Матрица рассеяния во 2 порядке и квадрат дельта-функции

[Ascold]

1.Если $|i\rangle$ и $|f\rangle$ - начальные и конечные состояния кв. полей, то(для краткости нормировочные множители собрал в $M$):

$$S_{f i}=\delta_{f i}+(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)M$$

Далее плотность вероятности рассеяния

$$\omega=|S|^2=(2\pi)^8\delta^2(\sum P_f-\sum P_i)|M|^2.$$

А куда делись члены $\delta^2_{f i}$ и $2\delta_{f i}(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)M$ ?
В книгах пишут это в духе, что нас интересуют нетождественные переходы, значит, только второй член пойдёт в вероятность и т.д., но как-то это непонятно. Вот пусть у нас процесс

$$e_{+} + e_{-} \to e_{+} + e_{-}$$

составляем для него S-матрицу как хронометрическую экспоненту от гамильтониана взаимодействия, решаем, что нам хватит 2 порядка точности. Из нулевого порядка разложения берётся тождественный член \delta_{f i}, из первого порядка все виковские свёртки зануляются, из второго - выживает с точностью до перестановки вершин слагаемое $(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)M.$
Почему при вычислении вероятности тождественный член $\delta_{f i}=\delta_{r'r}\delta(p'-p)+\delta_{s's}\delta(q'-q)$ отбрасывается, им же нельзя пренебречь по сравнению с другим дельта-функциональным членом? Имеется ввиду, что мы не всю S-матрицу имеем ввиду,а только ту её часть, соответствующую нетождественным переходам? Но ведь формально это не кажется правильным - даже если речь идёт о несовместимых событиях, то складываются вероятности, а не слагаемые в S-матрице или у неё есть какое-то особое свойство на этот счёт?

2. Когда возвели всё в квадрат, одну из дельта-функций переводим в вид

$$(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT,$$

считая, что переход $V,T \to \infty$, подходит для того, чтобы это произведение подменило собой дельта-функцию. Это точно строгий подход или я чего-то не понимаю в дельта-функциях?(а я и правда не особо тонко их знаю.)
Почему именно $(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT,$ а не, например, просто

$$\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT?$$

[Eule_A]

Ascold в сообщении #1356182 писал(а):

хронометрическую экспоненту

Принято всё-таки называть её хронологической.

Ascold в сообщении #1356182 писал(а):

Почему при вычислении вероятности тождественный член $\delta_{f i}=\delta_{r'r}\delta(p'-p)+\delta_{s's}\delta(q'-q)$ отбрасывается, им же нельзя пренебречь по сравнению с другим дельта-функциональным членом?

Ициксон и Зюбер в первом томе Квантовой теории поля писал(а):

... единичная матрица даёт вклад только в рассеяние вперёд и описывает часть падающего волнового пакета, которая не изменяется взаимодействием. В большинстве экспериментов нас интересует только рассеянная часть пакета.

Это стр. 242 по изданию 1984 г.

Ascold в сообщении #1356182 писал(а):

Почему именно $(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT,$ а не, например, просто

Это связано с нормировкой преобразования Фурье, насколько я сейчас помню. Потом, если ничто не отвлечёт, на выкладки посмотрю.

Ascold в сообщении #1356182 писал(а):

Это точно строгий подход или я чего-то не понимаю в дельта-функциях?

Нет, нестрогий. Кажется, изобретение Липпмана.

[physicsworks]

Насчет нормировки преобразования Фурье Вам уже выше ответил Eule_A

Ascold в сообщении #1356182 писал(а):

Это точно строгий подход или я чего-то не понимаю в дельта-функциях?

это на самом деле строгий подход, если сглаживать in- и out- состояния соответствующими гауссианами. Обычно этого в учбениках не делают из-за экономии места и потому, что результат получается один и тот же. Хотя строгость подхода, конечно, при этом немного размывается.

[Ascold]

physicsworks в сообщении #1356605 писал(а):

это на самом деле строгий подход, если сглаживать in- и out- состояния соответствующими гауссианами.

Имеете ввиду, представлять эти состояния в виде волновых пакетов или иное?

[physicsworks]

Ascold в сообщении #1356838 писал(а):

Имеете ввиду, представлять эти состояния в виде волновых пакетов или иное?

Да, в виде $\int g(\alpha) | \alpha \rangle_{in} d \alpha$, где $g(\alpha)$ --- сглаживающая гауссиана.

[Ascold]

Ascold в сообщении #1356838 писал(а):

это на самом деле строгий подход, если сглаживать in- и out- состояния соответствующими гауссианами.

Итак, решил я попробовать это проделать,чтобы убрать дельта-функцию из матричного элемента. Пусть процесс - комптоновское рассеяние фотона и электрона. Тогда

$$|in\rangle=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}a_\mathbf{k}^\dagger b_\mathbf{p}^\dagger|0\rangle, \quad\langle out|=\int \langle 0|b_{\mathbf{p'}}a_{\mathbf{k'}}d\mathbf{p'}d\mathbf{k'}e^\frac{-(\mathbf{k'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{-(\mathbf{p'-p'_0})^2}{2d'^2},$$

$$S^{(2)}=-e^2\int dxdy \intdxdy\bar{\psi}(x)\not{A}(x)\overset{\uparrow}{\psi}(x)\overset{\downarrow}{\bar{\psi}}(y)\not{A}(y)\psi(y),$$

стрелками обозначена свёртка. Вычисляю $\langle in|S^{(2)}|out\rangle,$ при этом интегрирование по $\mathbf{p,k,p',k'}$ выполню в самом конце, это значит, что под интегралом по этим переменным будет обычное выражение, находимое по фейнмановским правилами или без оных с точностью до квадрата заряда и нормировочного коэффициента:

$$\langle out|S^{(2)}|in\rangle=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}d\mathbf{p'}d\mathbf{k'}(2\pi)^4\delta^4(p+k-p'-k')e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2d^2}{2}e^\frac{-(\mathbf{k'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{-(\mathbf{p'-p'_0})^2}{2d'^2}\cdot M,$$

где

$$M=\bar{u}(\mathbf{p'})\not{\varepsilon}(\mathbf{k'})\tilde{S}_F(\mathbf{p}+\mathbf{k})\not{\varepsilon}(\mathbf{k})u(\mathbf{p})+\bar{u}(\mathbf{p'})\not{\varepsilon}(\mathbf{k})\tilde{S}_F(\mathbf{p}-\mathbf{k'})\not{\varepsilon}(\mathbf{k'})u(\mathbf{p}).$$

Интегрируя, например, по $\mathbf{k'}=\mathbf{p}+\mathbf{k}-\mathbf{p'},$ получим

$$\langle out|S^{(2)}|in\rangle=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}d\mathbf{p'}(2\pi)^4\delta(E_\mathbf{p}+E_\mathbf{k}-E_\mathbf{p'}-E_\mathbf{p+k-p'})e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}e^\frac{-(\mathbf{p+k-p'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{-(\mathbf{p'-p'_0})^2}{2d'^2}\cdot M=$$

$$=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}\cdot d|\mathbf{p'}|\cdot(2\pi)^4\cdot 4\pi^2|\mathbf{p'}|^2\delta(E_\mathbf{p}+E_\mathbf{k}-E_\mathbf{p'}-E_\mathbf{p+k-p'})e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}e^\frac{-(\mathbf{p+k-p'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{\mathbf{-(p'-p'_0)}^2}{2d'^2}\cdot M=$$

$$=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}(2\pi)^4\cdot 4\pi^2|\mathbf{p'}|^2\left(\frac{\partial(E_\mathbf{p'}+E_\mathbf{k'})}{\partial |\mathbf{p'}|}\right)^{-1}e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}e^\frac{-(\mathbf{p+k-p'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{\mathbf{-(p'-p'_0)}^2}{2d'^2}\cdot M$$

По-моему, что-то здесь не то. В последнем интегрировании по $|\mathbf{p'}|$ пользуюсь правилом

$$\int f(x,y)\delta(g(x,y))dx=\left[f(x,y)\Sigma\frac{1}{|g'_x|}\right]_{x=x_0},$$

где $x_0$ - нули функции $g(x,y)$ и полагаю, что $\frac{\partial E_{\mathbf{p}}}{\partial |\mathbf{p'}|}=\frac{\partial E_{\mathbf{k}}}{\partial |\mathbf{p'}|}=0$.
Что в соответствии с этим всем надо подставлять в последнее выражение вместо $|\mathbf{p'}|$?
Понимаю, что речь идёт о законе сохранения энергии, но не догоняю, как это написать чисто алгебраически.