2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 10:38 
Аватара пользователя


01/12/11
8175
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
В треугольнике $\Delta ABC$ угол $\angle A$ в два раза больше угла $\angle B$, угол $\angle C$ – тупой, а длины сторон $a, b, c$ – целые числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что он минимальный из всех возможных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 13:07 
Аватара пользователя


22/11/13
185
А он вообще существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 14:59 
Аватара пользователя


22/11/13
185
$$1>\frac{b+c}{2a}>\frac{1}{2}$$$$a\ne b\ne c$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 17:44 
Аватара пользователя


01/12/11
8175
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
kthxbye в сообщении #1356435 писал(а):
А он вообще существует?

Он - это треугольник? Да, существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 18:03 
Аватара пользователя


07/01/16
682
Ktina в сообщении #1356510 писал(а):

Он - это треугольник? Да, существует.
Например, со сторонами $\{169,312,407\}$ и красивым (необязательно наименьшим, не пытался доказывать) периметром $888$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 20:22 


20/04/10
503
Русь
Если допустить вырожденный случай, то очевидный ответ $\left\lbrace1,1,2\right\rbrace$, $P_{min}=4$. Если вырожденный случай исключить, у меня получился ответ $\left\lbrace9,15,16\right\rbrace$, $P_{min}=40$.

Имеем $a,b,c\in \mathbb{N}$, $P=a+b+c\to min$, плюс условие на углы треугольника, которое, используя теорему синусов, можно записать в виде $a/\sin\alpha=b/\sin 2\alpha=c/\sin 3\alpha$ и $3\alpha<90^{\circ}$. Из последних двух равенств получим $b=2a\cos\alpha, c=(4\cos^2\alpha-1)a$. Периметр как функция двух переменных имеет вид $P(a,\alpha)=2a\cos\alpha(2\cos\alpha+1)$. Так как ранее мы получили $b=2 a\cos\alpha$, то можно записать $P(a,b)=b^2/a+b$. Остаётся выбрать такие $b$ и $a$, что $a\mid b^2$ и $c=P(a,b)-(a+b)\leqslant a+b$ (выполнено неравенство треугольника) и при этом $c>max(a,b)$ (большая сторона). Рассматривая неравенство $b^2/a+b-(a+b)\leqslant a+b$ приходим к заключению, что $b\leqslant 2a$, здесь знак равно соответствует вырожденному случаю $\left\lbrace a,2a,3a\right\rbrace$. Наименьшее подходящее решение встречается при $a=9$. В этом случае $b=15$, $c=16$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 21:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1296
москва
lel0lel в сообщении #1356560 писал(а):
получился ответ $\left\lbrace9,15,16\right\rbrace$, $P_{min}=40$.

$\cos \alpha =\frac b{2a}=\frac {15}{18}=0.833...<\cos {\frac {\pi }6$, следовательно, $\alpha >\frac {\pi }6$ и этот треугольник не подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6063
Проще заметить, что $9^2+15^2>16^2$, следовательно, треугольник не тупоугольный. И вообще, очевидно, что lel0lel где-то сбился в прочтении условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 22:24 
Аватара пользователя


07/01/16
682
grizzly в сообщении #1356587 писал(а):
И вообще, очевидно, что lel0lel где-то сбился в прочтении условия.
Вроде бы все верно, только пропущена проверка малости наименьшего угла $\alpha<\dfrac\pi6\Leftrightarrow b^2>3a^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение24.11.2018, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6063
waxtep в сообщении #1356592 писал(а):
Вроде бы все верно
Да, конечно! А я в решение толком не вчитался. Тогда получается, что минимальный будет с периметром 77 (16,28,33)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьший возможный периметр треугольника
Сообщение25.11.2018, 00:49 


20/04/10
503
Русь
mihiv, cпасибо. Допустил ошибку под конец задачи, хотя условие верно прочитал. Надо было вместо $c>max(a,b)$ использовать
waxtep в сообщении #1356592 писал(а):
проверка малости наименьшего угла $\alpha<\dfrac\pi6\Leftrightarrow b^2>3a^2$

Проверил заново - получается результат:
grizzly в сообщении #1356601 писал(а):
минимальный будет с периметром 77 (16,28,33)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot], mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group