Определение предела функции.

[grizzly]

VitalyaTaylor
Я снова затрудняюсь понять Ваш вопрос. Скорее всего, в случае односторонних пределов для $\mathbb R$ на него отвечает первый абзац после таблицы на стр. 125 (upd. у Вас это стр. 149, значит издания сильно отличаются, но текст на этих страницах совпадает), а в случае односторонних пределов для области определения $E$ на него отвечает второй абзац после таблицы.

Если это не помогает, приведите, пожалуйста, наиболее простой пример конкретной функции и конкретной точки, где, по Вашему мнению, определения Зорича работают неправильно (или не охватывают этот пример).

[nya]

Всё было сказано, но я просуммирую.
1)

VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):

Что за множество $E$(это область определения!?)

В таблице и в $f : E \to \mathbb{R}$ разные Е, это косяк, можете считать, что в самом начале написано $f: A \to \mathbb{R}$, я буду впредь называть $A=dom(f)$.
В третей строчке таблицы написано некоторое семейство баз, по одной базе на каждое множество $E$ и число $a$, то есть при $E = \mathbb{Q}, a = 2$ выйдет база $x\in \mathbb{Q}, x \to 2$, при $E = \mathbb{I}, a = 1$ выйдет база $x \in \mathbb{I}, x \to 1$. Заметьте, что если $a$ не является предельной точкой $E$ то в принципе ничего страшного, получится просто пустая база, по которой ни одна функция предела не имеет.

2)

VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):

База $x\to a - это обязательно все окрестности точки в $R$ или же это окрестности точки, например, в интервале $(a,b)$?

Технически - обязательно все окрестности, но базы $x \to 1$ и $x\in (0..2), x \to 1$ (эта база получается из третьей строчки если взять $a=1, E = (0..2)$ ) изоморфны, это значит, что если у $f$ существует предел по одной из них, то существует предел и по другой и они равны, поэтому смысла различать их нету.

3)

VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):

Где должна быть определена функция.

Если вопрос в том, "какие условия на $dom(f)$ должны быть, чтобы корректно было спрашивать про предел по базе $\mathbf{B}$", то ответ следующий. У Зорича, чисто формально, насколько я помню, функция должна быть определена в каждой точке каждого элемента базы, то есть должно быть выполнено $\forall B \in \mathbf{B} : dom(f) \subset B$, но на самом деле так считать довольно плохо, и намного лучше считать что для любой функции корректно спрашивать о существовании предела по базе, а определение самого предела записывать как

$$\lim_{\mathbf{B}} f(x) = L \leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists B \in \mathbf{B}: (B \cap dom(f) \neq \emptyset) \wedge (x \in B \cap dom(f) \to |f(x) - L| < \varepsilon)$$

(от определение в Зориче отличается с тем, что добавлено пересечение с dom(f) ).

EDIT: Я сейчас подумал, что даже если функция не определена в даже на маленьких элементах базы, то предела просто не будет существовать!
EDIT2: К сожелению будет, тогда нужно доп. условие добавлять, логическая трактовка крайних случаев не спасает!

[grizzly]

nya в сообщении #1355981 писал(а):

В таблице и в $f : E \to \mathbb{R}$ разные Е, это косяк

Ага, я осознал, что и arseniiv и nya, считают, что это разные $E$ и только я не вижу необходимости так считать. Следовательно, теперь и я считаю, что формализм описан плохо (раз моё мнение не совпало с мнением большинства :)

Но я правда не вижу, что ломается в формализме Зорича, если считать, что это не разные $E$.

[nya]

grizzly
Ну видимо что нельзя тогда взять предел функции Римана по иррациональным, но без этого можно прожить наверное, и непонятно зачем первые две строчки нужны, если функция всё равно на $E$ изначально определена.

[arseniiv]

grizzly
Не, я уже не считаю, что это разные $E$ — почитав, решил, что Зорич просто по надобности ограничивает функции докуда надо, свидетельств иного я лично не увидел (но он может делать какие-то уточнения где-нибудь потом).

[VitalyaTaylor]

nya

Всё равно даже если поменять E на A в определении, то обозначение будет такое же. Определение дает ясно понять, что предел берется по проколотым окрестностям множества A(области определения). А в таблице вы говорите берется по другому множеству. Но тогда эти обозначения суть разные объекты. Если бы вы сказали, что в определении предел по множеству E и область определения A содержит E, то тогда было бы нормально. Вообще странно, зачем вообще определять предел по своей области определения, итак понятно, что по-другому и не придумаешь в общем случае, если область - не R.

-- 22.11.2018, 21:47 --

И вообще есть ли курсы Мат. Анализа(можно на английском), где также вводятся базы для пределов?

[grizzly]

nya
Мы с Вами по-разному понимаем заголовок таблицы "Наиболее употребимые в анализе базы". Я понимаю так, что наиболее употребимы базы для функций, заданных (а) на всей оси и (б) на подмножествах. Поэтому проблем с функцией Римана я не вижу.

Напомню заодно, что "пределом по множеству" Зорич называет определение предела, данное в начале темы, с упомянутым множеством в качестве области определения.

[nya]

VitalyaTaylor в сообщении #1356002 писал(а):

Но тогда эти обозначения суть разные объекты. Если бы вы сказали, что в определении предел по множеству E и область определения A содержит E, то тогда было бы нормально.

В этом и суть, что разные объекты, если А содержит Е,то было бы тривиально, а не нормально.

VitalyaTaylor в сообщении #1356002 писал(а):

Вообще странно, зачем вообще определять предел по своей области определения, итак понятно, что по-другому и не придумаешь в общем случае, если область - не R.

Именно, поэтому предел (по моему мнению) берётся по другому множеству, которое уже чем область определения.

grizzly в сообщении #1356006 писал(а):

Напомню заодно, что "пределом по множеству" Зорич называет определение предела, данное в начале темы, с упомянутым множеством в качестве области определения.

Странно вводить аппарат баз фильтров и давать определение пределу по множеству отдельно от него, как по мне.

Посмотрел более старые издания там список баз даётся вообще без абзаца про функцию f : E -> R, скринить лень.

[grizzly]

nya в сообщении #1356015 писал(а):

Странно вводить аппарат баз фильтров и давать определение пределу по множеству отдельно от него, как по мне.

Ну и что, что странно, важно, чтобы было внутренне непротиворечиво. Вы привыкли к более стандартному построению курса анализа, я тоже. Поскольку вопрос задан в разделе "Вопросы преподавания", Вы вправе критиковать это построение Зорича, согласен.

nya в сообщении #1356015 писал(а):

Посмотрел более старые издания там список баз даётся вообще без абзаца про функцию f : E -> R, скринить лень.

Я тоже смотрю по старому изданию (1997 г.). У меня между списком баз и определением предела с $f:E\to \mathbb R$ ровно 20 страниц (определение предела раньше, конечно). Насколько я понял, в книге ТС примерно так же.

-- 22.11.2018, 22:29 --

VitalyaTaylor в сообщении #1356002 писал(а):

И вообще есть ли курсы Мат. Анализа(можно на английском), где также вводятся базы для пределов?

Во втором (из трёх) томе Кудрявцева вводятся фильтры для пределов. Фильтры это то же, что здесь базы, а базы там это другое. Но это не важно. Важно то, что там говорится, что это всё для анализа не так важно, но "по приколу" ("эстетическое удовлетворение" в терминах Кудрявцева) интересно.

Только там эти фильтры вводятся в топологических терминах и как бы Вам совсем не запутаться (а ещё ненавижу эти готические шрифты, букв им мало). А так чтоб на самом начальном уровне, как у Зорича, -- я не припомню.

[VitalyaTaylor]

grizzly

Я уже вообще запутался) Вот допустим в Зориче Теорема Лагранжа. Там стоит $f:[a, b] \to R$ в определении. Т.е. для функций с другими областями определения(например $R$), которое содержат какой-либо отрезок теорему использовать нельзя? Или опять он подразумевает, что надо брать ограничение $f$. Но даже если так, почему он нигде об этом не упоминает?

[grizzly]

VitalyaTaylor в сообщении #1356115 писал(а):

Там стоит $f:[a, b] \to R$ в определении. Т.е. для функций с другими областями определения(например $R$), которое содержат какой-либо отрезок теорему использовать нельзя?

Я так понимаю, что Вы хотите сформулировать примерно такое утверждение: пусть функция $f$ определена и дифференцируема на $\mathbb R$, тогда для любых $a,b\in \mathbb R, a<b$ выполнена теорема Лагранжа. Да, в таком виде приведенную в Зориче теорему использовать нельзя. Но доказать это обобщение должно быть совсем простым упражнением для читателя.

VitalyaTaylor в сообщении #1356115 писал(а):

для функций с другими областями определения

Давайте всё же следовать терминологии Зорича в этой теме: Вы говорите о других функциях, а не других областях определения одной и той же функции. В Вашем понимании лучше использовать выражения "закон соответствия", "правило отображения" и т.п.

[gevaraweb]

Что тут развели?!

arseniiv в сообщении #1355926 писал(а):

Ну уж нет, иногда область определения функции шире, чем $E$. Например, односторонний предел $x\to a+0$ — это предел $x\to a, x\in (a;+\infty)$.

Речь не математика, но физика ). Нет, E - это и есть область определения.

VitalyaTaylor в сообщении #1355923 писал(а):

Что за множество $E$(это область определения!?).

Да.

grizzly в сообщении #1355950 писал(а):

Зорич не самая простая книга для самостоятельного изучения

По мне как наоборот, первый том его был достаточно доступен ) Хотя, может, я его понимал, но не так ) Скоро выяснится

[VitalyaTaylor]

grizzly

Вы похоже меня не понимаете) Я имею в виду, допустим функция, заданная на (-3;10). Естественно ее область определения содержит какой-то определенный отрезок, например, (0; 1). Но по определению теорему применить на этом отрезке нельзя, т.к. нам нужна функция, определенная только на этом отрезке, если следовать терминологии Зорича. Вот, кстати в Кудрявцеве он дает в начале книги примечание, что если говорится задана на каком-то множестве, то это следует понимать, что это множество принадлежит области определения и не обязательно совпадает с ним.

[grizzly]

VitalyaTaylor в сообщении #1356154 писал(а):

Вы похоже меня не понимаете

Нет, я Вас понял правильно. Попытаюсь ещё раз.

VitalyaTaylor в сообщении #1356154 писал(а):

Я имею в виду, допустим функция, заданная на (-3;10). Естественно ее область определения содержит какой-то определенный отрезок, например, (0; 1).

(Обозначайте, пожалуйста, отрезки квадратными скобками.) Хорошо, но давайте добавим условие дифференцируемости функции на $(-3;10)$ или хотя бы на $(0;1)$ -- иначе как вообще применять Лагранжа?

VitalyaTaylor в сообщении #1356154 писал(а):

Но по определению теорему применить на этом отрезке нельзя, т.к. нам нужна функция, определенная только на этом отрезке, если следовать терминологии Зорича.

Да, нельзя. Теперь посмотрите ещё раз моё предыдущее сообщение (чтобы я его здесь не повторял) и докажите следующее "обобщение" теоремы Лагранжа.

Теорема. Пусть функция $f:(-3;10)\to \mathbb R$ непрерывна и дифференцируема на области определения. Тогда для любых $a,b\in (-3;10), a<b$ существует $\xi \in (a,b)$ такая, что

$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$

Если это упражнение слишком сложно для Вас, тогда лучше отказаться от Зорича -- в этом учебнике уровень упражнений намного выше.

[arseniiv]

gevaraweb в сообщении #1356153 писал(а):

Речь не математика, но физика ). Нет, E - это и есть область определения.

Ну вы бы почитали целиком, прежде чем отвечать. Я посмотрел внимательно в эту книгу и пришёл к такому же выводу через пару постов. Исходно я имел в виду, что $E$ может означать разное в разных местах.

VitalyaTaylor в сообщении #1356154 писал(а):

Но по определению теорему применить на этом отрезке нельзя, т.к. нам нужна функция, определенная только на этом отрезке, если следовать терминологии Зорича.

Но почему же вам так не нравятся ограничения функции? Когда мы рассматриваем только $x\in A$, $f$ настолько же хороша, насколько $f|_A$. Просто интересно, что, по-вашему, не так.