Погрешность для среднего взвешенного

[ruchemax]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Подскажите, пожалуйста, как правильно считать погрешность для среднего взвешенного.
В результате измерений физической величины было получено n значений: $x_1±\sigma_1$, $x_2±\sigma_2$,..., $x_n±\sigma_n$.
Было рассчитано среднее взвешенное значение данной величины $x_m$, за вес взята величина, обратная квадрату погрешности измерения - $p_i=\frac {1} {\sigma_i^2}$
Как в этом случае правильно рассчитать погрешность среднего взвешенного?
В литературе встречаются два варианта:
1) $\sigma_m=\sqrt {\frac {\sum\limits_{i=1}^n{p_i (x_i-x_m)^2}} {(n-1) \sum\limits_{i=1}^n {p_i}}}$
2) $\sigma_m=\sqrt {\frac {1} {\sum\limits_{i=1}^n {p_i}}}$
Какой из них верный? Или они используются в разных случаях?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

Я в этом не разбираюсь, скажу сразу, но у меня возник вопрос:

$\sigma_i$ - они откуда взялись? Были измерены вместе с $x_i,$ были рассчитаны как-то независимо, были рассчитаны с учётом всего массива $(x_i),$ что-то ещё?

Известные мне приборы показывают одно значение, без погрешности. Например, на окне висит два градусника (так сложилось). Шкала у обоих проградуирована в целых градусах. Казалось бы, погрешность $\pm 0{,}5^\circ\,\mathrm{C}.$ Фигушки. С утра они показывали один $-4^\circ\,\mathrm{C},$ другой $-9^\circ\,\mathrm{C}.$ Какую сигму мне им приписать?

[ruchemax]

Munin, значения $\sigma_i$ вычисляются на основании значений сигнала и фона, которые выдаёт прибор. Так как Ваши термометры, скорее всего, не лабораторные инструменты, которые подлежат ежегодной поверке, какая у них точность на самом деле, никому не известно.

[Munin]

Так и у лабораторных приборов этого тоже никому не известно.