Определение предела функции.

[gevaraweb]

arseniiv в сообщении #1356197 писал(а):

Ну вы бы почитали целиком, прежде чем отвечать.

Ох, извиняюсь. Теперь я наоборот думаю, вы были "правее" изначально. E у Зорича - всегда некая выбранная часть области определения. Он вешает на E всякие ярлыки и индексы, но она всегда - часть области определения. Какими бы словами он ее не обзывал - базами и пр. - она всегда часть области определения. В том смысле, что он не против, что она определена и на большем множестве.
Например, тут:



функция вполне может быть определена и при x< a. Нигде на это запрета нет. И тогда это "привычный" нам предел справа.

[arseniiv]

В общем главное что всё одно. В некоторых книгах позволяют себе дать много эквивалентных определений и привести теорему об их эквивалентности, но притом всё равно могут считать одно из них «правее» других, ну а тут наверно и так много букв получалось, чтобы добавлять ещё мета.

[VitalyaTaylor]

gevaraweb

Тогда зачем он в определении 2 раза явно указывает, что E - область определения. Первый раз через символы, а потом через предложение.

-- 23.11.2018, 19:45 --

grizzly

Я прекрасно понимаю, как работает это теорема) Я не понимаю почему Зорич заставляет вводить какие-то ограничения. В определенном интеграле опять же функция определена на отрезке, а не на произвольном множестве, содержащиц в себе заданный отрезок. Какой смысл тогда в обозначении интеграла писать пределы интегрирования, если итак понятно по какому отрезку он берется, т.к. сначало мы задаем функцию, а уже потом примеряем на нее интеграл.

[gevaraweb]

VitalyaTaylor в сообщении #1356221 писал(а):

Тогда зачем он в определении 2 раза явно указывает, что E - область определения.

Не вижу, поясните где? Или как?

[VitalyaTaylor]

gevaraweb

Самый первый скриншот, там где определение предела.

[jekyl]

VitalyaTaylor в сообщении #1356221 писал(а):

В определенном интеграле опять же функция определена на отрезке, а не на произвольном множестве, содержащиц в себе заданный отрезок.

Т.е. если функция определена на $\mathbb{R}$, то на отрезке $[0,1]$, например, она не определена?

[VitalyaTaylor]

jekyl

Причём здесь это. Зорич(да и не только он) требует область определния именно отрезок, а если ограничивать функцию, то получается другая функция. По зоричу функция $x^2$ не интегрируется по отрезку $[2;5]$, т.к. для такого он тупо не ввёл определние, т.е. мне нужно вводить ограничение на эту функцию, а потом называть определённый интеграл по отрезку $[2;5]$. Не глупо ли для анализа функции постоянно создавать новую функцию(её ограничение), когда можно было написать универсальную теорию?

[Otta]

VitalyaTaylor
Вы хотите поговорить об интегралах? Это совершенно отдельная песня.

VitalyaTaylor в сообщении #1356271 писал(а):

По зоричу функция $x^2$ не интегрируется по отрезку $[2;5]$, т.к. для такого он тупо не ввёл определние, т.е. мне нужно вводить ограничение на эту функцию, а потом называть определённый интеграл по отрезку $[2;5]$.

Да, потому что в определении интеграла Римана элементом базы является не подмножество вещественной прямой, как это было ранее, а множество разбиений с отмеченными точками диаметра меньшего некоторого числа (число свое для каждого элемента базы) заданного отрезка. Очевидно, что чтобы определять разбиения отрезка, сперва надо фиксировать отрезок.

VitalyaTaylor в сообщении #1356271 писал(а):

т.е. мне нужно вводить ограничение на эту функцию, а потом называть определённый интеграл по отрезку $[2;5]$.

А это видимость одна. С самой функцией Вы дело имеете косвенным образом, поскольку предел считаете не этой функции. А интегральной суммы. А интегральная сумма - функция разбиения фиксированного отрезка. Так что от необходимости в первую очередь задать отрезок никуда не деться.

-- 24.11.2018, 00:30 --

VitalyaTaylor в сообщении #1356271 писал(а):

Не глупо ли для анализа функции постоянно создавать новую функцию(её ограничение), когда можно было написать универсальную теорию?

Напишите.

[gevaraweb]

VitalyaTaylor в сообщении #1356235 писал(а):

Самый первый скриншот, там где определение предела.

Т.е. получается, что более корректно определение предела справа для функции, определенной и слева, и справа от а, должно звучать, например, так:

Цитата:

Пределом функции в точке а справа называется предел сужения этой функции на $E^+_a$

(следуя предыдущим определениям Зорича). Походу, если давать предел функции на языке последовательности, такой проблемы не возникает? Хотя там наверно свои подводные камни. то-то уже вспоминал Бурбаки в сходной теме.

[Otta]

gevaraweb в сообщении #1356277 писал(а):

Т.е. получается, что более корректно определение предела справа должно звучать, например, так:

Корректно в сравнении с чем?

[gevaraweb]

Otta в сообщении #1356279 писал(а):

Корректно в сравнении с чем?

ах да, дополнил курсивом

[Otta]

gevaraweb в сообщении #1356277 писал(а):

(следуя предыдущим определениям Зорича).

Так Вы дайте другое определение. С чем сравнивать-то?

[gevaraweb]

Otta в сообщении #1356281 писал(а):

Так Вы дайте другое определение. С чем сравнивать-то?

да вот, было сверху:



Ведь в определении на скрине пропадают случаи, когда функция определена и слева, и справа от точки а.

[arseniiv]

VitalyaTaylor в сообщении #1356271 писал(а):

Не глупо ли для анализа функции постоянно создавать новую функцию(её ограничение)

На деле все эти детали не мешают содержательным рассуждениям, да и такое «создание» совершенно необременительно (потому обычно говорят «рассмотрим», а не «создадим»).

Для результатов не важно, какое из эквивалентных определений используется. И если неприятное чувство остаётся, а заменить курс или определение в нём на более приятное не получается, остаётся просто убедиться в эквивалентности прямым её доказательством. Если и после этого будет неприятно — ну, или вообще этой областью математики или самой математикой заниматься не надо, или надо через себя перешагнуть, или обратиться к психотерапевту. А не нарезать круги на месте.

[Otta]

gevaraweb в сообщении #1356286 писал(а):

Ведь в определении на скрине пропадают случаи, когда функция определена и слева, и справа от точки а.

Я в честь позднего времени соображаю плохо уже, извините. В котороем смысле они пропадают, можно на примере?