2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матрица рассеяния во 2 порядке и квадрат дельта-функции
Сообщение23.11.2018, 16:48 


28/08/13
521
1.Если $|i\rangle$ и $|f\rangle$ - начальные и конечные состояния кв. полей, то(для краткости нормировочные множители собрал в $M$):
$$S_{f i}=\delta_{f i}+(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)M$$
Далее плотность вероятности рассеяния $$\omega=|S|^2=(2\pi)^8\delta^2(\sum P_f-\sum P_i)|M|^2.$$
А куда делись члены $\delta^2_{f i}$ и $2\delta_{f i}(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)M$ ?
В книгах пишут это в духе, что нас интересуют нетождественные переходы, значит, только второй член пойдёт в вероятность и т.д., но как-то это непонятно. Вот пусть у нас процесс $$e_{+} + e_{-} \to  e_{+} + e_{-}$$ составляем для него S-матрицу как хронометрическую экспоненту от гамильтониана взаимодействия, решаем, что нам хватит 2 порядка точности. Из нулевого порядка разложения берётся тождественный член \delta_{f i}, из первого порядка все виковские свёртки зануляются, из второго - выживает с точностью до перестановки вершин слагаемое $(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)M.$
Почему при вычислении вероятности тождественный член $\delta_{f i}=\delta_{r'r}\delta(p'-p)+\delta_{s's}\delta(q'-q)$ отбрасывается, им же нельзя пренебречь по сравнению с другим дельта-функциональным членом? Имеется ввиду, что мы не всю S-матрицу имеем ввиду,а только ту её часть, соответствующую нетождественным переходам? Но ведь формально это не кажется правильным - даже если речь идёт о несовместимых событиях, то складываются вероятности, а не слагаемые в S-матрице или у неё есть какое-то особое свойство на этот счёт?

2. Когда возвели всё в квадрат, одну из дельта-функций переводим в вид $$(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT,$$ считая, что переход $V,T \to \infty$, подходит для того, чтобы это произведение подменило собой дельта-функцию. Это точно строгий подход или я чего-то не понимаю в дельта-функциях?(а я и правда не особо тонко их знаю.)
Почему именно $(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT,$ а не, например, просто $$\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица рассеяния во 2 порядке и квадрат дельта-функции
Сообщение23.11.2018, 20:20 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Ascold в сообщении #1356182 писал(а):
хронометрическую экспоненту

Принято всё-таки называть её хронологической.
Ascold в сообщении #1356182 писал(а):
Почему при вычислении вероятности тождественный член $\delta_{f i}=\delta_{r'r}\delta(p'-p)+\delta_{s's}\delta(q'-q)$ отбрасывается, им же нельзя пренебречь по сравнению с другим дельта-функциональным членом?

Ициксон и Зюбер в первом томе Квантовой теории поля писал(а):
... единичная матрица даёт вклад только в рассеяние вперёд и описывает часть падающего волнового пакета, которая не изменяется взаимодействием. В большинстве экспериментов нас интересует только рассеянная часть пакета.
Это стр. 242 по изданию 1984 г.
Ascold в сообщении #1356182 писал(а):
Почему именно $(2\pi)^4\delta(\sum P_f-\sum P_i)=VT,$ а не, например, просто

Это связано с нормировкой преобразования Фурье, насколько я сейчас помню. Потом, если ничто не отвлечёт, на выкладки посмотрю.

Ascold в сообщении #1356182 писал(а):
Это точно строгий подход или я чего-то не понимаю в дельта-функциях?
Нет, нестрогий. Кажется, изобретение Липпмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица рассеяния во 2 порядке и квадрат дельта-функции
Сообщение24.11.2018, 23:26 


07/07/12
402
Насчет нормировки преобразования Фурье Вам уже выше ответил Eule_A
Ascold в сообщении #1356182 писал(а):
Это точно строгий подход или я чего-то не понимаю в дельта-функциях?
это на самом деле строгий подход, если сглаживать in- и out- состояния соответствующими гауссианами. Обычно этого в учбениках не делают из-за экономии места и потому, что результат получается один и тот же. Хотя строгость подхода, конечно, при этом немного размывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица рассеяния во 2 порядке и квадрат дельта-функции
Сообщение25.11.2018, 22:49 


28/08/13
521
physicsworks в сообщении #1356605 писал(а):
это на самом деле строгий подход, если сглаживать in- и out- состояния соответствующими гауссианами.

Имеете ввиду, представлять эти состояния в виде волновых пакетов или иное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица рассеяния во 2 порядке и квадрат дельта-функции
Сообщение25.11.2018, 23:55 


07/07/12
402
Ascold в сообщении #1356838 писал(а):
Имеете ввиду, представлять эти состояния в виде волновых пакетов или иное?
Да, в виде $\int g(\alpha) | \alpha \rangle_{in} d \alpha$, где $g(\alpha)$ --- сглаживающая гауссиана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица рассеяния во 2 порядке и квадрат дельта-функции
Сообщение14.12.2018, 23:13 


28/08/13
521
Ascold в сообщении #1356838 писал(а):
это на самом деле строгий подход, если сглаживать in- и out- состояния соответствующими гауссианами.

Итак, решил я попробовать это проделать,чтобы убрать дельта-функцию из матричного элемента. Пусть процесс - комптоновское рассеяние фотона и электрона. Тогда $$|in\rangle=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}a_\mathbf{k}^\dagger b_\mathbf{p}^\dagger|0\rangle, \quad\langle out|=\int \langle 0|b_{\mathbf{p'}}a_{\mathbf{k'}}d\mathbf{p'}d\mathbf{k'}e^\frac{-(\mathbf{k'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{-(\mathbf{p'-p'_0})^2}{2d'^2},$$ $$S^{(2)}=-e^2\int dxdy \intdxdy\bar{\psi}(x)\not{A}(x)\overset{\uparrow}{\psi}(x)\overset{\downarrow}{\bar{\psi}}(y)\not{A}(y)\psi(y),$$
стрелками обозначена свёртка. Вычисляю $\langle in|S^{(2)}|out\rangle,$ при этом интегрирование по $\mathbf{p,k,p',k'}$ выполню в самом конце, это значит, что под интегралом по этим переменным будет обычное выражение, находимое по фейнмановским правилами или без оных с точностью до квадрата заряда и нормировочного коэффициента:
$$\langle out|S^{(2)}|in\rangle=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}d\mathbf{p'}d\mathbf{k'}(2\pi)^4\delta^4(p+k-p'-k')e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2d^2}{2}e^\frac{-(\mathbf{k'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{-(\mathbf{p'-p'_0})^2}{2d'^2}\cdot M,$$ где
$$M=\bar{u}(\mathbf{p'})\not{\varepsilon}(\mathbf{k'})\tilde{S}_F(\mathbf{p}+\mathbf{k})\not{\varepsilon}(\mathbf{k})u(\mathbf{p})+\bar{u}(\mathbf{p'})\not{\varepsilon}(\mathbf{k})\tilde{S}_F(\mathbf{p}-\mathbf{k'})\not{\varepsilon}(\mathbf{k'})u(\mathbf{p}).$$ Интегрируя, например, по $\mathbf{k'}=\mathbf{p}+\mathbf{k}-\mathbf{p'},$ получим
$$\langle out|S^{(2)}|in\rangle=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}d\mathbf{p'}(2\pi)^4\delta(E_\mathbf{p}+E_\mathbf{k}-E_\mathbf{p'}-E_\mathbf{p+k-p'})e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}e^\frac{-(\mathbf{p+k-p'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{-(\mathbf{p'-p'_0})^2}{2d'^2}\cdot M=$$
$$=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}\cdot d|\mathbf{p'}|\cdot(2\pi)^4\cdot 4\pi^2|\mathbf{p'}|^2\delta(E_\mathbf{p}+E_\mathbf{k}-E_\mathbf{p'}-E_\mathbf{p+k-p'})e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}e^\frac{-(\mathbf{p+k-p'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{\mathbf{-(p'-p'_0)}^2}{2d'^2}\cdot M=$$
$$=\int d\mathbf{p}d\mathbf{k}(2\pi)^4\cdot 4\pi^2|\mathbf{p'}|^2\left(\frac{\partial(E_\mathbf{p'}+E_\mathbf{k'})}{\partial |\mathbf{p'}|}\right)^{-1}e^\frac{-(\mathbf{k-k_0})^2}{2c^2}e^\frac{-(\mathbf{p-p_0})^2}{2d^2}e^\frac{-(\mathbf{p+k-p'-k'_0})^2}{2c'^2}e^\frac{\mathbf{-(p'-p'_0)}^2}{2d'^2}\cdot M$$
По-моему, что-то здесь не то. В последнем интегрировании по $|\mathbf{p'}|$ пользуюсь правилом
$$\int f(x,y)\delta(g(x,y))dx=\left[f(x,y)\Sigma\frac{1}{|g'_x|}\right]_{x=x_0},$$
где $x_0$ - нули функции $g(x,y)$ и полагаю, что $\frac{\partial E_{\mathbf{p}}}{\partial |\mathbf{p'}|}=\frac{\partial E_{\mathbf{k}}}{\partial |\mathbf{p'}|}=0$.
Что в соответствии с этим всем надо подставлять в последнее выражение вместо $|\mathbf{p'}|$?
Понимаю, что речь идёт о законе сохранения энергии, но не догоняю, как это написать чисто алгебраически.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group