Наименьший возможный периметр треугольника

[Ktina]

В треугольнике $\Delta ABC$ угол $\angle A$ в два раза больше угла $\angle B$, угол $\angle C$ – тупой, а длины сторон $a, b, c$ – целые числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что он минимальный из всех возможных.

[kthxbye]

А он вообще существует?

[kthxbye]

$$1>\frac{b+c}{2a}>\frac{1}{2}$$

$$a\ne b\ne c$$

[Ktina]

kthxbye в сообщении #1356435 писал(а):

А он вообще существует?

Он - это треугольник? Да, существует.

[waxtep]

Ktina в сообщении #1356510 писал(а):

Он - это треугольник? Да, существует.

Например, со сторонами $\{169,312,407\}$ и красивым (необязательно наименьшим, не пытался доказывать) периметром $888$

[lel0lel]

Если допустить вырожденный случай, то очевидный ответ $\left\lbrace1,1,2\right\rbrace$, $P_{min}=4$. Если вырожденный случай исключить, у меня получился ответ $\left\lbrace9,15,16\right\rbrace$, $P_{min}=40$.

Имеем $a,b,c\in \mathbb{N}$, $P=a+b+c\to min$, плюс условие на углы треугольника, которое, используя теорему синусов, можно записать в виде $a/\sin\alpha=b/\sin 2\alpha=c/\sin 3\alpha$ и $3\alpha<90^{\circ}$. Из последних двух равенств получим $b=2a\cos\alpha, c=(4\cos^2\alpha-1)a$. Периметр как функция двух переменных имеет вид $P(a,\alpha)=2a\cos\alpha(2\cos\alpha+1)$. Так как ранее мы получили $b=2 a\cos\alpha$, то можно записать $P(a,b)=b^2/a+b$. Остаётся выбрать такие $b$ и $a$, что $a\mid b^2$ и $c=P(a,b)-(a+b)\leqslant a+b$ (выполнено неравенство треугольника) и при этом $c>max(a,b)$ (большая сторона). Рассматривая неравенство $b^2/a+b-(a+b)\leqslant a+b$ приходим к заключению, что $b\leqslant 2a$, здесь знак равно соответствует вырожденному случаю $\left\lbrace a,2a,3a\right\rbrace$. Наименьшее подходящее решение встречается при $a=9$. В этом случае $b=15$, $c=16$.

[mihiv]

lel0lel в сообщении #1356560 писал(а):

получился ответ $\left\lbrace9,15,16\right\rbrace$, $P_{min}=40$.

$\cos \alpha =\frac b{2a}=\frac {15}{18}=0.833...<\cos {\frac {\pi }6$, следовательно, $\alpha >\frac {\pi }6$ и этот треугольник не подходит.

[grizzly]

Проще заметить, что $9^2+15^2>16^2$, следовательно, треугольник не тупоугольный. И вообще, очевидно, что lel0lel где-то сбился в прочтении условия.

[waxtep]

grizzly в сообщении #1356587 писал(а):

И вообще, очевидно, что lel0lel где-то сбился в прочтении условия.

Вроде бы все верно, только пропущена проверка малости наименьшего угла $\alpha<\dfrac\pi6\Leftrightarrow b^2>3a^2$

[grizzly]

waxtep в сообщении #1356592 писал(а):

Вроде бы все верно

Да, конечно! А я в решение толком не вчитался. Тогда получается, что минимальный будет с периметром 77 (16,28,33)?

[lel0lel]

mihiv, cпасибо. Допустил ошибку под конец задачи, хотя условие верно прочитал. Надо было вместо $c>max(a,b)$ использовать

waxtep в сообщении #1356592 писал(а):

проверка малости наименьшего угла $\alpha<\dfrac\pi6\Leftrightarrow b^2>3a^2$

Проверил заново - получается результат:

grizzly в сообщении #1356601 писал(а):

минимальный будет с периметром 77 (16,28,33)