Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[Lia]

Ну хорошо. Значит, надо исправить и ввести в.п. корректно.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1355215 писал(а):

Проблема в конечности, покрывающих подмножеств. Если покрывать ряд бесконечными подмножествами натуральных чисел, то формула работает.

Нет.

[vicvolf]

В общем случае формулу для вероятности пока не знаю. Рассмотрю один частный, но довольно распространенный случай.

Пусть случайные величины последовательности $f_n,(n=1,2,...)$ принимают значения $a_1,a_2,...$ c вероятностью соответственно: $\nu_1(n)=N\{f_n(i)=a_1\}/n,\nu_2(n)=N\{f_n(i)=a_2\}/n,...$, где $N\{f_n(i)=a_l\}$ - количество случаев, когда $f_n(i)=a_l,(l=1,2,...)$ и $\sum_{l=1}^{\infty}{\nu_l(n)}=1$.

Пусть случайная величина $f_0:f_n \to f_0$ (по распределению при $n \to \infty$) принимает также значения $a_1,a_2,...$ c вероятностью соответственно: $P_1,P_2,...$.

Тогда, на основании Замечания 4 стр 123 [Боровков "Теория вероятностей", 1999 г.] $P_1=\lim_{n \to \infty} {\nu_1(n)},P_2=\lim_{n \to \infty} {\nu_2(n)},...$.

В этом случае вероятностное пространство будет $(Q,A,P)$ : $Q=\{1,2...\},A=2^Q,P:A \to R,P_1=\lim _{n \to \infty} {N\{(f_n(i)=a_1\}/n},$$P_2= \lim _{n \to \infty} {N\{(f_n(i)=a_2\}/n}, ...$, где $\sum_{l=1}^{\infty} {P_l}=1$.

К данному случаю относятся арифметическая функция Мебиуса, которая принимает значения: $a_1=-1,a_2=0,a_3=1$, арифметическая функция Лиувилля, которая принимает значения: $a_1=-1,a_2=1$ и другие арифметические функции.

Когда $l$ -ое значение предельной вероятности $P_l=1$, то все остальные предельные вероятности равны $0$ и получаем вырожденную функцию распределения, как в примере 2.

[Lia]

Сейчас Вы прячете ту же проблему под обозначениями, причем крайне неудачными. $P_n$ уже занято. $P$ так и не появилось.
Есть еще что сказать, но сперва выясните это.

[vicvolf]

Lia согласен, обозначение с $P_n$ не очень удачные. Давайте исправим:

$P(A_l)=\lim_{n \to \infty} {N\{f_n=a_l\}/n}$, где $N\{f_n=a_l\}$ - количество случаев, когда случайная величина $f_n=a_l$ и $l=1,2,...$.

Событие $A_l$ заключается в том, что предельная случайная величина $f_0=a_l$.

Проблем счетной аддитивности данная функция не имеет, так как вероятность объединения $A_l$ равна $\sum_{l=1}^{\infty} {P(A_l)}=1$.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1355592 писал(а):

Проблем счетной аддитивности данная функция не имеет, так как вероятность объединения $A_l$ равна $\sum_{l=1}^{\infty} {P(A_l)}=1$.

Someone в сообщении #1355329 писал(а):

vicvolf в сообщении #1355215 писал(а):

Проблема в конечности, покрывающих подмножеств. Если покрывать ряд бесконечными подмножествами натуральных чисел, то формула работает.

Нет.

[vicvolf]

Someone Я обратил внимание на Ваше сообщение, поэтому и пишу, что счетная аддитивность выполняется в данном конкретном случае, а не о произвольном покрытии бесконечными подмножествами натурального ряда.

[Someone]

vicvolf в сообщении #1355642 писал(а):

счетная аддитивность выполняется в данном конкретном случае

Доказательства не вижу.

Кроме того, речь идёт о том, что Вы не определили вероятностную меру, поэтому "данный конкретный случай" тут ни при чём.

[vicvolf]

Следствие из Утверждения 5


Пусть сумматорная арифметическая функция имеет асимптотику:

$S(n)=\sum_{k=1}^n {f(k)}=S_0(n)+o(1)$,

где $S_0(n)=O(n)$, а арифметическая функция $f:N \to R$ - ограничена.

Тогда предельное распределение сумматорной арифметической функции функции $S(n)=\sum_{k=1}^n {f(k)}$ является нормальным.


Доказательство приводить не буду, так как статья еще не опубликована. Только намекну.

Условие Утверждения 5 об ограниченности арифметической функции $f:N \to R$ выполнены, а условие асимптотики

математических ожиданий получается, если разделить асимптотику для $S(n)=\sum_{k=1}^n {f(k)}$ на $n$.


Это некоторый аналог центральной предельной теоремы для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин.

Вспомним из темы "Асимптотическая независимость слагаемых арифметических функций", что из оценки $S(n)=O(n)$

вытекала асимптотическая независимость слагаемых арифметических функций $f:N \to R$ и соответственно квази

асимптотическая независимость соответствующих случайных величин, а из ограниченности этих функций вытекает ограниченность

математических ожиданий и дисперсий соответствующих случайных величин. Одинаковой распределенности слагаемых в полной мере нет,

но это компенсируется малостью отличия их математических ожиданий.


Поясню использование следствия на примере.

Асимптотика сумматорной функции равна:

$S(n)=\sum_{p \leq n} {1/p}=\log\log(n)+B+O(1/\log(n))$, где $B$ - постоянная.

Проверим выполнение условий следствия.

Арифметическая функция $1/p$ - ограничена сверху $1/2$.

$\log\log(n)+B=O(n), 1/\log(n)=o(1)$.

Таким образом, для указанной сумматорной функции все условия следствия выполнены.

-- 22.11.2018, 17:30 --

Someone в сообщении #1355645 писал(а):

vicvolf в сообщении #1355642 писал(а):

счетная аддитивность выполняется в данном конкретном случае

Доказательства не вижу.

Занимаюсь этим.

[Lia]

vicvolf
Не продолжайте развивать тему, не ответив на вопросы по предыдущим постам. Тут не газета.

[vicvolf]

Someone писал(а):

Кроме того, речь идёт о том, что Вы не определили вероятностную меру

$P\colon A\to\mathbb R,P(X)=\lim_{n \to \infty} |X \cap Q_n|/n$, где $X$- подмножество $Q$, принадлежащее сигма-алгебре, и $Q_n=\{1,2...n\}$. Поскольку я писал $P\colon A\to\mathbb R$, то естественно подразумевал, что подмножество $X$ принадлежит сигма-алгебре. Если есть замечания, то, пожалуйста, конкретнее.

[Someone]

Вам уже объясняли, что

vicvolf в сообщении #1356930 писал(а):

$P\colon A\to\mathbb R,P(X)=\lim_{n \to \infty} |X \cap Q_n|/n$

не есть вероятностная мера, потому что не $\sigma$-аддитивна. И для бесконечных множеств тоже не $\sigma$-аддитивна. Ещё сколько раз Вам нужно это сказать, чтобы до Вас дошло?

[Someone]

Пока vicvolf думает, приведу пример. Считаем, что натуральный ряд $\mathbb N$ начинается с $1$.
Положим $X_k=\{(2k-1)\cdot 2^{m-1}:m\in\mathbb N\}$ для всех $k\in\mathbb N$. Легко видеть, что множества $X_k$, $k\in\mathbb N$, попарно дизъюнктны, $P(X_k)=0$, и что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb N}X_k=\mathbb N$.

Ещё одна проблема с "мерой" $P(X)$ состоит в том, что она определена не для всех подмножеств натурального ряда. В качестве примера такого множества можно взять $X=\{k:\exists m\in\mathbb N(2^{2(m-1)}\leqslant k<2^{2m-1})\}$.
Если vicvolf считает, что это множество "не принадлежит $\sigma$-алгебре", пусть точно определит свою $\sigma$-алгебру.

Вообще, непонятно, почему $P(X)$ здесь называется мерой. Я назвал бы эту штуку асимптотической плотностью.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1355645 писал(а):

Доказательства не вижу.

Пусть случайные величины последовательности $f_n,(n=1,2,...)$ принимают значения $a_1,a_2,...$ c вероятностью соответственно: $\nu_1(n)=N\{f_n(i)=a_1\}/n,\nu_2(n)=N\{f_n(i)=a_2\}/n,...$, где $i=1,2,...$, $N\{f_n(i)=a_l\}$ - количество случаев, когда $f_n(i)=a_l,(l=1,2,...)$ и $\sum\limits_{l=1}^{\infty}{\nu_l(n)}=1$.

Пусть случайная величина $f_0:f_n \to f_0$ (по распределению при $n \to \infty$) принимает значения $a_1,a_2,...$ и пусть $A_l,(l=1,2,...)$ - событие, заключающееся в том, что случайная величина $f_0=a_l$.

Тогда, на основании Замечания 4 стр 123 [Боровков "Теория вероятностей", 1999 г.] , $P(A_l)=\lim_{n \to \infty} {N\{f_n=a_l\}/n}$ является вероятностью, а следовательно, обладает свойством счетной аддитивности.

Теперь о другом.

В примере 1 рассматривался случай, когда слагаемой сумматорной арифметической функции являлась функция Мебиуса - $\mu(n)$ и было показано, что в этом случае сумматорная арифметическая функция (функции Мертенса) не удовлетворяет условиям Утверждения 5.

Однако, если рассмотреть сумматорную арифметическую функцию $S(x)=\sum\limits_{n \leq x} {\mu(n)/n}$, то она удовлетворяет условиям Утверждения 5 и поэтому имеет предельным нормальное распределение. Покажем это.

Арифметическая функция $f(n)=\mu(n)/n$ является ограниченной, поэтому соответствующие случайные величины $f_n:f_n(k)=f(k)$ и $f:f_n \to f$ (по распределению при $n \to \infty$) являются ограниченными ($f=0$).

Можно доказать, что $S(x)=\sum\limits_{n \leq x} {\mu(n)/n}=o(1)$, поэтому $M[f_n]-M[f]=(1/x) \sum\limits _{n \leq x} {\mu(n)/n} = o(1/x)$. Cледовательно, все условия Утверждения 5 выполнены.

Если ли какие замечания по доказанным утверждениям?

[g______d]

vicvolf в сообщении #1359582 писал(а):

Тогда, на основании Замечания 4 стр 123 [Боровков "Теория вероятностей", 1999 г.] , $P(A_l)=\lim_{n \to \infty} {N\{f_n=a_l\}/n}$ является вероятностью, а следовательно, обладает свойством счетной аддитивности.

Замечание 4 этого не утверждает. Вам Someone уже объяснил, что это определение не задаёт вероятностную меру на $\sigma$-алгебре $2^{\mathbb N}$ (и вообще не определено на всей $\sigma$-алгебре).