Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух

[SpiderHulk]

элементов?

Восемь. Я знаю ответ и знаю как его получить: проверить на ассоциативность каждую из 16 возможных бинарных алгебраических операций

Преподаватель на семинаре объяснял иной метод, но его суть от меня ускользнула

$A\times A\to A$

Таблица Кэли:



$a,b,c,d\in A$

С ней мне всё понятно

Далее преподаватель составил таблицу отображений заданного множества в себя (преобразований)



Далее в семинаре I называлось тождественным отображением, T - транспозицией, О и Е никак не назывались

Далее преподаватель составил таблицу композиций:



Если я правильно понял, расшифровывать её следует так. Композиция преобразования указанного в строке и преобразования указанного в столбце равносильна преобразованию указанному в ячейке таблицы соответствующей пересечению строки и столбца

Далее преподаватель отобрал 11 пар элементов, каждая такая пара соответствует одной бинарной алгебраической операции. Например пара $ \left\lbrace I,T\right\rbrace $ Соответствует


Преподаватель выделил пары

$\left\lbrace I,T\right\rbrace$, $\left\lbrace T,I\right\rbrace$ (из правого нижнего коричневого квадрата)
$\left\lbrace O,E\right\rbrace$, $\left\lbrace E,O\right\rbrace$ (из верхнего левого коричневого квадрата)
$\left\lbrace O,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,O\right\rbrace$
$\left\lbrace E,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,E\right\rbrace$
$\left\lbrace O,O\right\rbrace$
$\left\lbrace E,E\right\rbrace$
$\left\lbrace I,I\right\rbrace$

Сам вопрос темы: по какому правилу они выделены?

При этом выделенные пары элементов $\left\lbrace E,O\right\rbrace$, $\left\lbrace E,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,E\right\rbrace$ соответствуют НЕассоциативным бинарным операциям

Если я правильно понял, то для нахождения ассоциативных бинарных операций на множестве из трёх элементов уже надо составлять таблицу из 27 (количество возможных преобразований для множества из трёх элементов)строк и 27 столбцов

В интернете в качестве метода поиска ассоциативных бинарных операций упоминается тест ассоциативности Лайта. Вот то что я здесь попытался расписать это частный случай теста Лайта? Или нет?

[alcoholist]

SpiderHulk в сообщении #1351927 писал(а):

О и Е никак не назывались

постоянные отображения)) Ноль и единица.

[Lia]

SpiderHulk
Таблицы замечательно набираются с помощью TeX, и будет лучше их так и набирать.

[alcoholist]

SpiderHulk
какая бинарная операция соответствует паре отображений множества в себя?

[SpiderHulk]

alcoholist в сообщении #1351936 писал(а):

какая бинарная операция соответствует паре отображений множества в себя?

Разные, зависит от отображений составляющих пару

[arseniiv]

SpiderHulk в сообщении #1351927 писал(а):

Вот то что я здесь попытался расписать это частный случай теста Лайта? Или нет?

Как-то не очень смахивает. Сами посмотрите:
https://en.wikipedia.org/wiki/Light%27s_associativity_test

[alcoholist]

SpiderHulk в сообщении #1351939 писал(а):

Разные, зависит от отображений составляющих пару

КАК по паре отображений построить бинарную операцию?

[arseniiv]

Присоединяюсь к вопросу.

Не понимаю, что творится здесь из-за

SpiderHulk в сообщении #1351927 писал(а):

При этом выделенные пары элементов $\left\lbrace E,O\right\rbrace$, $\left\lbrace O,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,O\right\rbrace$ соответствуют НЕассоциативным бинарным операциям

но для полугрупп (которые и есть множества с ассоциативной бинарной операцией) справедлива теорема, подобная теореме Кэли: любой моноид (полугруппа с нейтральным элементом) изоморфен некоторому подмоноиду преобразований своего носителя (умножающих на соответствующие элементы), а полугруппа, не являющаяся моноидом, естественно вкладывается в моноид, полученный добавлением недостающего элемента $e$ и расширением операции чтобы $xe = ex = x$. Тогда можно было бы понять рассмотрение наборов преобразований двухэлементного множества, но пригодилось бы рассматривать и наборы некоторых преобразований трёхэлементного, где одно из преобразований тождественное (а остальные нет, потому что преобразования в одном наборе должны быть разные).

[SpiderHulk]

arseniiv в сообщении #1351946 писал(а):

Не понимаю, что творится здесь из-за

Допустил ошибку в стартовом посте, фикс:

Цитата:

При этом выделенные пары элементов $\left\lbrace E,O\right\rbrace$, $\left\lbrace E,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,E\right\rbrace$ соответствуют НЕассоциативным бинарным операциям

[arseniiv]

Ну и суть предлагаемого мной метода была бы в отборе только тех наборов отображений, которые замкнуты относительно композиции (если они незамкнуты, они представляют моноид бо́льший, чем нужно). А проблема с этим методом в том, что могут получаться изоморфные структуры, и потому надо следить, что подсчитывается.

И если у преподавателя был именно он, то изложен он уж очень непонятно.

SpiderHulk в сообщении #1351949 писал(а):

Допустил ошибку в стартовом посте

Так всё равно понятнее не стало. В моём методе никакой набор преобразований не может задавать неассоциативную операцию, потому что композиция преобразований всегда-всегда ассоциативна. Потому изложен или хитрый способ, или этот способ был изложен непонятно/неправильно где-то в цепочке коммуникации.

[SpiderHulk]

alcoholist в сообщении #1351944 писал(а):

КАК по паре отображений построить бинарную операцию?

Ассоциативная алгебраическая структура $(\left\lbrace L_{0}, L_{1}\right\rbrace; \circ)$

$L_{0}: \left\{ \begin{array}{rcl} 0\to a \\ 1\to b \\ \end{array} \right.$

$L_{1}: \left\{ \begin{array}{rcl} 0\to c \\ 1\to d \\ \end{array} \right.$

(См. таблицу Кэлли в начале стартового поста)

[arseniiv]

А, таки с композицией. Тогда почему какие-то пары могут «соответствовать неассоциативным бинарным операциям»? Это невозможно. Композиция ассоциативна.

[SpiderHulk]

arseniiv в сообщении #1351950 писал(а):

композиция преобразований всегда-всегда ассоциативна

Вот именно это преподаватель проговорил и насколько я могу судить даже доказал перед тем как изобразить таблицу отображений заданного множества в себя (вторая сверху в стартовом посте)
Весь этот метод именно на ассоциативности композиций отображений и основан

[arseniiv]

И зря я выше написал, что

arseniiv в сообщении #1351950 писал(а):

А проблема с этим методом в том, что могут получаться изоморфные структуры, и потому надо следить, что подсчитывается.

Ведь тут и подсчитываются все операции, а не все неизоморфные операции.

[SpiderHulk]

Фото моего конспекта:

(Оффтоп)

Красные линии - начало и конец метода






Несжатые фото:
https://yadi.sk/i/0Hm_NyGV7t1nRQ
https://yadi.sk/i/SPQNLRHryTfPwA
https://yadi.sk/i/27qZQXY8SsbOvQ