор Римана это по определению некоторая 2-форма со значениями в эндоморфизмах, её можно пулбэкнуть до формы в ассоциированном расслоении фреймов, тобишь в $\Omega^2(Fr TМ) \otimes \mathfrak{gl_n}$ выражение $\Omega = d\Phi + \Phi \wedge \Phi$ это выражение этой 2-формы в терминах формы связности. Все конструкции выше глобальны.
Munin в сообщении #1358680 писал(а):
И если уж совсем напрашиваться, то в какой книге прочитать то, что сказал nya, и ещё - про $\nabla^{2}=\mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d}=(\mathrm{d}+\delta)^2.$
Walker_XXI в сообщении #1358839 писал(а):
Дома могу глянуть, в каких учебниках излагается.

Только вчера вечером вспомнил про обещание. :)
В общем, выражение формы кривизны (и кручения) через форму связности носит название структурных уравнений Картана. Довольно общее место в дифф.геометрии и, соответственно, присутствует практически в каждом учебнике, где рассматриваются линейные связности и их частные случаи. В зависимости от того, какая связность рассматривается и принятых автором обозначений, вместо внешнего произведения может оказаться скобка Ли.

Про запись лапласиана через внешний дифференциал и сопряжённый ему оператор. Тут ключевые слова: "оператор Лапласа-де Рама" (или "лапласиан Ходжа-де Рама", см. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%E ... or#Laplace–de_Rham_operator ), "теория Ходжа", "гармонические формы".

Чисто математическое изложение обоих вопросов есть в довольно старой классической книжке А.Лихнеровича "Теория связностей в целом и группы голономий".

Из старого, что попалось под руку о структурных уравнениях с физическим уклоном - лекции Й.Весса "Суперсимметрия - супергравитация" в сборнике "Геометрические идеи в физике", М.:Мир, 1983.
Про оператор Лапласа-де Рама (Лапласа-Бельтрами) с физическим уклоном есть в книге Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", М.:Мир, 1990 (глава "Виттеново доказательство неравенств Морса").

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение06.12.2018, 22:44 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
Нет, неправильно. Я записал равенства не по порядку перестановок индексов. А вот найти этот порядок - ваша задача! :-)

Я удостоверился, что действительно можно обойтись всего двумя условиями на антисимметричность. Т. е. если $A_{ikl}=-A_{kil}$, $A_{ikl}=-A_{ilk}$, то мы можем получить как следствие $A_{ikl}=-A_{lki}$. По цепочке
$$A_{ikl}=-A_{ilk}=A_{lik}=-A_{lki}$$
Т. е. я понял, что нам достаточно сказать, что можно переставить 1-й и 2-й индексы и 2-й и 3-й и мы автоматически получим, что можно переставить 1-й и 3-й индексы. А что вы имели ввиду, что вы записали равенства не по порядку перестановок индексов?
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
Угу. Вопрос в том, как конкретно это сделать из предложенной мной системы соотношений.

Например, используем 0-компоненту уравнения
$$A^{*p}=\varepsilon^{pikl}A_{ikl}$$
$$A^{*0}=\varepsilon^{0123}A_{123}+\varepsilon^{0231}A_{231}+...$$
Используя только два равенства на антисимметричность, делаем переход
$$A_{231}=-A_{213}=A_{123}.$$
И так далее, в результате получим
$$A^{*0}=6A_{123}$$
И, как я понимаю, можно ещё условиться писать множитель $\frac{1}{6}$ т. е.
$$A^{*p}=\frac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}$$
Т. е. нам действительно для нахождения $A_{ikl}$ достаточно знать только 4 компоненты $A^{*p}$ и два условия на антисимметричность. А вот если у нас был бы $A_{iklm}$, то достаточно было бы только 3-х условий на антисимметричность. Это чем-то напоминает игру в пятнашки, когда нам нужно поставить индекс в нужное место.
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
Давайте вот что обсудим. Допустим, у нас есть 3-мерная формула с интегралом, и 4-мерная формула с интегралом.

Здесь давайте помедленнее. Начну с элементарного, например, у нас есть
$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}dxdydz$$
и
$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}\int\limits_{-d}^{d}dx^1dx^2dx^3dx^4$$
И первая и вторая дает объем области интегрирования (3-мерный и 4-мерный, соответственно).
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
Каким 4-мерным фигурам соответствуют такие 3-мерные области интегрирования?
- линия
- замкнутая линия
- поверхность
- замкнутая поверхность
- объём

Могу сказать, что трёхмерному объёму соответствует гиперповерхность (гиперповерхность я понимаю как фигуру размерности $(n-1)$ в $n$-мерном пространстве) в 4-мерном пространстве. Т. е., замкнутый 3-мерный объём (о котором в 3-мерном пространстве говорить нельзя, да? Если только само наше 3-мерное пространство не окажется замкнутым в 4-мерном пространстве.) это замкнутая гиперповерхность в 4-мерном пространстве. Но на счёт того, чему соответствует, например, линия в 3-мерном пространстве с точки зрения 4-мерного пространства, я не знаю как её назвать. Не видел понятия гиперлинии и т. д., но мне понятно, что размерность будет и там и там одинаковая, равная единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение07.12.2018, 19:27 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Переход $(32.13)\to(31.3)$ в ЛЛ-2. Левые части этих равенств одинаковые, т. к. получается, что $T^{00}=\frac{E^2+H^2}{8\pi}$. Значит, получается, что равны и правые стороны, тогда должно быть
$$c\operatorname{div}{\vec{E}}+\vec{j}\vec{E}+\operatorname{div}{\vec{S}}=0$$
или, что то же самое
$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{E^2+H^2}{8\pi}\Big)=c\operatorname{div}{\vec{E}},$$
но я не вижу, чтобы это выполнялось кроме как для частичного случая сохранения плотности электромагнитной энергии и равенства нулю плотности заряда $\rho$ (т. е. отсутствия заряда).

Дело в том, что я просто формально рассмотрел данный переход между формулами, не вникая в условия применения той или иной. Я просто рассматривал это как упражнение, как из 1-го получается 2-е и в результате получил данные равенства, которые должны выполняться чтобы такой переход можно было совершить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение07.12.2018, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1359371 писал(а):
А что вы имели ввиду, что вы записали равенства не по порядку перестановок индексов?

Просто то, что цепочка равенств у меня не такая же, как получилась у вас - хотя сами равенства те же, порядок другой.

misha.physics в сообщении #1359371 писал(а):
Здесь давайте помедленнее. Начну с элементарного, например, у нас есть
$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}dxdydz$$ и
$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}\int\limits_{-d}^{d}dx^1dx^2dx^3dx^4$$ И первая и вторая дает объем области интегрирования (3-мерный и 4-мерный, соответственно).

Идейно они похожи друг на друга, но фактически не бывают равны друг другу. Например, первый интеграл добавляет размерность $\mathrm{L}^3$ к подынтегральному выражению, а второй - $\mathrm{L}^4.$ Но стоит нам написать...
$$\int\limits_{-a}^{a}\int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{-c}^{c}dx^1dx^2dx^3,$$ и получается величина той же размерности.

misha.physics в сообщении #1359371 писал(а):
Могу сказать, что трёхмерному объёму соответствует гиперповерхность (гиперповерхность я понимаю как фигуру размерности $(n-1)$ в $n$-мерном пространстве) в 4-мерном пространстве. Т. е., замкнутый 3-мерный объём (о котором в 3-мерном пространстве говорить нельзя, да? Если только само наше 3-мерное пространство не окажется замкнутым в 4-мерном пространстве.) это замкнутая гиперповерхность в 4-мерном пространстве. Но на счёт того, чему соответствует, например, линия в 3-мерном пространстве с точки зрения 4-мерного пространства, я не знаю как её назвать. Не видел понятия гиперлинии и т. д., но мне понятно, что размерность будет и там и там одинаковая, равная единице.

Давайте введём такие термины: если множество имеет размерность
    4 - то назовём его 4-объём;
    3 - то назовём его 3-поверхность (подразумевая, в 4-мерном пространстве);
    2 - то назовём его 2-поверхность;
    1 - то назовём его линией;
    0 - то назовём его точкой
(я думаю, банальны случаи из нескольких точек, нескольких линий, и так далее). Примеры линий вы должны были уже встречать раньше в ЛЛ-2 - это мировые линии - траектории точечных частиц.

Несколько примеров:
    4-куб - это 4-объём; 3-куб - это 3-поверхность; 2-куб (просто квадрат) - это 2-поверхность; 1-куб (просто отрезок) - линия; 0-куб - точка. Например, 2-куб можно записать как $x^1\in[-a,a],\quad x^2\in[-a,a],\quad x^3=0,\quad x^4=0.$
    4-шар - это 4-объём; 3-шар - это 3-поверхность; 2-шар (просто круг) - это 2-поверхность; 1-шар (просто отрезок) - линия; 0-шар - точка. (Шары математики ещё иногда называют дисками.) Например, 2-шар можно записать как $(x^1)^2+(x^2)^2\leqslant a^2,\quad x^3=0,\quad x^4=0.$
    3-сфера - это поверхность (или граница) 4-шара, она 3-поверхность; 2-сфера - поверхность 3-шара, это 2-поверхность; 1-сфера (просто окружность) - это поверхность 2-шара, она линия; 0-сфера - это поверхность 1-шара - это пара точек. Например, 2-сфера может быть записана как $(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2=a^2,\quad x^4=0.$

Вопрос: что будет границами 3-куба, 2-куба, 1-куба?

-- 07.12.2018 20:32:42 --

Ещё удобное слово: если у нас в пространстве размерности $n$ множество размерности $k,$ то про него говорят, что у него коразмерность $(n-k).$
И ещё, в текстах, близких к математике, такие множества часто называют многообразиями. Не будем углубляться в определение, ограничимся пока интуитивным образом - чего-то искривлённое и некоторой размерности, без "патологий".

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение07.12.2018, 21:12 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1359615 писал(а):
Несколько примеров

Они оказались для меня очень полезными, я понял. Спасибо.
Munin в сообщении #1359615 писал(а):
Вопрос: что будет границами 3-куба, 2-куба, 1-куба?

Соответственно, 2-куб (6 плоских (2-мерных) квадратов), 1-куб (4 прямые (1-мерные) линии ), 0-куб (пара точек). А границей 4-куба будет 3-куб (3-мерное тело, визуализировать сложновато). Это я всюду рассмотрел случай плоских пространств.
Munin в сообщении #1359615 писал(а):
Ещё удобное слово: если у нас в пространстве размерности $n$ множество размерности $k,$ то про него говорят, что у него коразмерность $(n-k).$

У него, т. е. у множества размерности $k$, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение07.12.2018, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1359601 писал(а):
Значит, получается, что равны и правые стороны, тогда должно быть
$$c\operatorname{div}{\vec{E}}+\vec{j}\vec{E}+\operatorname{div}{\vec{S}}=0$$

Изображение
Откуда у вас там $\operatorname{div}\vec{E}$ вылез???

Если что, важное "правило на пальцах": компоненты тензора энергии-импульса-напряжений квадратичны по полям (в первом приближении, если теория нелинейна).

misha.physics в сообщении #1359601 писал(а):
Дело в том, что я просто формально рассмотрел данный переход между формулами, не вникая в условия применения той или иной.

Это самый сложный и "интеллекто-ёмкий" из предложенных мной переходов. Он требует разобраться заодно параллельно с переходом между другой парой формул.

-- 07.12.2018 23:17:11 --

misha.physics в сообщении #1359622 писал(а):
Соответственно, 2-куб (6 плоских (2-мерных) квадратов), 1-куб (4 прямые (1-мерные) линии ), 0-куб (пара точек).

Это правильно.

misha.physics в сообщении #1359622 писал(а):
А границей 4-куба будет 3-куб (3-мерное тело, визуализировать сложновато).

А здесь нет. У 4-куба граница будет состоять из 8 плоских 3-кубов. Из них два - это поверхности при $x^4=\pm a,$ а вот остальные 6 - параллельны 4-й оси. Если эту картину рассечь плоскостью $x^4=\mathrm{const}\in(-a,a),$ то получится 3-куб и его 6 плоских граней.

misha.physics в сообщении #1359622 писал(а):
У него, т. е. у множества размерности $k$, да?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение08.12.2018, 13:21 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1359655 писал(а):
Откуда у вас там $\operatorname{div}\vec{E}$ вылез???

Ой, я ошибся, оказывается, вместо $T^{0\alpha}$ подставил $F^{0\alpha}$, потом исправил, но ещё забыл, что греческие индексы пробегают только пространственные значения. В общем, теперь получилось, что из (32.13) получается (31.3), если в последней убрать член
$$-\int\vec{j}\vec{E}dV,$$
т. е. убрать токи.
В качестве $T^{ik}$ я взял (33.1).
Munin в сообщении #1359655 писал(а):
А здесь нет. У 4-куба граница будет состоять из 8 плоских 3-кубов. Из них два - это поверхности при $x^4=\pm a,$ а вот остальные 6 - параллельны 4-й оси. Если эту картину рассечь плоскостью $x^4=\mathrm{const}\in(-a,a),$ то получится 3-куб и его 6 плоских граней.

Интересно, сам я к этому пока прийти не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение08.12.2018, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1359745 писал(а):
В общем, теперь получилось, что из (32.13) получается (31.3), если в последней убрать член
$$-\int\vec{j}\vec{E}dV,$$ т. е. убрать токи.
В качестве $T^{ik}$ я взял (33.1).

Вот тут и начинаются хитрости и тонкости. Да, если взять в качестве ТЭИ (33.1), то есть ТЭИ чистого электромагнитного поля; то есть, постулировать сохранение ТЭИ поля по отдельности; то получается закон сохранения, из которого надо убрать токи - потому что они не участвуют. Но что если мы хотим их не убирать? Тут надо опираться на сохранение суммарного ТЭИ, то есть ТЭИ поля + ТЭИ частиц. ТЭИ частиц, если хотите, - это (33.5). Но нам не надо его полностью подставлять в (32.13), достаточно взять только часть, написанную в (33.9).

misha.physics в сообщении #1359745 писал(а):
Интересно, сам я к этому пока прийти не могу.

Можно это пытаться представить себе как-то геометрически. Если у вас не получается, то можно формально-алгебраически:
Представим себе 4-куб как систему неравенств:
    $-a\leqslant x^1\leqslant a$
    $-a\leqslant x^2\leqslant a$
    $-a\leqslant x^3\leqslant a$
    $-a\leqslant x^4\leqslant a$
В каких точках 4-мерного пространства хотя бы какое-то одно из этих неравенств обращается в равенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение08.12.2018, 20:22 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1359780 писал(а):
Тут надо опираться на сохранение суммарного ТЭИ, то есть ТЭИ поля + ТЭИ частиц.

Т. е. чтобы получить (31.3) из (32.13) нужно в последнем в качестве $T^{ik}$ взять $T^{ik}=T^{\text{(п)}ik}+T^{\text{(ч)}ik}$, правильно?
Munin в сообщении #1359780 писал(а):
Можно это пытаться представить себе как-то геометрически.

Munin в сообщении #1359655 писал(а):
У 4-куба граница будет состоять из 8 плоских 3-кубов.

Сложновато. Кстати, под плоским 3-кубом вы понимаете "обычний" 3-мерный куб, да? Но сложить их в нашем 3-мерном пространстве чтобы это было границей 4-мерного куба никак нельзя, вот поэтому мне, наверное, и сложно это представить геометрически.
Munin в сообщении #1359780 писал(а):
Представим себе 4-куб как систему неравенств:
$-a\leqslant x^1\leqslant a$
$-a\leqslant x^2\leqslant a$
$-a\leqslant x^3\leqslant a$
$-a\leqslant x^4\leqslant a$ В каких точках 4-мерного пространства хотя бы какое-то одно из этих неравенств обращается в равенство?

Хотя бы одно какое-то из этих равенств обращается в равенство в точках, принадлежащих 3-мерному пространству, являющегося границей этого 4-куба. Если мы например зафиксируем $x^1=a$ и $x^1=-a$, то другие 3 координаты должны принадлежать границе, но дальше у меня пока трудно идет. Кстати, это
Munin в сообщении #1359655 писал(а):
Из них два - это поверхности при $x^4=\pm a,$ а вот остальные 6 - параллельны 4-й оси.

единственный способ представить границу, или это просто так удобно? Кстати, параллельность 4-й оси геометрически мне тоже сложно представить, разве что алгебраически. Может со временем выработается интуиция (если с этим работать, конечно :)).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 126 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group