2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 17:46 


16/10/14

667
элементов?

Восемь. Я знаю ответ и знаю как его получить: проверить на ассоциативность каждую из 16 возможных бинарных алгебраических операций

Преподаватель на семинаре объяснял иной метод, но его суть от меня ускользнула

$A\times A\to A$

Таблица Кэли:

Изображение

$a,b,c,d\in A$

С ней мне всё понятно

Далее преподаватель составил таблицу отображений заданного множества в себя (преобразований)

Изображение

Далее в семинаре I называлось тождественным отображением, T - транспозицией, О и Е никак не назывались

Далее преподаватель составил таблицу композиций:

Изображение

Если я правильно понял, расшифровывать её следует так. Композиция преобразования указанного в строке и преобразования указанного в столбце равносильна преобразованию указанному в ячейке таблицы соответствующей пересечению строки и столбца

Далее преподаватель отобрал 11 пар элементов, каждая такая пара соответствует одной бинарной алгебраической операции. Например пара $ \left\lbrace I,T\right\rbrace $ Соответствует
Изображение

Преподаватель выделил пары

$\left\lbrace I,T\right\rbrace$, $\left\lbrace T,I\right\rbrace$ (из правого нижнего коричневого квадрата)
$\left\lbrace O,E\right\rbrace$, $\left\lbrace E,O\right\rbrace$ (из верхнего левого коричневого квадрата)
$\left\lbrace O,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,O\right\rbrace$
$\left\lbrace E,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,E\right\rbrace$
$\left\lbrace O,O\right\rbrace$
$\left\lbrace E,E\right\rbrace$
$\left\lbrace I,I\right\rbrace$

Сам вопрос темы: по какому правилу они выделены?

При этом выделенные пары элементов $\left\lbrace E,O\right\rbrace$, $\left\lbrace E,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,E\right\rbrace$ соответствуют НЕассоциативным бинарным операциям

Если я правильно понял, то для нахождения ассоциативных бинарных операций на множестве из трёх элементов уже надо составлять таблицу из 27 (количество возможных преобразований для множества из трёх элементов)строк и 27 столбцов

В интернете в качестве метода поиска ассоциативных бинарных операций упоминается тест ассоциативности Лайта. Вот то что я здесь попытался расписать это частный случай теста Лайта? Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
SpiderHulk в сообщении #1351927 писал(а):
О и Е никак не назывались

постоянные отображения)) Ноль и единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:02 


20/03/14
12041
SpiderHulk
Таблицы замечательно набираются с помощью TeX, и будет лучше их так и набирать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
SpiderHulk
какая бинарная операция соответствует паре отображений множества в себя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:17 


16/10/14

667
alcoholist в сообщении #1351936 писал(а):
какая бинарная операция соответствует паре отображений множества в себя?

Разные, зависит от отображений составляющих пару

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
SpiderHulk в сообщении #1351927 писал(а):
Вот то что я здесь попытался расписать это частный случай теста Лайта? Или нет?
Как-то не очень смахивает. Сами посмотрите:
https://en.wikipedia.org/wiki/Light%27s_associativity_test

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
SpiderHulk в сообщении #1351939 писал(а):
Разные, зависит от отображений составляющих пару

КАК по паре отображений построить бинарную операцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Присоединяюсь к вопросу.

Не понимаю, что творится здесь из-за
    SpiderHulk в сообщении #1351927 писал(а):
    При этом выделенные пары элементов $\left\lbrace E,O\right\rbrace$, $\left\lbrace O,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,O\right\rbrace$ соответствуют НЕассоциативным бинарным операциям
но для полугрупп (которые и есть множества с ассоциативной бинарной операцией) справедлива теорема, подобная теореме Кэли: любой моноид (полугруппа с нейтральным элементом) изоморфен некоторому подмоноиду преобразований своего носителя (умножающих на соответствующие элементы), а полугруппа, не являющаяся моноидом, естественно вкладывается в моноид, полученный добавлением недостающего элемента $e$ и расширением операции чтобы $xe = ex = x$. Тогда можно было бы понять рассмотрение наборов преобразований двухэлементного множества, но пригодилось бы рассматривать и наборы некоторых преобразований трёхэлементного, где одно из преобразований тождественное (а остальные нет, потому что преобразования в одном наборе должны быть разные).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:37 


16/10/14

667
arseniiv в сообщении #1351946 писал(а):
Не понимаю, что творится здесь из-за

Допустил ошибку в стартовом посте, фикс:
Цитата:
При этом выделенные пары элементов $\left\lbrace E,O\right\rbrace$, $\left\lbrace E,I\right\rbrace$, $\left\lbrace I,E\right\rbrace$ соответствуют НЕассоциативным бинарным операциям

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну и суть предлагаемого мной метода была бы в отборе только тех наборов отображений, которые замкнуты относительно композиции (если они незамкнуты, они представляют моноид бо́льший, чем нужно). А проблема с этим методом в том, что могут получаться изоморфные структуры, и потому надо следить, что подсчитывается.

И если у преподавателя был именно он, то изложен он уж очень непонятно.

SpiderHulk в сообщении #1351949 писал(а):
Допустил ошибку в стартовом посте
Так всё равно понятнее не стало. В моём методе никакой набор преобразований не может задавать неассоциативную операцию, потому что композиция преобразований всегда-всегда ассоциативна. Потому изложен или хитрый способ, или этот способ был изложен непонятно/неправильно где-то в цепочке коммуникации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:43 


16/10/14

667
alcoholist в сообщении #1351944 писал(а):
КАК по паре отображений построить бинарную операцию?


Ассоциативная алгебраическая структура $(\left\lbrace L_{0}, L_{1}\right\rbrace;  \circ)$

$L_{0}: \left\{
\begin{array}{rcl}
 0\to a \\
 1\to b \\
\end{array}
\right.$

$L_{1}: \left\{
\begin{array}{rcl}
 0\to c \\
 1\to d \\
\end{array}
\right.$

(См. таблицу Кэлли в начале стартового поста)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А, таки с композицией. Тогда почему какие-то пары могут «соответствовать неассоциативным бинарным операциям»? Это невозможно. Композиция ассоциативна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 18:50 


16/10/14

667
arseniiv в сообщении #1351950 писал(а):
композиция преобразований всегда-всегда ассоциативна

Вот именно это преподаватель проговорил и насколько я могу судить даже доказал перед тем как изобразить таблицу отображений заданного множества в себя (вторая сверху в стартовом посте)
Весь этот метод именно на ассоциативности композиций отображений и основан

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 19:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
И зря я выше написал, что
    arseniiv в сообщении #1351950 писал(а):
    А проблема с этим методом в том, что могут получаться изоморфные структуры, и потому надо следить, что подсчитывается.
Ведь тут и подсчитываются все операции, а не все неизоморфные операции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бинарных ассоциативных операций на множестве из двух
Сообщение05.11.2018, 19:05 


16/10/14

667
Фото моего конспекта:

(Оффтоп)

Красные линии - начало и конец метода
Изображение

Изображение

Изображение

Несжатые фото:
https://yadi.sk/i/0Hm_NyGV7t1nRQ
https://yadi.sk/i/SPQNLRHryTfPwA
https://yadi.sk/i/27qZQXY8SsbOvQ

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group