2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70004
Cos(x-pi/2) в сообщении #1350802 писал(а):
Идея была простая - подчеркнуть, что в "волновых уравнениях" производные $i\frac{\partial}{\partial t}$ и $-\frac{\partial^2}{\partial t^}$ в некотором смысле равноправны (ИМХО).

А вот они не совсем равноправны. От второй производной можно перейти к первой (заменяя одно уравнение на систему), а в обратную сторону - не всегда. То есть, тут не биекция, а инъекция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9102
Hogtown
Cos(x-pi/2) в сообщении #1350802 писал(а):
Идея была простая - подчеркнуть, что в "волновых уравнениях" производные $i\frac{\partial}{\partial t}$ и $-\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ в некотором смысле равноправны

Ух! Ну вот давайте возьмем $i\frac{\partial}{\partial t}\psi -\Delta \psi=0$ и заменим, как Вы сказали:
$-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi -\Delta \psi=0$. Получим не волновое, а эллиптическое уравнение. Смысл уж больно тонкий--постоянно рвется

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 17:56 
Заслуженный участник


29/09/14
914
Red_Herring в сообщении #1350829 писал(а):
Ух! Ну вот давайте возьмем $i\frac{\partial}{\partial t}\psi -\Delta \psi=0$ и заменим, как Вы сказали:
Не понимаю, с какой целью Вы мне приписываете такой идиотизм. Я нигде не "сказал" про подобную с очевидностью ошибочную замену (пример же я приводил: там не было подобного "ух!").

Munin в сообщении #1350811 писал(а):
А вот они не совсем равноправны. От второй производной можно перейти к первой (заменяя одно уравнение на систему), а в обратную сторону - не всегда.
А вот когда "нельзя"/"можно", Вы решили здесь не рассказывать, и примера/контрпримера не разбирать. Ну и ладно, ваше право.

(Оффтоп)

О себе. Скорее всего это что-то моё возрастное, а может быть, плюс и сезонное, также может быть, тому есть и внешние причины, но факт: мне стало неприятно продолжать писать на этом форуме. Раньше писал, потому что считал это полезным для топикстартеров, и потому что это доставляло мне немалую радость. Но должен с сожалением признать: я состарился (и быстрее, чем мог предполагать). Самому не хочется в это верить, но... стал стариком, притом обидчивым. Помимо того, что всё хуже и хуже вижу, появились прочие проблемы со здоровьем, и в связи с этим всё меньше остаётся времени на форумную переписку, так теперь я ещё и не радуюсь ей, как раньше, а обижаюсь. Поэтому решил здесь умолкнуть. Извините, если неуместно вклинивался в чьи-то выступления.

Всем всего наилучшего, успехов и творческого удовлетворения.
Синус :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9102
Hogtown
Cos(x-pi/2) в сообщении #1350859 писал(а):
Не понимаю, с какой целью Вы мне приписываете такой идиотизм. Я нигде не "сказал" про подобную с очевидностью ошибочную замену (пример же я приводил: там не было подобного "ух!").
Этого идиотизма я не приписывал, но решил свести к абсурду.

Если бы Вы написали, что в некотором контексте у-е Шредингера и волновое уравнение проявляют общие черты, то я бы согласился. Но Ваше утверждение вне контекста может "сбить с пути и панталыку" нетвердые умы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70004
Cos(x-pi/2) в сообщении #1350859 писал(а):
А вот когда "нельзя"/"можно", Вы решили здесь не рассказывать

А я этого и сам не знаю. Это очень суровая математика, вот пусть господа уровня Red_Herring высказываются, а мне лучше помалкивать. Я только сам факт знаю.

Извините, если это вас обидело.

(Оффтоп)

И насчёт вашего участия на форуме: оно меня в 99 % просто чисто радует. А тут увидел возможность внести поправку и завязать разговор. У меня плохо получилось. Надеюсь, примете с извинениями и такой взгляд со стороны.


Red_Herring в сообщении #1350865 писал(а):
Если бы Вы написали, что в некотором контексте у-е Шредингера и волновое уравнение проявляют общие черты, то я бы согласился.

Вы знаете, физики набираются наглости даже называть уравнение Шрёдингера волновым уравнением :-)

Red_Herring в сообщении #1350829 писал(а):
Ну вот давайте возьмем $i\frac{\partial}{\partial t}\psi -\Delta \psi=0$ и заменим, как Вы сказали

Следуя рецепту Cos(x-pi/2), должно получиться $-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi -\Delta^2\psi=0.$ Тип такого уравнения мне не известен.

-- 01.11.2018 20:12:14 --

(Глупый вопрос: а почему не $-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi-2i\frac{\partial}{\partial t}\Delta\psi+\Delta^2\psi=0$?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9102
Hogtown
Munin в сообщении #1350899 писал(а):
Тип такого уравнения мне не известен.

Если 1-мерно то будет уравнение колебания упругого стержня.
Если 2-мерно--пластины.
Если 3-мерно, то, очевидно, трехмерной пластины в четырехмерном пространстве.

В любом случае, это неклассические уравнения (равно как и Шредингер).

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70004
Red_Herring
Это Шрёдингер-то неклассический? Как-то я сильно разочарован в теории ДУЧП в таком случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5540
Munin в сообщении #1350912 писал(а):
Как-то я сильно разочарован в теории ДУЧП в таком случае.


Прямо вот так из-за слова "классические"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70004
Пожалуй, да.

Я "классические" понимаю как "давным-давно рассмотренные и наиболее понятные".

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение01.11.2018, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9102
Hogtown
Munin в сообщении #1350957 писал(а):
Я "классические" понимаю как "давным-давно рассмотренные и наиболее понятные".
В данном контексте "классические" означает "эллиптические, гиперболические, параболические" (да и то 2го порядка, которые появились 200 лет назад и водят в любые учебники. В конце 19го века Шредингера не знали, а вот $u_{tt}+ u_{xxxx}=0$ было уже известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение02.11.2018, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70004
В таком случае, развейте моё недоумение, и подтвердите (или опровергните), что уравнение $iu_t+u_{xx}=0$ не менее изучено на сегодняшний день, чем $u_{tt}+u_{xxxx}=0$ (а хотелось бы, чтобы и чем $u_t+u_{xx}=0,\quad u_{tt}+u_{xx}=0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение02.11.2018, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9102
Hogtown
Разумеется $iu_t +u_{xx}=0$ изучено не уже, чем $u_{tt}+u_{xxxx}=0$. Но следует отметить, что существуют тонкие вопросы, тривиальные для одного типа уравнений и трудные для другого.

Например, краевые задачи для уравнения Трикоми $u_{xx}+xu_{yy}=0$ в области, содержащей и точки с $x<0$ и с $х>0$ это болото

 Профиль  
                  
 
 Re: Скорость изменения ускорения
Сообщение03.11.2018, 17:18 
Аватара пользователя


08/10/09
290
Херсон
Cos(x-pi/2) в сообщении #1350677 писал(а):
Я не маэстро)), просто подставляю $\psi=\text{Re}\, \psi_1+i\,\text{Im}\, \psi_2$ в уравнение

$i\dfrac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi.$

Получается:

$i\dfrac{\partial \psi_1}{\partial t}-\dfrac{\partial \psi_2}{\partial t}=H \psi_1+iH \psi_2.$

Гамильтониан считаю вещественным (и не зависящим от $t).$ Тогда имеем систему двух связанных вещественных уравнений:

$\dfrac{\partial \psi_1}{\partial t}=H\psi_2,$

$-\dfrac{\partial \psi_2}{\partial t}=H\psi_1.$

Чтобы расцепить уравнения, берём в каждом из них производную по $t$ в левой и правой стороне и выражаем получившиеся под знаком гамильтониана производные первого порядка через правые стороны выписанных выше уравнений. Результат - пара независимых уравнений (притом одинаковых, чего и следовало ожидать):

$\dfrac{\partial^2 \psi_1}{\partial t^2}=-H^2\psi_1,$

$\dfrac{\partial^2 \psi_2}{\partial t^2}=-H^2\psi_2.$

(Решаем всё как обычно - методом разделения переменных $t,\,x.$ Линейно независимые решения: $\psi_1\propto \cos(-Et),$ $\psi_2 \propto \sin(-Et);$ из них собирается обычный комплексный ответ: $\psi(x,t)=\varphi(x)e^{-iEt},$ где $\varphi(x)$ - собственная функция гамильтониана (вещественная): $H\varphi=E\varphi.$)


Кстати, не могли бы Вы просветить меня, как решается полученная система двух ДУ с действительной и мнимой частью для случая, когда гамильтониан действителен, но зависит явно от времени (к примеру, коллапс потенциальной ямы). Мои познания для нестационарного УШ ограничиваются лишь нестационарной теорией возмущения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение03.11.2018, 20:40 
Аватара пользователя


13/08/13
3652
Извините мой французский, а возмущения в волновом пакете для свободной частицы распространяются мгновенно (как следует из функции Грина), или с групповой скоростью? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнение с нестационарным уравнением Шрёдингера
Сообщение06.11.2018, 20:46 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
ну можно классифицировать Шредингера как гамильтонову систему....... Волновое уравнение тоже гамильтонова система. Вот они и оказались в одном классе

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group