2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 10:38 
Аватара пользователя


01/12/11
8406
В треугольнике $\Delta ABC$ угол $\angle A$ в два раза больше угла $\angle B$, угол $\angle C$ – тупой, а длины сторон $a, b, c$ – целые числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что он минимальный из всех возможных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 13:07 
Аватара пользователя


22/11/13
213
А он вообще существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 14:59 
Аватара пользователя


22/11/13
213
$$1>\frac{b+c}{2a}>\frac{1}{2}$$$$a\ne b\ne c$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 17:44 
Аватара пользователя


01/12/11
8406
kthxbye в сообщении #1356435 писал(а):
А он вообще существует?

Он - это треугольник? Да, существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 18:03 
Аватара пользователя


07/01/16
800
Аязьма
Ktina в сообщении #1356510 писал(а):

Он - это треугольник? Да, существует.
Например, со сторонами $\{169,312,407\}$ и красивым (необязательно наименьшим, не пытался доказывать) периметром $888$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 20:22 


20/04/10
531
Русь
Если допустить вырожденный случай, то очевидный ответ $\left\lbrace1,1,2\right\rbrace$, $P_{min}=4$. Если вырожденный случай исключить, у меня получился ответ $\left\lbrace9,15,16\right\rbrace$, $P_{min}=40$.

Имеем $a,b,c\in \mathbb{N}$, $P=a+b+c\to min$, плюс условие на углы треугольника, которое, используя теорему синусов, можно записать в виде $a/\sin\alpha=b/\sin 2\alpha=c/\sin 3\alpha$ и $3\alpha<90^{\circ}$. Из последних двух равенств получим $b=2a\cos\alpha, c=(4\cos^2\alpha-1)a$. Периметр как функция двух переменных имеет вид $P(a,\alpha)=2a\cos\alpha(2\cos\alpha+1)$. Так как ранее мы получили $b=2 a\cos\alpha$, то можно записать $P(a,b)=b^2/a+b$. Остаётся выбрать такие $b$ и $a$, что $a\mid b^2$ и $c=P(a,b)-(a+b)\leqslant a+b$ (выполнено неравенство треугольника) и при этом $c>max(a,b)$ (большая сторона). Рассматривая неравенство $b^2/a+b-(a+b)\leqslant a+b$ приходим к заключению, что $b\leqslant 2a$, здесь знак равно соответствует вырожденному случаю $\left\lbrace a,2a,3a\right\rbrace$. Наименьшее подходящее решение встречается при $a=9$. В этом случае $b=15$, $c=16$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 21:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1340
москва
lel0lel в сообщении #1356560 писал(а):
получился ответ $\left\lbrace9,15,16\right\rbrace$, $P_{min}=40$.

$\cos \alpha =\frac b{2a}=\frac {15}{18}=0.833...<\cos {\frac {\pi }6$, следовательно, $\alpha >\frac {\pi }6$ и этот треугольник не подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
Проще заметить, что $9^2+15^2>16^2$, следовательно, треугольник не тупоугольный. И вообще, очевидно, что lel0lel где-то сбился в прочтении условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 22:24 
Аватара пользователя


07/01/16
800
Аязьма
grizzly в сообщении #1356587 писал(а):
И вообще, очевидно, что lel0lel где-то сбился в прочтении условия.
Вроде бы все верно, только пропущена проверка малости наименьшего угла $\alpha<\dfrac\pi6\Leftrightarrow b^2>3a^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
waxtep в сообщении #1356592 писал(а):
Вроде бы все верно
Да, конечно! А я в решение толком не вчитался. Тогда получается, что минимальный будет с периметром 77 (16,28,33)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение25.11.2018, 00:49 


20/04/10
531
Русь
mihiv, cпасибо. Допустил ошибку под конец задачи, хотя условие верно прочитал. Надо было вместо $c>max(a,b)$ использовать
waxtep в сообщении #1356592 писал(а):
проверка малости наименьшего угла $\alpha<\dfrac\pi6\Leftrightarrow b^2>3a^2$

Проверил заново - получается результат:
grizzly в сообщении #1356601 писал(а):
минимальный будет с периметром 77 (16,28,33)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group